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1、现代控制理论,张涛,自动化专业学位课程,华北科技学院自动化系,2.1 线性定常齐次状态方程的解(自由解),2.2 矩阵指数函数状态转移矩阵,2.3 线性定常系统非齐次方程的解,2.1 线性定常系统齐次状态方程的解(自由解),所谓系统的自由解，是指系统输入为零时，由初始状态引起的自由运动。此时，状态方程为齐次微分方程：,(1),(2),给定初始时刻t0时的状态X(t0)X0，则上式有唯一确定解,2.1 线性定常系统齐次状态方程的解(自由解),(3),给定初始时刻t00时的状态X(0)X0，则上式有唯一确定解,证明：和标量微分方程的求解相似,先考察标量齐次微分方程的幂级数解法,假设其解为一幂级数,
2、将此式代入上式得:,等式两边t 的同次幂的系数相等，因此有,而t=0时,则解为,模仿标量齐次微分方程的解法，假设线性定常系统齐次状态方程的解为,将此式代入（1）式,因为,由于,则线性定常系统齐次状态方程（1）的解为,则,将上式代入（1）式验证,和,矩阵指数函数 又称为状态转移矩阵，记作,由于系统没有输入向量，是由初始状态 激励的。因此，这时的运动称为自由运动。的形态由 决定，即是由矩阵A 惟一决定的。,线性定常系统齐次状态方程的解为,或,其几何意义是：系统从初始状态 开始，随着时间的推移，由 转移到，再由 转移到，。的形态完全由 决定。,2.2 矩阵指数函数状态转移矩阵,2.2.1 状态转移矩
3、阵,矩阵指数函数 又称为状态转移矩阵，记作,(t1),X0(t=0),X(t2)(t=t2),(t2-t1),X(t1)(t=t1),(t2),状态空间表示法的一个特点（优点）：状态的变化在时间上可以分段求取。,由此得状态转移矩阵的一个性质组合性质：,1、不发生时间推移下的不变性：,证明：状态转移矩阵定义中，令t0即可得证,2、传递性（组合性）,2.2.2 状态转移矩阵(矩阵指数函数)的基本性质,3、可逆性,证明：,总是非奇异的，必有逆存在，且：,转移矩阵的逆意味着时间的逆转。,4、分解性：设A为nn阶矩阵，t1为t2两个独立自变量，则有：,5、微分性和交换性：对 有：,即,这个性质说明，矩阵
4、与A矩阵是可以交换的。,6.性质六,对于方阵A和B，当且仅当AB=BA时，有 而当ABBA时，则,这个性质说明，除非距阵A与B是可交换的，它们各目的矩阵指数函数之积与其和的矩阵指数函数不等价。这与标量指数函数的性质是不同的。,则有：,(1)若 为对角矩阵,2.2.3 几个特殊的矩阵指数函数,证:,由 定义知,则,（2）若A能通过非奇异变换为对角阵时，即,（3）若 A 为约旦矩阵,则,则有：,则有：,(5)若 为,1.根据 的定义直接计算,2.2.4 状态转移矩阵的计算,对所有有限的t值来说，这个无穷级数都是收敛的。,2.2.4 状态转移矩阵的计算,2.变换 A 为约旦标准型,（1）A 特征根互
5、异,其中 T 是使 A 变换为对角线矩阵的变换阵,有：,2.2.4 状态转移矩阵的计算,解:1)特征值,例2-2 已知矩阵,试计算矩阵指数,2)计算特征向量：,3)构造变换阵P：,则有：,（2）A 特征根有重根,设 具有 个重特征值 则有,解：,将矩阵A变换为约旦标准形的变换矩阵为,3.利用拉氏反变换法求,证明 齐次微分方程,两边取拉氏变换,即,故,对上式两边取拉氏反变换，从而得到齐次微分方程的解：,4.应用凯莱哈密顿定理求,（1）由凯莱哈密顿定理，方阵A满足其自身的特征方程，即,所以有,同理,以此类推，都可用 线性表示。,(2)在 定义中，用上面的方法可以消去 A 的 n及 n以上的冥次项，
6、即,A所有高于(n-1)次的幂都可以由A的0(n-1)次幂线性表出。,其中：为t的标量函数，可按A的特征值确定。,A的特征值互异时，则,（3）的计算公式,证明 根据A满足其自身特征方程的定理，可知特征值 和 A 是可以互换的，因此，也必须满足前面推导出来的式子，从而有：,上式对 求解，即得证。,A 的特征值均相同，为 时，则,证明 同上，有：,上式对 求导数，有：,再对 求导数，有：,重复以上步骤，最后有：,由上面的n个方程，对 求解，即得证。,解,应用凯-哈定理计算,A 的特征值为,于是,状态转移矩阵,从而可联立求得：,因为-1是重根，故需补充方程：,由此可得：,2.3 线性定常系统非齐次方
7、程的解,现在讨论线性定常系统在输入 作用下的强制运动。此时状态方程为非齐次矩阵微分方程：,式中，,当初始时刻为，初始状态为 时，其解为：,式中，,系统的动态响应由两部分组成：一部分是由初始状态引起的系统自由运动，叫做零输入响应；,另一部分是由控制输入所产生的受控运动，叫做零状态响应。,证明 采用类似标量微分方程求解的方法，将状态方程写成：,等式两边同左乘，得：,即,对上式在 区间内进行积分，得:,也可从拉氏变换法求得，对原状态方程进行拉氏变换，有：,即,上式左乘，得：,注意上述等式右边第二项，其中：,两个拉氏变换函数的积是一个卷积的拉氏变换，即,以此代入原等式，并取拉氏反变换，即得：,在特定控制作用下，如脉冲函数、阶跃函数和斜坡函数的激励下，则系统的解可以简化为以下公式：,1.脉冲响应,即当 时,2.阶跃响应,即当 时,3.斜坡响应,即当 时,例：求下列系统的单位阶跃响应,解：由前面例子已求出,系统对单位阶跃输入的响应为：,解:,本章到此结束！谢谢您的观看！请提宝贵意见！,
