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1、1,第六章 不可压缩理想流体的无旋运动,2,第六章 不可压缩理想流体的无旋运动,61 引言 62 流体微团运动分析 6 3 无旋流动的速度势 64 平面流动的流函数 65 基本平面势流 66 势流的叠加原理,3,第六章 不可压缩理想流体的无旋运动,6-1 引言,不可压缩理想流体的无旋运动,本章主要研究不可压缩理想流体平面无旋运动，平面无旋运动的速度场可通过计算速度势、流函数及复势这三条途径来确定。,4,6-2 流体微团运动分析,由理论力学可知，刚体有平移和旋转两种运动形式，而流体运动则不同。由于流体微团在流场中各点的速度不同，但又要保持流体本身的连续性，因此流体微团除有平移和旋转运动外，还有变
2、形运动。下面将分析流体微团的三种运动形式。,不可压缩理想流体的无旋运动,如图61所示的平面运动中的流体微团。设在 t 时刻流体微团为矩形ABCD，经过 时段后它移动到新的位置并变形为，又设 t 时刻角点A的速度为，根据泰勒级数展开，得B、C点的速度分别为,5,不可压缩理想流体的无旋运动,6,各点的速度中均包含有，由图61可见，是平移速度。,（1）线变形 以AB为例。因为角点B沿 x 方向的速度比角点A快（或慢），所以经过 时段后，AB边在 x 方向的伸长（或缩短）量为。单位时间单位长度的线变形称为线变形速度，并记为，则,1、平移运动,2、变形运动,不可压缩理想流体的无旋运动,7,将平面上角变形
3、速度之半定义为流体微团的剪切变形速度，记为 由图6-1可知，A点的角度变化为,根据流体微团剪切变形速度的定义得,（62）,不可压缩理想流体的无旋运动,（2）剪切变形,8,将流体微团上两条直线旋转角速度的平均值定义为流体微团的旋转角速度，记为，假设直线逆时针方向旋转的角速度为正，则由（1）（2）式可知，单位时间内AB边的旋转角度为，单位时间内AC边的旋转角度为，根据流体微团旋转角速度的定义得,如果流体流动时所有流体微团仅作平移和变形运动，没有旋转运动，即，则称该流动为无旋流动（势流）。,（63）,不可压缩理想流体的无旋运动,3、旋转运动,定义：,9,6-3 无旋流动的速度势,无旋运动，在直角坐标
4、中必有,（64）,式（64）是 为某一势函数 的全微分的充分必需条件，其中 t 为参变量，必有,又因,说明无旋必有势,故,（65）,不可压缩理想流体的无旋运动,10,圆柱坐标系,（66）,球坐标系,（67）,不可压缩理想流体的无旋运动,11,证,流速势函数 的性质：,（68）,其中,不可压缩理想流体的无旋运动,1、对于任意方向 的方向导数等于该方向的分速，即,12,流速势函数等于常数的曲面积为等势面。在其面上位于等势面上的线称为等势线。,所以,式中,不可压缩理想流体的无旋运动,2、等势线与流线正交,定义：,说明：速度u与ds正交。等势线既是过流断面线。一族流线与等势线构成相互正交的流网。,13
5、,3、流速势函数沿流线 s 方向增大。,从而得,不可压缩理想流体的无旋运动,由性质1得沿流线方向的速度为,沿流线方向速度，所以，即说明 值增大的方向与 s 方向相同。,14,4、流速势函数是调和函数,代入不可压缩流体的连续方程中得,上式说明流速势函数 满足拉普拉斯 方程式，在数学上称满足拉普拉斯方程式的函数为调和函数，所以流速势函数 是调和函数。,不可压缩理想流体的无旋运动,平面势流中,15,6-4 平面流动的流函数,一、流函数的定义及其确定,它是使 成为某一函数 的全微分的充要条件，则有,不可压缩理想流体的无旋运动,对于不可压缩流体的平面流动，其连续方程式为,16,就称为不可压缩流体平面流动
