电路分析教学课件PPT动态电路的时域分析一阶电路.ppt

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1、第二篇：动态电路的时域分析,第五章 电容元件与电感元件第六章 一阶电路第七章 二阶电路,本章学习目的及要求,动态电路方程的建立及初始条件的确定；了解“暂态”与“稳态”之间的区别与联系；熟悉“换路”这一名词的含义；牢固掌握换路定律；理解暂态分析中的“零输入响应”、“零状态响应”“全响应”及“阶跃响应”等概念；充分理解一阶电路中暂态过程的规律；熟练掌握一阶电路暂态分析的三要素法.,第六章 一阶电路,6.1 分解方法在动态电路分析中的运用6.2 零状态响应6.3 阶跃响应和冲激响应6.4 零输入响应6.5 线性动态电路的叠加定理6.6 三要素法6.7 瞬态和稳态6.8 正弦激励的过渡过程和稳态,动态

2、元件的电流与电压的约束关系是导数与积分关系，因此根据KCL、KVL和元件的VAR所建立的电路方程是以电流、电压为变量的微分方程或微分积分方程。如果电路中的无源元件都是线性时不变的，那么动态电路方程是线性常系数微分方程。如果电路中只有一个动态元件，则所得的是一阶微分方程，相应的电路称为一阶电路。一般而言，如果电路中含有n个独立的动态元件，那么描述该电路的将是n阶微分方程，相应的电路可称为n阶电路。,一阶电路的定义：,6.1 分解方法在动态电路分析中的运用,分解方法的运用：,*将一阶电路分解为电阻网络 N1 和动态元件两部分。*将 N1 用戴维南定理等效化简，得简单一阶电路。*求解简单一阶电路的状

3、态变量，得 uc(t)或 iL(t)。*回到原电路，将电容用一电压源（其值为 uc）置换，或将电感用一电流源（其值为 iL）置换，求出电路其余变量。,一阶微分方程的建立,换路：把电路中的开关闭合、断开或者电路参数的突然变化等，统称为换路。换路前后电路的工作状态将发生变化。,t=0时，S合上=换路。在此分析的是t0(换路后)的变量情况。,图(a)和(b)都是一阶电路。如果我们要研究图(a)中开关S闭合(在t=0时)后电容电压uC，或者研究图(b)中开关S断开(在t=0时)后电感电流iL，就要列写出t0时，即开关闭合后(图(a)或开关断开后(图(b)的电路方程。,对于图(a)的电路，设t=0时开关

4、闭合，若选电容电压uC 为变量，在换路后(即t0)，由KCL有 iC+iR=iS 由iC=C 和iR=，得换路后电路方程为,或写为,式中=RC，它具有时间的量纲 称为时间常数，简称时常数。,对于图(b)的电路，设t=0时开关断开，若选电感电流iL为变量，根据KVL，可写出换路后(t0)的电路方程为,式中=L/(R1+R2)，它具有时间的量纲 称为时间常数.,式中=RC,式中=L/(R1+R2),方程的形式完全相同，都是一阶线性常系数微分方程，且系数都由电路参数决定，方程右边是电路激励；一般形式：,结论:比较以上两个方程,列方程的步骤建立KVL或KCL方程；写出元件的VAR关系；在以上方程中消去

5、非求解变量，得所需变量的微分方程；对较复杂的电路,可先进行等效化简,再列方程。,一般形式：,一阶微分方程的求解,一阶齐次方程的求解,其中 x(t)为待求变量，A 及X0 均为常数。,方程和初始条件,补充,（6）式为微分方程的特征方程，其根称为微分方程的特征根或固有频率。可求得,求通解（满足（1）式且含有一个待定常数的解。）,确定待定常数K将初始条件（2）式代入通解（3）式，得,即,例：求解方程,其中 x(t)为待求变量，f(t)为输入函数，A、B 及X0 均为常数。,方程和初始条件,一阶非齐次方程的求解,求 xh(t)前已求得,求 xp(t)特解 xp(t)的 形式与输入函数 f(t)的形式：

