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1、高中数学知识汇总1.集合与常用逻辑用语集合与常用逻辑用语集合概念一组对象的全体. 。元素特点：互异性、无序性、确定性。关系子集。；个元素集合子集数。真子集相等运算交集并集补集常用逻辑用语命题概念能够判断真假的语句。四种命题原命题：若，则原命题与逆命题，否命题与逆否命题互逆；原命题与否命题、逆命题与逆否命题互否；原命题与逆否命题、否命题与逆命题互为逆否。互为逆否的命题等价。逆命题：若，则否命题：若，则逆否命题：若，则充要条件充分条件，是的充分条件若命题对应集合，命题对应集合，则等价于，等价于。必要条件，是的必要条件充要条件，互为充要条件逻辑连接词或命题，有一为真即为真，均为假时才为假。类比集合的
2、并且命题，均为真时才为真，有一为假即为假。类比集合的交非命题和为一真一假两个互为对立的命题。类比集合的补量词全称量词，含全称量词的命题叫全称命题，其否定为特称命题。存在量词，含存在量词的命题叫特称命题，其否定为全称命题。2.复数复数概念虚数单位规定：；实数可以与它进行四则运算，并且运算时原有的加、乘运算律仍成立。复数形如的数叫做复数，叫做复数的实部，叫做复数的虚部。时叫虚数、时叫纯虚数。复数相等共轭复数实部相等，虚部互为相反数。即，则。运算加减法，。乘法，除法几何意义复数复平面内的点向量向量的模叫做复数的模，大多数复数问题，主要是把复数化成标准的的类型来处理，若是分数形式z=，则首先要进行分母
3、实数化（分母乘以自己的共轭复数），在进行四则运算时，可以把i看作成一个独立的字母，按照实数的四则运算律直接进行运算，并随时把i2换成-13.平面向量平面向量重要概念向量既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段的长度叫做该向量的模。向量长度为，方向任意的向量。【与任一非零向量共线】平行向量方向相同或者相反的两个非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。向量夹角起点放在一点的两向量所成的角，范围是。的夹角记为。投影，叫做在方向上的投影。【注意：投影是数量】重要法则定理基本定理不共线，存在唯一的实数对，使。若为轴上的单位正交向量，就是向量的坐标。一般表示坐标表示（向量坐标上下文理解）共线条件（共线存在唯一
4、实数，垂直条件。各种运算加法运算法则的平行四边形法则、三角形法则。算律，与加法运算有同样的坐标表示。减法运算法则的三角形法则。分解。数乘运算概念为向量，与方向相同，与方向相反，。算律，与数乘运算有同样的坐标表示。数量积运算概念。主要性质，。，算律，。与上面的数量积、数乘等具有同样的坐标表示方法。圆的方程圆心半径标准方程x 2+ y 2= r 2（0，0）r(x a ) 2 + ( y b ) 2 = r 2（a，b）r一般方程x 2 + y 2 +D x + E y + F = 04.算法、推理与证明算法逻辑结构顺序结构依次执行程序框图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形。条件结
5、构根据条件是否成立有不同的流向循环结构按照一定条件反复执行某些步骤基本语句输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句。推理与证明推理合情推理归纳推理由部分具有某种特征推断整体具有某种特征的推理。类比推理由一类对象具有的特征推断与之相似对象的某种特征的推理。演绎推理根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊性命题为真的推理数学证明直接证明综合法由已知导向结论的证明方法。分析法由结论反推已知的证明方法。间接证明主要是反证法，反设结论、导出矛盾的证明方法。数学归纳法数学归纳法是以自然数的归纳公理做为它的理论基础的，因此，数学归纳法的适用范围仅限于与自然数有关的命题。分两步：首先证明当n取第一个值
6、n0（例如n0=1）时结论正确；然后假设当n=k时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确5.不等式、线性规划 不等式的性质（1）；两个实数的顺序关系：（2）；（3）；（4）；的充要条件是。（5）；（6）一元二次不等式解一元二次不等式实际上就是求出对应的一元二次方程的实数根（如果有实数根），再结合对应的函数的图象确定其大于零或者小于零的区间，在含有字母参数的不等式中还要根据参数的不同取值确定方程根的大小以及函数图象的开口方向，从而确定不等式的解集基本不等式（）（）；（）；（）；。二元一次不等式组二元一次不等式的解集是平面直角坐标系中表示某一侧所有点组成的平面区域。二元一次不等式组的解集是指各个不
