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1、1,第四章 相似原理和量纲分析,2,第四章 相似原理和量纲分析,41 引言42 相似原理43 相似准则44 模型规律,45 定理和量纲分析的应用 习 题,3,第四章 相似原理和量纲分析,4-1 引言,相似原理和量纲分析,实验既是发展理论的依据又是检验理论的准绳，解决科技问题往往离不开实验手段的配合。,a、工程性的模型实验。目的在于预测即将建造的大型机械或水工结构上的流动情况；b、探索性的观察实验。目的在于寻找未知的流动规律，指导这些实验的理论基础就是相似原理和量纲分析。,工程流体力学中的实验主要有两种：,4,4-2 相 似 原 理,当设计制造某些复杂而庞大的水力机械，建造水利工程以及研究某些复
2、杂的水力现象时，往往要根据相似原理，设计制造缩小了尺寸的模型。进行模拟实验，通过对模型的流动状况观测来推断实物的流动状况及有关数据。,分析研究模型和实物间的相似关系的基本理论称为相似理论。实物又称为原型。,相似原理和量纲分析,定义：,5,一、几何相似,模型参数加脚码 m，原型参数加脚码 n 表示。,相似原理和量纲分析,原型与模型中对应的几何线性尺寸成比例，对应的几何角度相等，称为几何相似。,定义：,6,二、运动相似,相似原理和量纲分析,原型与模型中对应的运动参数如速度、加速度方向一致，大小成比例，称为运动相似。,定义：,7,三、动力相似,相似原理和量纲分析,原型与模型中对应点处受力方向相同、大
3、小成比例，称为动力相似。,定义：,8,单位质量比尺为,（410）,据式（49）可写,即,（411）,式中，为一个无因次量，称为牛顿数，以 表示。,（412）,就是说，两个几何相似的流动，如果动力相似，则牛顿数必相等；反之，牛顿数相等的两个几何相似的流动，必然是动力相似的。故几何相似仅是相似的必要条件，而运动相似和动力相似才是相似的充要条件。,相似原理和量纲分析,故式（411）变为,9,4-3 相 似 准 则,一、雷诺数,由式（410）知惯性力的因次为，如用T 替换F，则,因，故简化上式得,（413）,式中，称为雷诺数 数。,物理意义：,相似原理和量纲分析,粘性引起的内摩擦力为，从因次上可写,惯
4、性力与粘性力的比。,10,二、弗劳德数,用以代替式（410）中的F，则,简化后得,（414）,式中，称为弗劳德 数。,物理意义：,相似原理和量纲分析,惯性力与重力之比。,在具有自由表面的液流中，起主要作用的为重力在因次上为,11,三、欧拉数,在因次上为,将其代替式（410）中的F时，则,即,式中，称为欧拉 数。,物理意义：,（415）,相似原理和量纲分析,压力与惯性力之比。,研究淹没在流体中的物体表面上的压力或压强分布时，起主要作用的力为压力。,12,定义：,（416）,称为不可压缩流体定常流动的力学相似准则。,相似原理和量纲分析,如果两个流动成力学相似，则它们的弗劳德数、欧拉数、雷诺数必须各
5、自相等。于是,13,相似原理和量纲分析,四、马赫数,当考虑流体压缩性时，弹性力起主要作用 F=EA,14,相似原理和量纲分析,五、韦伯数,六、阿基米德数,15,相似原理和量纲分析,16,4-4 模 型 律,两个相似准数在同一个物理现象中，常不能同时满足相似关系。例如雷诺数和弗劳德数就不易同时满足。,欲使雷诺数相等，将有,欲使弗劳德数相等，将有,这在技术上很难甚至不可能做到。实际中，常常要对所研究的流动问题作深入的分析找出影响流动问题的主要作用力，满足一个主要力的相似而忽略其它次要力的相似。,相似原理和量纲分析,17,例：对于管中的有压流动及潜体绕流等，只要流动的雷诺数不是特别大，一般其相似条件