6、,确定待定常数K,求得 xh(t)和 xp(t)后，将初始条件代入通解式，可确定待定常数K，从而得到原问题的解。,第六章 一阶电路,6.1 分解方法在动态电路分析中的运用6.2 零状态响应6.3 阶跃响应和冲激响应6.4 零输入响应6.5 线性动态电路的叠加定理6.6 三要素法6.7 瞬态和稳态6.8 正弦激励的过渡过程和稳态,6.2 零状态响应,若电路原始状态为零，则电路中响应称为零状态响应，零状态响应仅由电源产生。本节讨论由恒定电源产生的一阶电路的零状态响应。6.2.1 一阶RC电路的零状态响应 6.2.2 一阶RL电路的零状态响应,电路的初始状态为0响应的原因：电路的输入(US、IS),

7、6.2.1 RC电路的零状态响应,2.数学分析换路后电路微分方程：,化简可得：,初始条件：,1.定性分析,以串联电路为例,方程：,非齐次方程特解,齐次方程通解,非齐次线性常微分方程,可求得：,与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解,变化规律由电路参数和结构决定,的通解,的特解,全解,uC(0+)=A+US=0,A=-US,由初始条件 uC(0+)=0，求定积分常数 A,从以上式子可以得出：,电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成：,连续函数,跃变,稳态分量（强制分量）,暂态分量（自由分量）,表明,+,令=RC,称为一阶电路的时间常数,响应与初始状态成线性关系，其衰减

8、快慢与RC有关;,表明,时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短,大过渡过程时间长,小过渡过程时间短,电压初值一定：,R 大（C一定）i=u/R 充放电电流小,C 大（R一定）W=Cu2/2 储能大,物理含义,a.:电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。工程上认为,经过 35,过渡过程结束。,U0 0.368U0 0.135U0 0.05U0 0.007U0,U0 U0 e-1 U0 e-2 U0 e-3 U0 e-5,注意,t2 t1,t1时刻曲线的斜率等于,切距的长度,b.时间常数 的几何意义：,电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成：,稳态分量（强制分

9、量）,暂态分量（自由分量）,小结,+,响应变化的快慢，由时间常数RC决定；大，充电慢，小充电就快。,响应与外加激励成线性关系；,能量关系,电容储存能量：,电源提供能量：,电阻消耗能量：,电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。,表明,6.2.2 RL电路的零状态响应,求出电感电流后再去求其它支路上的电压和电流。,讨论与RC电路相同。,应用KVL和电感的VCR得：,变换为RL电路,连续,不连续,例,t=0时,开关S闭合，已知 uC(0)=0，求(1)电容电压和电流,(2)uC80V时的充电时间t。,解:,(1)这是一个RC电路零状态响应问题，有：,(2)设经过t1秒，uC

10、80V,例,t=0时,开关S打开，求t 0后iL、uL的变化规律。,解:,这是RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：,例,t=0开关k打开，求t 0后iL、uL及电流源的电压。,解:,这是RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：,作业：P233:6-1、6-4 P234:6-6、6-8,第六章 一阶电路,6.1 分解方法在动态电路分析中的运用6.2 零状态响应6.3 阶跃响应和冲激响应6.4 零输入响应6.5 线性动态电路的叠加定理6.6 三要素法6.7 瞬态和稳态6.8 正弦激励的过渡过程和稳态,6.3 阶跃响应和冲激响应,6.3.1 阶跃响应6.3.2 冲激响应,6.3.1 阶跃响应(s

11、tep response),1、单位阶跃(unit-step)信号：,2、单位延时(delayed)阶跃信号：,一.阶跃函数(step function),3、阶跃(unit-step)信号：,4、延时(delayed)阶跃信号：,在电路中模拟开关的动作,单位阶跃函数的作用：,t=0 合闸 i(t)=Is,t=0 合闸 u(t)=E,起始一个函数,延迟一个函数,任意信号f(t)的截取：,t1,用单位阶跃函数表示分段常量信号,已知电压u(t)的波形如图，试画出下列电压的波形。,1.单位阶跃响应：指线性时不变电路在单位阶跃电源(t)作用下的零状态响应，用s(t)或g(t)表示2.线性时不变性：若(