6、的流函数。,类似地可证，在极坐标中,（613）,因为流函数存在的条件是要求流动满足不可压缩流体的连续方程式，而连续方程式是任何流动都必须满足的，所以说任何平面流动中一定存在着一个流函数。,不可压缩理想流体的无旋运动,17,二、流函数的基本性质,证：考察通过任意一条曲线AB（z 方向为单位长度）的流量。（图62）对于通过微元矢量 的流量,则通过AB两点的任意连线AB的流量,（614）,不可压缩理想流体的无旋运动,1、等流函数线为流线,2、两条流线间通过的流量等于两条流线的流函数之差。,18,3、等流函数线（流线）与等势线正交,说明流函数的梯度与速度势的梯度（即速度）正交，故分别与它们垂直的等流函
7、数线（即流线）与等势线正交。,例题61不可压缩流体流场的流函数（1）流动是无旋还是有旋？（2）若无旋，确定流动的速度势。,不可压缩理想流体的无旋运动,这是因为,19,不可压缩理想流体的无旋运动,4、在平面无旋流动中,流函数满足拉普拉斯方程，是调和函数。,证：平面无旋流动需满足,则,因为,代入上式，,平面无旋流动的流函数和流速势函数之间的关系式为：,20,不可压缩理想流体的无旋运动,在数学分析中，这个关系式称为柯西黎曼条件，满足这个条件的两个调和函数称共轭调和函数，已知其中一个函数就可以求出另一个函数。,21,不可压缩理想流体的无旋运动,22,6-5 基本平面势流,一、平行等速流,它是一组斜率为
8、 平等直线，如图63所示,不可压缩理想流体的无旋运动,设液体作平行直线等速流动，流场中各点速度的大小和方向均相同，即 均为定值。,23,不可压缩理想流体的无旋运动,24,流体从某一点径向流出称为源，如图64（a）所示。流体从某一点径向流入称为汇，如图64（b）所示。设半径 r 方向水层的厚度为1，源（汇）的流量为Q，则,由此,不可压缩理想流体的无旋运动,二、源流汇,定义：,25,由于源汇只有径向流动，所以圆周方向的速度分量。,在极坐标中，由式（66）,积分得,（618）,不可压缩理想流体的无旋运动,式中 分别是关于 的积分常数，根据上面两个应该相等，得,26,不可压缩理想流体的无旋运动,式中
9、分别是关于 的积分常数，由两个 应该相等，得,（619）,故,假定流出流量为正，则源流取“”号，汇流取“-”号。源汇流的等势线为一组同心圆。,27,不可压缩理想流体的无旋运动,三、势涡流,28,不可压缩理想流体的无旋运动,等势线是一族射线。,29,若将位于 点，强度为Q的源与位于B 点等强度的汇叠加（图65）令 分别为源与汇的速度势和流函数，则叠加后某点 的速度势,（622）,流函数,（623）,不可压缩理想流体的无旋运动,四、源与汇叠加,30,6-6 势流的叠加原理,由于势流的速度满足拉普拉斯方程，而拉普拉斯方程又是线性的，故几个势流的速度势叠加后仍满足拉普拉斯方程。,设有两个势流，其速度势分别为，则,（624）,此时，两个速度势之和将代表一个新的不可压缩流体平面势流，其速度势,（625）,不可压缩理想流体的无旋运动,31,因为,（626）,即速度势叠加结果，代表一新的复合流动，其速度分量,（627）,同理可证明，新的复合流动的流函数,（628）,不可压缩理想流体的无旋运动,32,叠加两个或多个势流组成一新的复合势流，只需将各原始势流的速度势或流函数简单地相加，其速度将是各原始势流速度的矢量和。,不可压缩理想流体的无旋运动,势流的叠加原理：,33,本章结束,不可压缩理想流体的无旋运动,