7、等式解集所表示的平面区域的公共部分。6.计数原理与二项式定理排列组合二项式定理基本原理分类加法计数原理完成一件事有类不同方案，在第类方案中有种不同的方法，在第类方案中有种不同的方法，在第类方案中有种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法分步乘法计数原理完成一件事情，需要分成个步骤，做第步有种不同的方法，做第步有种不同的方法做第步有种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法. 排列定义从个不同元素中取出个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从从个不同元素中取出个元素的一个排列，所有不同排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示。排列数公式，规定组合定义从个不同元素中，任意取出
8、个元素并成一组叫做从个不同元素中取出个元素的组合，所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示。组合数公式，性质()；()二项式定理定理（叫做二项式系数）通项公式（其中）系数和公式； 7.函数基本初等函数I的图像与性质基本初等函数指数函数单调递减，时，时函数图象过定点单调递增，时，时对数函数在单调递减，时，时函数图象过定点在单调递增，时，时幂函数在在单调递增，图象过坐标原点函数图象过定点在在单调递减8. 函数与方程函数模型及其应用函数零点概念方程的实数根。方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点存在定理图象在上连续不断，若，则在内存在零点。二分法方法对于在区间上连续不
9、断且的函数，通过不断把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法步骤第一步确定区间，验证，给定精确度。第二步求区间的中点；第三步计算：（1）若，则就是函数的零点；（2）若，则令（此时零点）；（3）若，则令（此时零点）（4）判断是否达到精确度即若，则得到零点近似值（或）；否则重复（2）（4）函数建模概念把实际问表达的数量变化规律用函数关系刻画出来的方法叫作函数建模。解题步骤阅读审题分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题。数学建模弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式。解答模型利用数学方法得出函数模型的数学结果。解释模型将数学问
10、题的结果转译成实际问题作出答案。9. 导数及其应用导数及其应用概念与几何意义概念函数在点处的导数。几何意义为曲线在点处的切线斜率，切线方程是。运算基本公式（为常数）；（，且）；（，且）；。运算法则；， ；， 复合函数求导法则。研究函数性质单调性的各个区间为单调递增区间；的区间为单调递减区间。极值且在附近左负（正）右正（负）的为极小（大）值点。最值上的连续函数一定存在最大值和最小值，最大值和区间端点值和区间内的极大值中的最大者，最小值和区间端点和区间内的极小值中的最小者。定积分概念在区间上是连续的，用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点（），。基本定理如果是上的连续函数，并且有，则性
11、质（为常数）； 简单应用区间上的连续的曲线，和直线所围成的曲边梯形的面积。10. 三角函数的图像与性质三角函数的图象与性质基本问题定义任意角的终边与单位圆交于点时，同角三角函数关系。诱导公式， “奇变偶不变，符号看象限”三角函数的性质与图象值域周期单调区间奇偶性对称中心对称轴（）增减奇函数（）增减偶函数()增奇函数无图象变换平移变换上下平移图象平移得图象，向上，向下。左右平移图象平移得图象，向左，向右。伸缩变换轴方向图象各点把横坐标变为原来倍得的图象。轴方向图象各点纵坐标变为原来的倍得的图象。对称变换中心对称图象关于点对称图象的解析式是轴对称图象关于直线对称图象的解析式是。11. 三角恒等变换
12、与解三角形变换公式正弦和差角公式倍角公式余弦正切三角恒等变换与解三角形正弦定理定理。射影定理：变形（外接圆半径）。类型三角形两边和一边对角、三角形两角与一边。余弦定理定理。变形等。类型两边及一角（一角为夹角时直接使用、一角为一边对角时列方程）、三边。面积公式基本公式。导出公式（外接圆半径）；（内切圆半径）。实际应用基本思想把要求解的量归入到可解三角形中。在实际问题中，往往涉及到多个三角形，只要根据已知逐次把求解目标归入到一个可解三角形中。常用术语仰角视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角。俯角视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角。方向角方向