12、t)s(t)，则 A(t)As(t)A(t-t0)As(t-t0)f(t)A(t)+B(t-t0)y(t)As(t)+Bs(t-t0),二.阶跃响应,时延不变性：若激励f(t)延迟t0接入，其零状态 响应也延迟t0时间，且波形保持不变，如图所示。,激励在 t=t0 时加入，则响应从t=t0开始。,-t,不要写为：,注意,3.阶跃响应的求法：由于单位阶跃函数作用于电路时，相当于单位直流源接入电路，所以求阶跃响应就是求单位直流源(1V或1A)接入电路时的零状态响应。,例 图(a)所示电路，若以电流iL为输出，求其阶跃响应s(t)解 根据阶跃响应的定义，令us=(t)，它相当于1V电压源在t=0时接

13、入电路，如图(b)所示，而且电路的初始状态iL(0+)=iL(0-)=0。,由图(b)可知，iL的稳态值和该电路的时间常数分别为,4.分段常量信号响应的求法：时延不变性：将分段常量信号用阶跃函数表示，求出阶跃响应后，根据线性电路的线性性质和时不变电路的时延不变性，就可以得到相应分段常量信号激励作用下电路的零状态响应。f(t)A(t)+B(t-t0),y(t)As(t)+Bs(t-t0),例 图(a)所示电路，其激励is的波形如图(b)所示。若以uC为输出，求其零状态响应。解 激励is可表示为,根据电路的线性和延时不变性，其对应的零状态响应为,故阶跃响应为,零状态响应为,求图示电路中电流 iC(

14、t）,例,应用叠加定理,阶跃响应为：,由齐次性和叠加性得实际响应为：,分段表示为：,分段表示为：,6.3.2 一阶电路的冲激响应,1.单位冲激函数,定义,单位脉冲函数的极限,单位冲激函数的延迟,单位冲激函数的性质,冲激函数对时间的积分等于阶跃函数,冲激函数的筛分性,同理,例,f(t)在 t0 处连续,注意,uc不是冲激函数,否则KCL不成立,分二个时间段考虑冲激响应,电容充电，方程为,例,2.一阶电路的冲激响应,激励为单位冲激函数时，电路中产生的零状态响应。,冲激响应,求单位冲激电流激励下的RC电路的零状态响应。,解:,注意,电容中的冲激电流使电容电压发生跃变。,结论,(2)t 0+为零输入响

15、应（RC放电）,例,求单位冲激电压激励下的RL电路的零状态响应。,分二个时间段考虑冲激响应,解:,iL不是冲激函数,否则KVL不成立。,注意,电感上的冲激电压使电感电流发生跃变。,结论,(2)t 0+RL放电,3.单位阶跃响应和单位冲激响应关系,单位阶跃响应,单位冲激响应,h(t),s(t),单位冲激,(t),单位阶跃,(t),激励,响应,先求单位阶跃响应：,求:is(t)为单位冲激时电路响应uC(t)和iC(t).,例,解:,uC(0+)=0,uC()=R,=RC,再求单位冲激响应,令：,令,冲激响应,阶跃响应,作业：P236:6-13、6-15 P234:6-16、6-17,第六章 一阶电

16、路,6.1 分解方法在动态电路分析中的运用6.2 零状态响应6.3 阶跃响应和冲激响应6.4 零输入响应6.5 线性动态电路的叠加定理6.6 三要素法6.7 瞬态和稳态6.8 正弦激励的过渡过程和稳态,有源（独立源）一阶电路，当电路中电容或电感无初始贮能时（即电路的初始状态为零），此时响应的原因是由激励决定的，称为零状态响应。,1,2,3,无源（独立源）一阶电路，产生响应的原因是电路的初始贮能，这种响应称为一阶电路的零输入响应。,1,2,3,零输入 响应,重点：1、掌握零输入响应的概念2、掌握一阶电路零输入响应的特点3、掌握一阶电路零输入响应的求法,6.4 零输入响应(zero input r

