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1、第二章 连续时间系统的时域分析,LTI系统分析概述,系统分析研究的主要问题：对给定的具体系统，求出它对给定激励的响应。具体地说：系统分析就是建立表征系统的数学方程并求出解答。,系统的分析方法,输入输出法,状态变量法,输入输出法,时域分析,变换域法,连续系统频域法和复频域法,离散系统z域法,系统特性：系统函数,连续系统,离散系统,经典法,双零法,零输入：经典法,零状态：卷积积分 法,与(t)有关的问题有待进一步解决-h(t)；,卷积积分法:任意激励下的零状态响应可通过冲激响应来求。(新方法),求解的基本思路：,（1）把零输入响应和零状态响应分开求。（2）把复杂信号分解为众多基本信号之和，根据线性
2、系统的可加性：多个基本信号作用于线性系统所引起的响应等于各个基本信号所引起的响应之和。,连续时间系统的数学模型,许多实际系统可以用线性系统来模拟。若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用线性常系数微分方程来描述。,微分方程的列写,根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑约束列写系统的微分方程。,元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻，电容，电感各自的电压与电流的关系，以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。,网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系,KCL,KVL.,由系统结构建立数学模型,图示RLC电路，以uS(t
3、)作激励，以uC(t)作为响应，由KVL和VAR列方程，并整理得,二阶常系数线性微分方程。,抽去具有的物理含义，微分方程写成,这个方程也可以描述下面的一个二阶机械减振系统。,其中，k为弹簧常数，M为物体质量，C为减振液体的阻尼系数，x为物体偏离其平衡位置的位移，f(t)为初始外力。其运动方程为,能用相同方程描述的系统称相似系统。,例：已知框图，写出系统的微分方程。,设辅助变量x(t)如图,x”(t)=f(t)2x(t)3x(t),即x”(t)+2x(t)+3x(t)=f(t),y(t)=4x(t)+3x(t),根据前面，逆过程，得,y”(t)+2y(t)+3y(t)=4f(t)+3f(t),由
4、系统模拟框图建立数学模型,n阶线性时不变系统的描述,一个线性系统，其激励信号 与响应信号 之间的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述,若系统为时不变的，则a，b均为常数，此方程为常系数的n阶线性常微分方程。,阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。,零输入响应和零状态响应,求解连续时间系统微分方程的经典法,微分方程的经典解：y(t)(完全解)=yzi(t)(齐次解)+yzs(t)(特解）,齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励f(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应；特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。,齐次解是齐次微分方程 的解。,全 解：齐次解+特解，由初始
5、条件定出齐次解Ak。,我们一般将激励信号加入的时刻定义为0，响应为 时的方程的解，初始条件:,特 解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式代入原方程，比较系数 定出特解。,几种典型激励函数相应的特解,激励函数f(t),响应函数y(t)的特解,对于一个具体的电网络，系统的 状态就是系统中储能元件的储能情况;,当系统用微分方程表示时，系统的 到 状态有没有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含 及其各阶导数项。,一般情况下换路期间电容两端的电压和流过电感中的电流不会发生突变。这就是在电路分析中的换路定则：,但是当有冲激电流强迫作用于电容或有冲激电压强迫作用于电感，状态就会发生跳变。
6、,几点说明,系统响应划分,自由响应强迫响应(Natural+forced),零输入响应零状态响应(Zero-input+Zero-state),暂态响应+稳态响应(Transient+Steady-state),没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。,也叫固有响应，由系统本身特性决定的，和外加激励形式无关。对应于齐次解。,形式取决于外加激励。对应于特解。,是指激励信号接入一段时间内，完全响应中暂时出现的有关成分，随着时间t增加，它将消失。,由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态响应分量。,不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号产生的响