13、角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般是锐角，如北偏西30）。方位角某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角。12. 等差数列等比数列数列、等差数列等比数列一般数列通项公式数列中的项用一个公式表示，前项和简单的递推数列解法累加法型解决递推数列问题的基本思想是“转化”，即转化为两类基本数列-等差数列、等比数列求解。累乘法型转化法待定系数法。比较系数得出，转化为等比数列。等差数列概念满足（常数），递增、递减、常数数列。通项公式。前项和公式为等差数列。等比数列概念满足（的常数），单调性由的正负，的范围确定。通项公式，前项和公式公
14、比不等于时，成等比数列。13. 数列求和及其数列的简单应用数列求和及数列的简单应用常用求和公式等差数列，特别。等比数列，特别。自然数平方和。自然数立方和。常用求和方法公式法如。常用裂项方法：；。分组法如，。裂项法如。错位相减法如。倒序相加法如。数列模型等差数列基本特征是均匀增加或者减少。等比数列基本特征是指数增长，常见的是增产率问题、存款复利问题。一个简单递推数列基本特征是指数增长的同时又均匀减少。如年收入增长率为，每年年底要拿出（常数）作为下年度的开销，即数列满足。注：表中均为正整数14.空间几何体（其中为半径、为高、为母线等）表面积和体积表面积体积棱柱表面积即空间几何体暴露在外的所有面的面
15、积之和。 棱锥棱台圆柱圆锥圆台球15.空间点、直线、平面位置关系（大写字母表点、小写字母表直线、希腊字母表平面）：空间点、直线、平面的位置关系基本公理公理1。用途判断直线在平面内。公理2不共线确定平面。确定平面。确定两平面的交线。公理3两直线平行。公理4，位置关系线线共面和异面。共面为相交和平行。不同在任何一个平面内的两条直线称为异面直线。点线面；。线面。分别对应线面无公共点、一个公共点、无数个公共点。面面，。分别对应两平面无公共点、两平面有无数个公共点。平行关系判定定理性质定理线面线线平行线面平行，线面平行线线平行面面线面平行面面平行面面平行线线平行垂直关系线面线线垂直线面垂直线线垂直线线平
16、行面面线面垂直面面垂直面面垂直线面垂直空间角定义特殊情况范围线线角把两异面直线平移到相交时两相交直线所成的角。两直线平行时角为所成角为时称两直线垂直线面角平面的一条斜线与其在该平面内射影所成角。线面平行或线在平面内时线面角为线面垂直时线面角为二面角在二面角的棱上一定向两个半平面内作垂直棱的垂线，这两条射线所成角。两个半平面重合时为两个半平面成为一个平面时为当二面角为时称两个平面垂直空间距离点面距从平面外一点作平面的垂线，该点与垂足之间的距离。线面距和面面距转化为点面距。线面距直线与平面平行时，直线上任一点到平面的距离。面面距两个平面与平面平行时，一个平面内任一点到另一个平面的距离。16. 空间
17、向量与立体几何空间向量与立体几何空间向量重要概念共面向量一组向量在一个平面内或者通过平移能够在同一个平面内。空间基底空间任何三个不共面的向量都可做空间的一个基底。基本定理共线定理（共线存在唯一实数，。共面定理与、（不共线）共面存在实数对，使基本定理不共面，空间任意向量存在唯一的，使。立体几何中的向量方法线面标志方向向量所在直线与已知直线平行或者重合的非零向量叫做直线的方向向量。法向量所在直线与已知平面垂直的非零向量叫做平面的法向量。位置关系线线平行方向向量共线。线面平行判定定理；直线的方向向量与平面的法向量垂直；使用共面向量定理。面面平行判定定理；两个平面的法向量平行。线线垂直两直线的方向向量
18、垂直。线面垂直判定定理；直线的方向向量与平面的法向量平行。面面垂直判定定理；两个平面的法向量垂直。空间角线线角两直线方向向量为， 。线面角直线的方向向量为，平面的法向量为，。二面角两平面的法向量分别为和，则。空间距离点线距直线的方向向量为，直线上任一点为，点到直线的距离。两平行线距离 转化为点线距。点面距平面的法向量为，平面内任一点为，点到平面的距离。线面距、面面距转化为点面距。17.直线与圆的方程直线与圆的方程直线与方程概念倾斜角轴正向与直线向上的方向所成的角，直线与轴平行或重合时倾斜角为斜率倾斜角为，斜率 （），在直线上。直线方程点斜式在轴截距为时。两点式 在轴截距分别为时。一般式（），时
19、斜率，纵截距。位置关系平行当不重合的两条直线和的斜率存在时， ；如果不重合直线和的斜率都不存在，那么它们都与轴垂直，则/垂直当两条直线和的斜率存在时，；若两条直线中的一条斜率不存在，则另一条斜率为时，它们垂直交点两直线的交点就是由两直线方程组组成的方程组的解为坐标的点。距离公式点点距两点之间的距离。点线距点到直线的距离。线线距到距离圆与方程圆定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹。定点叫做圆心、定长叫做半径。标准方程圆心坐标，半径，方程。标准方程展开可得一般方程、一般方程配方可得标准方程。一般方程中圆心坐标为，半径。一般方程( 其中)相交相切相离直线与圆代数法方程组有两组解方程组有一组解方程