17、esponse),6.4.1 动态电路的初始状态与初始条件 6.4.2 电路的换路定则 6.4.3 初始状态与初始条件的确定 6.4.4 一阶RC电路的零输入响应 6.4.5 一阶RL电路的零输入响应,6.4.1 动态电路的初始状态与初始条件,t0+和t0-若电路在t0时刻换路，则t0-为换路前的一瞬间，t0+为换路后最初的一瞬间（称为换路后的初始时刻）。,原始状态电容电压和电感电流为电路的状态变量。t0-时刻的电容电压和电感电流值为电路的原始状态，它们反映了换路前电路所储存的能量。,t=0与t=0的概念:,认为换路在t=0时刻进行,0 换路前一瞬间,0 换路后一瞬间,电路的初始条件:,初始条

18、件为 t=0时,u、i 及其各阶导数的值。,注意,0,0,t,6.4.2 电路的换路定则,证：由于有限电流ic在无穷小区间内的积零，因此,电容的换路定则若换路瞬间电容电流 ic 为有限值，则,电感的换路定则若换路瞬间电感电压 uL 为有限值，则,换路定律:,电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。,换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。,换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。,换路定律反映了能量不能跃变。,注意,根据换路前的电路求出原始状态 uc(t0-)和 iL(t0-)。,6.4.3 初始状态与初始条件的确定,对 t0

19、 等效电路求解，求出所需初始电流和电压。,根据下述方法画出 t0 时刻的等效电路：每一电感用一电流源替换，其值为 iL(t0)；每一电容用一电压源替换，其值为 uc(t0)；若独立源为时间函数，则取 t0 时刻的函数值。,依据换路定则确定初始状态 uc(t0)和 iL(t0)。,例:电路如图，已知电路换路前已达稳态，求 uc(0)和 ic(0)。,1,2,解：,根据换路定则，可得,由0等效电路可求得,由0等效电路可求得,例：电路如图，已知电路换路前已达稳态，求 uL(0)、i(0)、i1(0)和iL(0)。,1,2,解：,根据换路定则，可得,由0等效电路可求得,1,2,iL(0+)=iL(0)

20、=iS,uC(0+)=uC(0)=RiS,uL(0+)=-RiS,求 iC(0+),uL(0+),例:,解:,由0电路得：,由0+电路得：,例:,求k闭合瞬间各支路电流和电感电压,解:,由0电路得：,由0+电路得：,求初始值的步骤:,1.由换路前电路（稳定状态）求uC(0)和iL(0)；,2.由换路定律得 uC(0+)和 iL(0+)。,3.画0+等效电路。,4.由0+电路求所需各变量的0+值。,b.电容（电感）用电压源（电流源）替代。,a.换路后的电路,（取0+时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）。,小结,6.4.4 一阶RC电路的零输入响应 响应的原因是uc(0-),1、物理

21、过程,解得：,式中：RC，为电路的时间常数，具有时间的量纲。R为电容C两端看进去的等效电阻,2、数学推导:,代入初始条件，得,（1）uc(t)只与电容电压初始值uc(0+)及电路的特性有关（即与s或有关：称为电路的固有频率,反映了电路的特性）（2）响应与初始状态成线性，称为零输入线性。（3）时间常数决定了响应衰减的快慢，越大，响应衰减的越慢，越小，响应衰减的越快。,3、对uc(t)的讨论：,工程上一般取过渡过程时间为 至。,*时间常数 与R、C成正比，决定过渡过程时间。,*在换路最初，电流和电压均有最快的变化速度。,（4）从波形可知，已知uc(0)、uc()及时间常数,则uc(t)可唯一确定,

22、uc(0)、uc()、称为三要素。,电阻上的电流为：,对于RC电路，任何支路上的零输入响应形式为：,电阻上的电压为：,结果分析：,*电路中的电流和电压响应与U0成正比，这是线性动态电路的零输入比例性。,*整个过程电阻消耗的电能等于电容的原始储能。,6.4.5 一阶RL电路和零输入响应 响应的原因是iL(0-),解得：,R为动态元件两端看进去的等效电阻,是t0以后的时间常数。,电感上的电压为：,例：,图示电路中的电容原充有24V电压，求k闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。,解：,这是一个求一阶RC 零输入响应问题，有：,分流得：,例：,求:(1)图示电路k闭合后各元件的电压和电流随时

