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1、 一元微积分学,大 学 数 学（一）,第十六讲 求导法则,主讲:岑利群,第二节 求导法则,一.基本初等函数的导数,二、导数的四则运算法则,三.反函数的导数,四.复合函数的导数,五、隐函数的求导法则,六.参数方程求导法则,七.取对数求导法,推导一些基本公式啊！,一.基本初等函数的导数,1.y=C x R(C为常数),Q,通常说成：常数的导数为零.,2.幂函数,等价无穷小替代,自变量对其本身的导数为 1,3.指数函数,4.对数函数,等价无穷小替代,求y.,等价无穷小替代,故,或重要极限,5.三角函数,(1),和差化积,等价无穷小,(2)其它三角函数的导数,这些公式一般运用后面所讲的方法进行推导.,
2、（仿照正弦函数的推导方法）,若函数 u(x),v(x)均可导,则,二、导数的四则运算法则,推广至有限个可导函数的情形:,在证明这些公式时,用到下列表达式：,1.证明,解,解,由和的求导公式,2.证明,证,设 u C(C为常数),v=v(x)可导,则,通常说成:常数因子可以提到导数符号外面,设,直线上任意一点处的切线就是它本身.,线性函数的导数为一个常数.,解,已知,解,3.证明,故,用乘法公式证明除法公式,解,设函数 v(x)可导,且 v(x)0,证明,令 u(x)=1,证,由商的导数公式,得,解,解,点(x,y)处的切线相同.,y,T,A(x,y),x,x,O,y,若 y=(x)的反函数 x
3、=f(y)存在,则 x=f(y),与 y=(x)的图形相同,故 x=f(y)与 y=(x)在,是 y=(x)的图形与x 轴正向的夹角.,是 x=f(y)的图形与x 轴正向的夹角.,三.反函数的导数,反函数的导数是其直接函数导数的倒数.,定理,设单调函数 x=(y)在区间 I 内可导,(x)0,某区间 J 内单调、可导,且,该定理说明：一个函数单调、连续、可导,则它的反函数存在,且单调、连续、可导.,则它的反函数 y=f(x)在相应的,(该定理的证明较简单,由学生自己阅读.),这里仍指严格单调,它是 x=sin y,且导数不为0,上单调、连续、可导,又,故,解,你觉得做完了吗？,而,于是,它是
4、x=cos y,解,故,又,故,解,类似可得,注意：,例：,作业17页第一题的一小题,且,或,定理,设 u=(x)在点 x 处可导,y=f(u)在对应,点 u(u=(x)处也可导,复合函数 y=f(x),在 U(x)内有定义,则 y=f(x)在点 x 处可导,四.复合函数的导数,y=f(u)在相应点 u 处可导,(当 u 0,0),以 x 除上式,得,证,给 x 以增量 x,相应地 u=(x)有增量 u,对于u,y=f(u)有增量 y.,对上式两边取 x 0 的极限,由 u=(x)在点 x 处可导,得,即,或,例如,则在各函数可导且 f(h(x)在 U(x)有定义时,或,该定理可推广到任意有限
5、次复合的情形.,有,解,一般按“由外向里层层求导”法求导,注意：,复合函数求导是我们学习求导的难点和关键，一般我们在学习的过程中，按照三种程度来学习，如果使用熟练以后，再真正做到一步到位。,第一程度：,要求（1）会看得出复合函数是怎样复合成的（2）,例：,解一：,第二种程度：,1）理解,2）,由外至里一步一步求导。,解二：,第三程度：,主要是在第二程度的熟练下我们可以省掉其中的若干步骤，直接写出结果,解三：,解,证,综上所述,解,解,解,解,按复合函数求导法则,解,注意利用函数 的性质,解,设 y=f(x)可导,则,证明：在(a,a)内可导的奇函数的导数是偶函数；偶函数的导数是奇函数。,设 f
6、(x)为(a,a)内的偶函数,则 f(x)=f(x).,即偶函数的导数是奇函数.,同理可证,奇函数的导数是偶函数.,证,F(x,f(x)0,对上式两边关于 x 求导：,然后,从这个式子中解出 y,就得到隐函数的导数.,方法：,则将 y=f(x)代入方程中,得到,如果由方程 F(x,y)=0 确定隐函数 y=f(x)可导,五、隐函数的求导法则,注意：,1）把,看成是,的函数,，而对方程两边关于,求导,记住如果是先对,2）,实际上还是对复合函数求导的应用,求导一定还要,对,求导,例：,设由方程,确定函数,求,求由方程,(x 0),所确定的隐函数的导数 y,并求,方程两边关于 x 求导：,故,由原方
7、程可得：F(0,y)=0y e0+ey=0,从而,解,故,求椭圆,对方程两边关于 x 求导得：,故所求切线的方程为：,解,整理后,切线方程为：,选择一个适当的参数 t 后,的形式,此式称为函数 y=f(x)的参数方程.,y=f(x)可表示为,1.参数方程的概念,六.参数方程求导法则,参数方程求导法则：,设,利用反函数求导法则可证明该法则,由微分形式不变性更是一目了然,思想：,因为不是所有的,和,都能表示成显式的关系，,当,对,求导时，,我们不能直接求导，只能 对,先求导，然后 对,求导。,1）,2）,对,求导可以利用反函数的导数转换为,对,导数的倒数,椭圆上任意一点x处的切线的斜率为,故,从而,所求切线方程为：y=b.,解,又,星形线是一种圆内摆线,解,然后,对方程两边关于 x 求导：,方法:,在条件允许的情况下,对 y=f(x)两边,同时取对数：,注意：y 是 x 的函数.,七.取对数求导法,取对数求导法常用来求一些复杂的乘除式、根式、幂指函数等的导数.,运用取对数求导法,两边关于 x 求导：,故,解,运用取对数求导法,两边关于 x 求导：,解,整理得,对这类型的题用取对数求导法很方便哦！,运用取对数求导法,解,故,基本初等函数的导数,导数的四则运算法则,反函数的导数,复合函数求导法,隐函数的求导法,参数方程求导法,取对数求导法,求导方法小结,按定义求导,