20、组无解几何法圆与圆代数法方程组有两解方程组有一组解方程组无解几何法或或【注：标准根据上下文理解为圆心到直线的距离与两圆的圆心距】18.圆锥曲线的定义、方程与性质圆锥曲线的定义、方程与性质定义标准方程几何性质范围顶点焦点对称性离心率椭圆平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆【，】轴轴坐标原点椭圆中双曲线中双曲线平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线【】抛物线平面内到一个定点和一条定直线（定点不在定直线）距离相等的点的轨迹是抛物线。【焦点到准线的距离等于，焦参数】轴【离心率是曲线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比】轴注：1.表中两种形式的
21、双曲线方程对应的渐近线方程分别为， 。 2.表中四种形式的抛物线方程对应的准线方程分别是。19. 圆锥曲线的热点问题曲线方程与圆锥曲线热点问题曲线与方程概念曲线上点的坐标都是方程的解，以的解为坐标的点都在曲线上，则称曲线为方程的曲线、方程为曲线的方程。求法直接法把动点坐标直接代入已知几何条件的方法。定义法已知曲线类型，求出确定曲线的系数得出曲线方程的方法（待定系数法）。代入法动点随动点运动，在曲线上，以表示，代入曲线的方程得到动点轨迹方程的方法。参数法把动点坐标用参数进行表达的方法。此时，消掉即得动点轨迹方程。交规法轨迹是由两动直线（或曲线）交点构成的，在两动直线（曲线）中消掉参数即得轨迹方程
22、的方法。热点问题定点含义含有可变参数的曲线系所经过的点中不随参数变化的某个或某几个点。解法把曲线系方程按照参数集项，使得方程对任意参数恒成立的方程组的解即为曲线系恒过的定点。定值含义不随其它量的变化而发生数值发生变化的量。解法建立这个量关于其它量的关系式，最后的结果是与其它变化的量无关。范围含义一个量变化时的变化范围。解法建立这个量关于其它量的函数关系式或者不等式，求解这个函数的变化范围或者解不等式。最值含义一个量在变化时的最大值和最小值。解法建立这个量的函数关系式，求解这个函数的最值。20.概率概率定义如果随机事件在次试验中发生了次，当试验的次数很大时，我们可以将发生的频率作为事件发生的概率
23、的近似值，即。事件关系基本关系包含关系；相等关系；和事件；积事件.类比集合关系。互斥事件事件和事件在任何一次实验中不会同时发生对立事件事件和事件，在任何一次实验中有且只有一个发生。性质基本性质， ， 。 互斥事件事件互斥，则。对立事件事件与它的对立事件的概率满足.古典概型特征基本事件发生等可能性和基本事件的个数有限性计算公式， 基本事件的个数、事件所包含的基本事件个数。几何概型特征基本事件个数的无限性每个基本事件发生的等可能性。计算公式21.离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布随机变量及其分布列概念随着试验结果变化而变化的量叫做随机变量，所有取值可以一一列出的随机叫做离散型随机变量。分
24、布列离散型随机变量的所有取值及取值的概率列成的表格。性质（1）；（2）。事件的独立性条件概率概念：事件发生的条件下，事件发生的概率， 。性质： 互斥， 独立事件事件与事件满足，事件与事件相互独立。次独立重复试验每次试验中事件发生的概率为，在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为。典型分布超几何分布，其中，且，且二项分布分布列为：，。数学期望、方差【时为两点分布】正态分布图象称为正态密度曲线，随机变量满足，则称的分布为正态分布正态密度曲线的特点。数字特征数学期望方差和标准差方差：，标准差：22. 统计与统计案例统计与统计案例统计随机抽样简单抽样从总体中逐个抽取且不放回抽取样本的方法。等概率抽样
25、。分层抽样将总体分层，按照比例从各层中独立抽取样本的方法。系统抽样将总体均匀分段，每段抽取一个样本的方法。样本估计总体频率分布在样本中某个（范围）数据在总体中占有的比例成为这个（范围）数据的频率，使用频率分布表、频率分布直方图表达样本数据的频率分布。茎叶图也反映样本数据的分布。统计的基本思想是以样本的分布估计总体的分布。即以样本的频率分布估计总体的频率分布，以样本的特征数估计总体的特征数。众数样本数据中出现次数最多的数据。样本特征数中位数从小到大排序后，中间的数或者中间两数的平均数。平均数的平均数是。方差的平均数为， 。标准差统计案例回归分析相关关系两个变量之间的一种不确定性关系，有正相关和负