23、间变化的规律。,解：,这是一个求一阶RC 零输入响应问题，有：,u(0+)=u(0)=20V,iL(0+)=iL(0)=1 A,例：,t=0时,打开开关S，求uv,。电压表量程：50V,解：,例：,t=0时,开关S由12，求电感电压和电流及开关两端电压u12。,解：,作业：P237:6-23 P238:6-26、6-27,第六章 一阶电路,6.1 分解方法在动态电路分析中的运用6.2 零状态响应6.3 阶跃响应和冲激响应6.4 零输入响应6.5 线性动态电路的叠加定理6.6 三要素法6.7 瞬态和稳态6.8 正弦激励的过渡过程和稳态,6.5 线性动态电路的叠加定理,若电路既有电源，又有原始储能

24、，则电路中响应称为全响应，全响应由电源和原始储能共同产生。6.5.1 恒定电源作用下一阶RC电路的全响应 6.5.2 恒定电源作用下一阶RL电路的全响应,6.5.1 恒定电源作用下一阶RC 电路的全响应,初始状态和输入共同作用下的响应称为完全响应。,*可推得换路后电路微分方程：,初始条件：,可求得：,代入初值，可求得,自由分量 uch（暂态分量）,强制分量 ucp（稳态分量）,零输入响应,零状态响应,于是有,U0 US,电容放电,U0 US,电容充电,分析：,1、,即：完全响应暂态响应稳态响应 自由分量（固有响应）强制分量 齐次解特解 上式反映了电路两种工作状态：过渡状态和稳态。当U0=US时

25、（即初始值等于稳态值），无暂态过程，电路直接进入稳态。,2、,即：完全响应零输入响应零状态响应 上式称为线性动态电路的叠加定理。线性动态电路的叠加定理：完全响应是由来自电源的输入和来自初始状态的输入分别作用时所产生的响应的代数和，即完全响应等于零输入响应加零状态响应。（此定理适用于电路中的所有响应。）,i,t,0,6.5.2 恒定电源作用下一阶RL电路的全响应,换路后电路如右图所示，可推得微分方程为：,可求得：,代入初值得：,于是有：,线性动态电路的叠加定理：,*一阶电路的零输入响应与原始状态成正比。*单电源电路的零状态响应与该电源成正比。*全响应等于零输入响应与零状态响应的叠加。*若电路中含

26、有多个独立电源和多个储能元件，则电路中任一电流或电压响应等于各独立源以及各储能元件原始状态单独作用时该响应的叠加。,例：,t=0时,开关K闭合，求t 0后的iC、uC及电流源两端的电压。,解：,这是RC电路全响应问题，有：,稳态分量：,全响应：,时,稳态时，电容相当于开路,当 时，即电压源短路，电流源单独作用，如图所示。,稳态时,电容两端看进去等效电阻,（2）用叠加定理求完全响应 零输入响应,零状态响应,完全响应,作业：P238:6-29 P239:6-32,第六章 一阶电路,6.1 分解方法在动态电路分析中的运用6.2 零状态响应6.3 阶跃响应和冲激响应6.4 零输入响应6.5 线性动态电

27、路的叠加定理6.6 三要素法6.7 瞬态和稳态6.8 正弦激励的过渡过程和稳态,66 三要素法,三要素：初值f(0+)、稳态值f()、时间常数一、三要素公式,用三要素法的前提条件是：直流一阶电路。,求任何支路上的电压和电流均可用三要素法。,*三要素公式的证明,（以RC电路为例证明）,换路后的电路，,根据叠加定理，有,于是：,即：,二、f(0+)、f()、的求法：1 求f(0+)：(a)从0_考虑（换路前的稳态），画出0_时的等效电路，C开路，L短路，求出iL(0_)、uc(0_)。(b)由uc(0+)uc(0_)，iL(0+)iL(0_)，得t=0+时的等效电路,从而求出其它支路上的u(0+)