6、依赖于雷诺准则数。,而行船引起的波浪运动、明渠水流、绕桥墩的水流、容器壁小孔射流等主要受重力影响，相似条件要保证弗劳德数相等。,相似原理和量纲分析,18,4-5 定理和量纲分析的应用,一、定理,假定用函数,（418）,表示一个需要研究的物理规律，在一定的单位制下，这k+1个物理量都有一定的单位和数值。,相似原理和量纲分析,一物理现象所包含的各物理量间的函数关系，如果选用一定单位制，则其关系的函数式就确定了，若改变单位制则函数关系可能受影响。要使它不受单位制选择的影响，必须具有特殊的函数关系的结构形式。定理就是化有量纲的函数关系为无量纲的函数关系式的方法。,19,取对所研究的问题有重大影响的几个
7、物理量。例如取作为基本单位。,其中 单位制需满足：（1）基本单位应该是各自独立的；（2）利用这几个基本单位应该能够导出其它所需要的一 切物理量的单位。,由于研究问题各不相同，对每种问题起重大影响的因素自然也不同。满足上述两点要求的基本单位可以有很多种组合形式。,例如研究水头损失及流动阻力等问题，其影响因素常离不开线性尺寸，流体运动速度 及流体密度 这三个基本物理量。这三个物理量分别具有几何学、运动学和动力学的特性。满足要求（1）、（2），因而以 可以组成一组特殊单位制。,相似原理和量纲分析,20,因而式（418）中的物理量都可以表示成这三种基本单位的一定幂次组合与一个无量纲数的乘积，即,式中无
8、量纲数,就是物理量N与 基本单位制下的数值，因而在 基本单位制下，式（418）的规律仍然不变，只是各物理量的数值有所改变。,相似原理和量纲分析,21,于是，式（418）可写成,（421）,从右端前三项不难看出，其分母上的乘幂为,根据式（420）可得,相似原理和量纲分析,22,于是,这样，运用选择新基本单位的办法，可使原来k+1个有量纲的物理量之间的函数式（418）变成 k+1-3个即k-2个无量纲数之间的函数式（422），这就是泊金汉定理。因为经常用 表示无量纲数，故又简称 定理。,因为 是无量纲数，因而式（420）右端分子分母的量纲必须相同，对每个物理量 列出其分子分母量纲 的幂次方程，联立
9、求解，即可确定式（422）中的所有量纲数。,相似原理和量纲分析,23,二、量纲分析的应用,解 根据题意知,选择 作为基本单位，于是,相似原理和量纲分析,例题41管中流动的沿程水头损失。,根据实际观测知道，管中流动由于沿程摩擦而造成的压强差 与下列因素有关：管路直径 d，管中平均速度，流体动力粘度，管路长度 l，管壁的粗糙度，流体的密度 试求水中流动的沿程水头损失。,24,各物理量的量纲如下：,首先分析 的量纲，因为其分子分母的量纲应该相同，所以,解得,所以,相似原理和量纲分析,25,其次再分析 的量纲，同理有,解得,所以,同理可得,将所有 值代入式（422）可得,因为管中流动的水头损失,相似原
10、理和量纲分析,26,相似原理和量纲分析,第四章 习 题,41 在层流情况下，流过一小等边三角形截面的孔（边长为 b，孔长为 L)的体积流量 Q 为动力粘性系数，单位长度上的压降 及 b 的函数。试将此关系写成无因次式。若 b 加倍，流量有何变化？,解：对未知参数小于等于 4 个时，可直接用量纲分析法求得其准确的函数关系，并称之为雷利法。,27,相似原理和量纲分析,28,相似原理和量纲分析,42 飞行物体在静止空气中运动相当于气流绕固定物体流动。根据测定，绕流时流体所受到的阻力 D 与物体横断面线性尺寸 l，气流平均流速，气体密度，动力粘度 有关，试分析绕流阻力公式。,29,相似原理和量纲分析,30,相似原理和量纲分析,43 用长度比例尺 的模型试验炮弹的空气动力特性，已知炮弹的飞行速度为 1000 m/s，空气温度为，空气动力粘性系数为；模型空气温度为，空气动力粘性系数为，试求同时满足弹性力相似和粘性力相似的模型风速和风压。,31,相似原理和量纲分析,解：此题是马赫相似准则和雷诺相似准则综合应用问题，由已知条件，应先由马赫相似准则求,然后用雷诺相似准则求，中间需借助理想气体状态方程作为桥梁。,32,相似原理和量纲分析,33,本章结束,相似原理和量纲分析,