7、应。,(1)自由响应：,(2)暂态响应：,稳态响应：,强迫响应：,(3)零输入响应：,零状态响应：,各种系统响应定义,冲激响应和阶跃响应,冲激响应阶跃响应,系统在单位冲激信号 作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。,冲激响应,定义,从系统微分方程求解冲激响应,直接求解,对于线性时不变系统,可以用一高阶微分方程表示,h(t)解答的形式,设特征根为简单根（无重根的单根）,由于 及其导数在 时都为零，因而方程式右端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。,间接求解,当方程右端只有 时的冲激响应为，即,其解为,初始条件为,（*）,线性时不变系
8、统的微分特性，方程（*）的解为,阶跃响应,系统的输入为(t)，系统方程的右端将包含阶跃函数，所以除了齐次解外，还有特解项。,也可以根据线性时不变系统特性，利用冲激响应与阶跃响应关系求阶跃响应。,系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应。,定义,阶跃响应与冲激响应的关系：,线性时不变系统满足微、积分特性,信号的时域分解和卷积积分,卷积利用卷积积分求系统的零状态响应卷积图解说明卷积积分的几点认识,基本思想：如果能把任意输入信号分解成基本信号的线性组合，那么只要得到了LTI系统对基本信号的响应，就可以利用系统的线性特性，将系统对任意输入信号产生的响应表示成系统对基本信号的
9、响应的线性组合。,问题的实质：,1.研究信号的分解：即以什么样的信号作为构成任意信号的基本信号单元，如何用基本信号单元的线性组合来构成任意信号；2.如何得到LTI系统对基本单元信号的响应。,作为基本单元的信号应满足以下要求：,1.本身尽可能简单，并且用它的线性组合能够表示（构成）尽可能广泛的其它信号；2.LTI系统对这种信号的响应易于求得。,如果解决了信号分解的问题，即：若有,则,将信号分解可以在时域进行，也可以在频域或复频域进行，相应地就产生了对LTI系统的时域分析法、频域分析法和复频域分析法。,分析方法：,连续时间信号应该可以分解成一系列移位加权的单位冲激信号的线性组合。至少单位阶跃与单位
10、冲激之间有这种关系：,信号的时域分解,第一个窄脉冲表示为：,第n个窄脉冲表示为：,第二个窄脉冲表示为：,则,当 时,表明：任何连续时间信号都可以被分解成移位加权的单位冲激信号的线性组合。,任意信号作用下的零状态响应卷积积分,根据h(t)的定义：,由时不变性：,由齐次性：,由叠加性：,f(t),yzs(t),卷积积分:,表明:一旦求得LTI系统的冲激响应h（t），只要计算f（t）与h（t）的卷积积分，就可以求得系统由f（t）引起的零状态响应的，这种分析方法称为卷积积分（The convolution integral）。,卷积积分的定义,已知定义在区间（，）上的两个函数f1(t)和f2(t)，则
11、定义积分,为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为 f(t)=f1(t)*f2(t)注意：积分是在虚设的变量下进行的，为积分变量，t为参变量。结果仍为t 的函数。,卷积的计算,由于系统的因果性或激励信号存在时间的局限性，卷积的积分限会有所变化卷积积分中积分限的确定是非常关键的,借助于阶跃函数(t)确定积分限 利用图解说明确定积分限,借助于阶跃函数(t)确定积分限,若 时，则上式中 可表达为 则积分下限应从 开始，即,当f（t）、h（t）受到某种限制，卷积积分一般形式的上下限会有所变化。,若f（t）不受限制，而 时，则上式中 可表示为，即 的时间范围才不等于零，因此积分上限取，即,若
12、时，而 时，则对于积分而言，和 时被积函数为零，则上式的积分限应取为从 到，即积分变量的积分范围为，而对于t应满足，或将卷积的结果乘以，于是,卷积的图解求法,用图解法直观，尤其是函数式复杂时，用图形分段求出定积分限尤为方便准确。,（换元）,（反转平移）,（相乘）,（积分）,卷积是系统分析中的重要方法，通过冲激响应h(t)建立了响应y(t)与激励f(t)之间的关系。,积分限由 存在的区间决定，即由 的范围决定。,例:,当t-1,当-1t1,当1t2,当2t4,当t4,浮动坐标,浮动坐标：,下限 上限,t-3,t-0,t：移动的距离,t=0 f2(t-)未移动,t0 f2(t-)右移,t0 f2(
13、t-)左移,-1,1,t-1,两波形没有公共处，二者乘积为0，即积分为0,-1 t 1,时两波形有公共部分，积分开始不为0，积分下限-1，上限t，t 为移动时间;,1 t 2,即1 t 2,2 t 4,即2 t 4,t 4,即t 4,t-31,卷积结果,总结,求解响应的方法：,时域经典法：,双零法：,完全解=齐次解+特解,解齐次方程，用初（起）始条件求系数；,卷积的性质,运算规律,1交换律,2分配律（系统并联）,结论：子系统并联时，总系统的冲激响应等于各子系统冲激响应之和。,3结合律（系统级联）,结论：时域中，子系统级联时，总的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积。,卷积积分的性质,1.卷积的时移特性,已知,2.微分性,3.积分性,4.微、积分性质,5.与冲激函数或阶跃函数的卷积,例,例,图(a)系统由三个子系统构成，已知各子系统的冲激响应 如图(b)所示。求复合系统的冲激响应，并画出它的波形。,(a),(b),解：,如图（c）所示,(c),