28、、i(0+)。(c)t=0+时，若uC(0+)=0，用短路线置换电容；iL(0+)0，则用开路置换电感；uC(0+)=U0，则用电压为U0的电压源置换电容；iL(0+)I0，则用电流为I0的电流源置换电感。2 求f()：换路后的稳态值，此时C开路，L短路，得到t时的等效电路，求出u()、i()。3 时间常数:同一个电路只有一个，RC或=L/R，R为从动态元件两端看进去的等效电阻。,例：电路如图，换路前已达稳态，求换路后的 i 和 u。,解：1.,换路后电路为：,求得：,t=0+等效电路为：,2.,求得：,3.t=等效电路为：,由三要素公式可得：,例：电路如图，换路前已达稳态，求换路后的 iL(

29、t)。,解:,由换路后电路求得：,求R：,即,由三要素公式得：,例:,已知：t=0时开关由12，求换路后的uC(t),解:,三要素为：,例:,已知：t=0时开关闭合，求换路后的电流i(t)。,解:,三要素为：,例:如图电路，当t0时，开关S位于“1”，已达稳定状态。(1)如在t=0时，开关S由“1”闭合到“2”，求t0时电压uC和u1的零输入响应、零状态响应以及全响应；(2)如在t=0时，开关S由“1”闭合到“2”，经过1.5s后，开关又由“2”闭合到“3”，求t0时的电压uC和u1。,解:(1)当开关S闭合到“2”后，即t0的电路如图(a)所示。首先求uC(0-)。在t=0-时，开关位于“1

30、”，由于电路已达到稳态，电容可看作是开路，于是得到t=0-的等效电路如图(b)所示。不难求得，uC(0-)=-4V。可见t0时，既有外加激励又有电容的初始电压。因而电路响应为完全响应。,根据换路定律有uC(0+)=uC(0-)=-4 V，用uC(0+)替代图(a)中的电容，得t=0+时的初始值等效电路如图(c)。图中既有外部激励iS，又有初始状态uC(0+)，为区分零输入响应与零状态响应，设uC和u1的零输入响应的初始值分别为uCx(0+)和u1x(0+)，其零状态响应的初始值分别为uCf(0+)和u1f(0+)。零输入响应是输入为零时仅由初始状态引起的响应。将图(c)中iS置零(开路)，可求

31、得uCx(0+)=uC(0+)=-4 Vu1x(0+)=-2 V将图(c)中的uC(0+)置零(短路)，可求得,当电路达到稳态时，电容可看做开路。将图(a)中的电容开路，得稳态等效电路如图(d)所示。设uC和u1的零输入和零状态响应的稳态值分别为uCX()、uCf()和u1x()、u1f()。,uC(t)=8-12 e-t(V),u1(t)=8-6 e-t(V),(2)在0t1.5s区间，开关位于“2”，可得0t1.5s的电路如图(a)所示。与前(a)相同，只是这里仅适于0t1.5s的区间。在此区间，电路响应也相同。可得 uC(t)=8-12 e-t(V)0t1.5 s(1)u1(t)=8-6

32、 e-t(V)0t1.5s(2)当t1.5s时，开关闭合于“3”，可得t1.5s时的电路如图(b)所示。,先求uC(1.5-)。在t=1.5-时，开关仍位于“2”，其电容电压uC 的表示式为式(1)。将t=1.5s代入式(1)，得 uC(1.5-)=8-12e-1.5=5.32 V根据换路定律有uC(1.5+)=uC(1.5-)=5.32 V。于是将电容用uC(1.5+)替代，得t=1.5+的初始值等效电路如图(c)所示。由图可得 uC(1.5+)=5.32 V u1(1.5-)=0 显然，各电压稳态值均为零。由图(b)可得等效电阻为2，所以=RC=0.5s。,根据叠加定理可得t1.5s的电路

33、响应为 uC(t)=5.32e-2(t-1.5)(V)t1.5s u1(t)=0 t1.5s,uC 和u1的波形图如下,作业：P240:6-39、6-40、6-41,第六章 一阶电路,6.1 分解方法在动态电路分析中的运用6.2 零状态响应6.3 阶跃响应和冲激响应6.4 零输入响应6.5 线性动态电路的叠加定理6.6 三要素法6.7 瞬态和稳态6.8 正弦激励的过渡过程和稳态,微分方程通解中的齐次方程解又称为固有响应分量，它的模式与输入无关，不论是什么样的输入，这一分量一般具有Kest的形式，只是K的具体数值一般与输入有关。这一分量的变化方式（如按指数规律变化，变化的快慢等）完全由电路本身所