26、相关。最小二乘法最小时得到回归直线方程的方法。独立性检验对于值域分别是和的分类变量和，列出其样本频数列联表，通过计算卡方统计量判断两个分类变量是否有关的方法。23. 函数与方程思想,数学结合思想函数与方程思想、数形结合思想函数与方程思想函数思想函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的，函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系方程思想方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，
27、用它表示问题中的其他各量，根据题中隐含的等量关系，列方程（组），通过解方程（组）或对方程（组）进行研究，以求得问题的解决数形结合思想以形助数根据数与形之间的对应关系，通过把数转化为形，通过对形的研究解决数的问题、或者获得解决数的问题解决思路解决数学问题的思想。数形结合的重点是研究“以形助数”，这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野.以数助形根据数与形之间的对应关系，通过把形转化为数，通过数的计算、式子的变换等解决数学问题的数学方法。24. 分类与整合思想,化归与转化思想分类与整合、化归与转化分类与整合分类思想解答数学问题，按照问题
28、的不同发展方向分别进行解决的思想方法。分类与整合思想的主要问题是“分”，解题的过程是“合分合”。整合思想 把一个问题中各个解决的部分，基本合并、提炼得出整体结论的思想方法。化归与转化化归思想根据熟知的数学结论和已知掌握的数学题目解法，把数学问题化生疏为熟练、化困难为容易、化整体为局部、化复杂为简单的解决问题的思想方法。化归转化思想的实质是“化不能为可能”，使用化归转化思想需要有数学知识和解题经验的积累。转化思想 根据熟知的数学结论和已知掌握的数学题目解法，把数学问题化空间为平面、化高维为低维、化复杂为简单解决问题的思想方法。25.坐标系与参数方程坐标系与参数方程坐标系伸缩变换设点是平面直角坐标
29、系中的任意一点，在变换的作用下，点对应到，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，轴的正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，设是平面内任意一点，它的直角坐标是，极坐标是，则且曲线的极坐标方程在极坐标系中，如果平面曲线上任意一点的极坐标至少有一个满足方程，并且坐标适合的点都在曲线上，那么方程就叫做曲线的极坐标方程参数方程概念在平面直角坐标中，如果曲线上任一点的坐标，都是某个变数的函数反过来，对于的每个允许值，由函数式 所确定的点都在曲线上，那么方程 叫做曲线的参数方程，联系变数的变数是参变数，简称参数 参数方程化为普通方程代入法
30、：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数；化参数方程为普通方程为：在消参过程中注意变量、取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定和值域得、的取值范围三角法：利用三角恒等式消去参数；整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去常见曲线的普通方程与参数方程普通方程参数方程直线过点倾斜角为或者 （为参数）圆 （为参数）椭圆 （为参数）双曲线 （为参数）抛物线 （为参数）26. 不等式选讲不等式选讲绝对值不等式解法或。或。；。根据绝对值的意义结合数轴直观求解。零点分区去绝对值，转化为三个不等式组求解。构造函数利用函数图象求解。三角不等式；。重要不等式均值不等式。柯西不等式二维形式，
31、等号当且仅当时成立。向量形式是两个向量，则，当且仅当是零向量或存在实数，使时，等号成立。一般形式等号当且仅当或时成立（为常数，）。排序不等式设为两组实数，是的任意排列，则，当且仅当或时反序和等于顺序和。证明方法比较法作差和作商比较综合法根据已知条件、不等式的性质、基本不等式，通过逻辑推理导出结论分析法执果索因的证明方法反证法反设结论，导出矛盾放缩法通过把不等式中的部分值放大或缩小的证明方法数学归纳法证明与正整数有关的不等式。27.二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：判别式二次函数的图象一元二次方程的根有两个相异实数根 有两个相等实数根没有实数根一元二次不等式的解集28.三角函数的图象与性质：函数正弦函数余弦函数正切函数图象定义域RRx| x+k,kZ值域-1,1-1,1R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性增区间-+2k,+2k减区间+2k, +2k增区间-+2k, 2k 减区间2k,+2k( kZ )增区间(-+k,+k)( kZ )对称轴x = + k( kZ )x = k ( kZ )无对称中心( k,0 ) ( kZ )(+ k,0 )( kZ )( k,0 ) ( kZ )第 23 页 共 23 页