34、确定，具体说，是由特征根S所确定的，输入仅仅影响这一分量的大小。在有损耗的电路中，这一分量是随着时间的增长而衰减到零的，在这种情况下，这一分量又可称为暂态响应（transient respose）分量。微分方程通解中的特解又称为强制响应分量，其形式一般与输入形式相同。如强制响应为常量或周期函数，则这一分量又可称为稳态响应（steady state respone）。,6.7.瞬态（暂态）和稳态,有损耗的直流动态电路中，固有响应即暂态响应，因而随着时间的增长，零状态响应即趋近于稳态响应。从理论上说，当t趋于无限大时进入直流稳态，但实际上，当t5时电路一般认为即进入直流稳态，零状态响应即等于稳态响

35、应。在进入直流稳态之前,电路处于过渡状态。,当一个非零初始状态的电路受到激励时，电路的响应为全响应。对于线性电路，全响应是零输入响应与零状态响应的和。也可以是稳态响应与暂态响应的和。如前面已经讨论过的一个已充电的电容经过电阻接到直流电压源US。设电容的初始电压uC(0+)=U0，当t=0时开关闭合，电路中电容电压的零输入响应uCx和零状态响应uCf分别为：uCx=U0e uCf=US(1-e）,式中=RC,电路中电容电压的全响应：uC(t)=uCx(t)+uCf(t)=零输入响应+零状态响应=u0 e-t/+us（1-e-t/）t0,电路中电容电压的全响应：uC(t)=uCS(t)+uCT(t

36、)=稳态响应+暂态响应=us+(u0-us)e-t/t0,强迫响应 固有响应(稳态响应)(暂态响应),这时电路的强迫响应是常数，它就是稳态响应；固有响应就是暂态响应，它随着t的增大按指数衰减到零。,对于三要素公式：,前面所接触到的电压和电流均为稳恒直流电，其大小和方向均不随时间变化，称为稳恒直流电，简称直流电。直流电的波形图如下图所示：,电子通讯技术中通常接触到电压和电流，其大小随时间变化，方向不随时间变化，称为脉动直流电，如图所示。,6.8.正弦激励的过渡过程和稳态,1、周期电压和电流,电压或电流的大小和方向均随时间变化时，称为交流电，或称为时变的电压或电流：u(t)，i(t)。在任一时刻的

37、值称瞬时值。时变的电压或电流每个值在经过相等的时间后重复地出现，周期性的，u(t)=u(t+kT)k=0,1,2,3,T 称为周期，重复出现所需的最短时间间隔，单位S。t+KT，波形的一个循环。单位时间内的循环数称为频率，f=1/T 通常交变电压或电流只限于正负半周相等的波形。也称交流电压或电流。,2、正弦量的三要素:,按正弦(余弦)规律随时间作周期变化的电压、电流称为正弦电压、电流,统称为正弦量(或正弦交流)。正弦量可以用正弦函数表示也可用余弦函数表示。本课程用余弦函数表示正弦量。,电压、电流的大小和方向是随时间变化的,其在任意时刻的值,称为瞬时值,表示为 u(t)=Umcos(t+u)i(

38、t)=Im cos(t+i),式中，Um(Im)、u(I)是正弦量的三个要素。,式中，Um(Im)、u(I)是正弦量的三个要素。Um(Im)称为正弦电压u(电流i)的振幅,它是正弦电压(电流)在整个变化过程中所能达到的最大值。(t+u)和(t+i)反映了正弦量变化的进程,称为相位角或相位,单位为弧度(rad)或度()。是相位角随时间变化的速率,即=称为角频率,单位是rad/s。它反映了正弦量变化的速率。它与周期T的关系是,由于频率f=1/T,所以与f的关系是=2/T=2f,为了方便,在描绘正弦量的波形时,通常取t为横坐标,如图所示。当t=T时,t=2。u(i)称为正弦电压(电流)的初相角,简称

39、初相,是正弦量t=0时刻的相角。即(t+u)|t=0=u,(t+i)|t=0=i初相角的单位为弧度(rad)或度()。通常在-u(或i)的主值范围内取值。,初相角的大小与计时起点有关,如果正弦量正最大值发生在计时起点(t=0)之前，因本课程用余弦函数表示正弦量，因而用最大值发生的时刻与t=0时相比较。则u(i)0,如图(a)所示;如发生在计时起点之后,则u(或i)0,如图(c)所示;如果正最大值恰发生在t=0处,则u(或i)=0,如图(b)所示。,正弦量的三个要素是正弦量之间进行比较和区分的主要依据。,3、相位差、超前与滞后：任意两个同频率的正弦量间相位角之差称为相位差,它是区别同频率正弦量的

40、重要标志之一。例如,设相同频率的电压和电流 u(t)=Umcos(t+1)i(t)=Im cos(t+2)二者相角之差(用表示)为=(t+1)(t+2)=1 2 可见,对于两个同频率的正弦量来说,其相位差在任何瞬间都是常数,并等于初相位之差,而与时间t无关。相位差的值也取在-的主值范围,单位为弧度(rad)或度()。,如果=1-20,如图(a)所示,称电压u超前电流i,其相位差为;或者说,电流i落后（滞后）于电压u为度(或弧度)。如果=1-20,如(图b)所示,称电流i超前于电压u,其相位差为;或电压u落后于电流(I)度(或弧度)。,如果=1-2=0,即相位差为零,称电压u与电流i同相,如图(

41、a)所示;如果=1-2=/2,称电压u与电流i正交,如图(b)所示;如果=12=,称电压与电流反相,如图(c)所示。,不同频率的两个正弦量之间的相位差是随时间变化的,而不再是常数。我们主要关心的是同频率正弦量之间的相位差。,4、正弦RC（RL）电路的分析 如图的一阶电路，已知R=1，L=2H，电感电流的初始值iL(0+)=3A，激励的正弦电压uS(t)=Umcost V，其中Um=10V，=2rad/s，求电感电流iL的全响应。如图的电路，按KVL可列出其微分方程为或写为,iL(t)=iLp(t)+iL(0+)-iLP(0+)e-t/t0 式中，电感电流iL(0+)=3A，=L/R=2s，只有

42、电感电流的特解iLp 尚未求得。设电感电流的特解 iLp(t)=Imcos(t+)式中，Im和为待定常数，将iLP(t)及其导数代入得-L Im sin(t+)+R Im cos(t+)=Umcos t,该电路的全响应为：iL(t)=iLp(t)+iLh(t)=iLp(t)+Ke-t/t=0,K=iL(0)-iLP(0),由于上式对任意时间t均成立，故有 R Imsin+L Im cos=0 R Imcos-LIm sin=U m 由以上两式(将R、L、和U m 的值代入)可解得,-L Im sin(t+)+R Im cos(t+)=Umcos t将上式展开并稍加整理，得:,将它们代入得电感电

43、流的特解 iLp=2.43 cos(2t-76)(A)令t=0+，得 iLp(0+)=2.43cos(-76)=0.588 0.59将iL(0+)=3,=2,iLp(0+)=0.59和iLp(t)代入 iL(t)=iLp(t)+iL(0+)-iLP(0+)e-t/t0得图(a)电路在正弦激励下的全响应 iL(t)=2.41e-0.5t+2.43cos(2t-76)(A)t0),固有响应(暂态响应)(齐次方程的解)+强迫响应(稳态响应)(特解),按上式画出iL的波形如图(b)所示。固有响应(这里0)就是暂态响应，随着时间的增长，它按指数规律衰减，当t时，它趋于零；强迫响应是与外加激励同频率的正弦函数，它是稳态响应，称为正弦稳态响应。由以上分析可见，当电路较为复杂时，求解电路的正弦稳态响应将十分繁复，因而需要一种分析和计算正弦稳态响应的简便方法，这就是后面将要介绍的相量法。,作业：P241:6-45、6-47,