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1、第二章 地震信号的频谱分析,资源与信息学院宋炜,2,地震信号的频谱分析,频谱分析概述傅立叶展开的重要性质地震波频谱特征及其应用,3,地震信号的频谱分析,频谱分析是地震勘探中一个十分重要的概念。频谱分析的数学基础是付立叶(Fourier)分析。本节重点是地震频谱的基本概念：1)几个定理 2)线性时不变系统的滤波方程 3)各种地震波的频谱特征,4,频谱分析概述,一个复杂的信号可以分解成不同频率的正弦信号，反之亦然。在信号研究和处理中采用分解过程比合成更多一些。所谓频谱分析，就是利用付立叶方法来对振动信号进行分解并进而对它进行研究和处理的一种过程。频谱的概念也可以这样叙述：一个复杂的振动信号，可以看
2、成是由许多简谐分量叠加而成；那许多简谐分量及其各自的振幅、频率和初相，就叫做那复杂振动的频谱,5,信号的合成和分解,6,信号的合成和分解,7,信号的合成和分解,时间（s）,频率（Hz）,频率（Hz）,8,狄利克莱（Dirichlet)条件,不是所有的信号都可以分解（哪怕无限多个）简谐振动。数学上确立了确切的条件，狄利克莱（Dirichlet)条件，任意一个区段内，1)信号f(t)除有限个间断点外都连续，2)仅有有限个极大和极小值。这是傅里叶级数展开的充分必要条件。,能分解的振动曲线,不能分解的振动曲线,9,频谱的表示,讨论周期函数（设自变量是时间t）的付立叶展开。所谓周期函数，就是满足下列条件
3、的函数：n=0，士1，士2，T是常量，单位为秒，是物理量u的振动（视）周期。周期函数是无始无终的，它的变化情况，可以用一个周期内的变化情况来完全地反映。付立叶分析理论，满足狄利克莱条件的任意周期函数，都可以展成付立叶级数，也就是展成许多谐振动函数的和。,10,谐振动函数表示,同一个谐振动，可以用形式不同的函数来表示。式中A、和分别是振幅、圆频率和初相位。如果按三角学公式将上式展开，又可以写成 其中 是两个常量。上式实际上是两个初相为零的谐振动的叠加，a、b是它们的振幅。,11,谐振动函数欧拉表示,如果引用复数，用欧拉（Euler）公式得到,式中,为振动函数u1(t)的基频，基频的倍数n称泛频,
4、12,一个复杂信号u（t）的傅立叶级数也有三种表示方法，三种开展式且完全等效。注意系数Cn一般是复数,13,频谱的图示,周期函数的分立谱(离散谱),注意：图中横坐标是用基频的整数倍表示。,14,频谱的图示,频谱的再认识：不同乐器发出同一音调时的振动图和频谱,15,非周期函数的连续谱,当周期函数u(t)的周期T越大，基频减小，趋于零时成为非周期函数，对应的频谱为谱。如果u（t）是一个满足狄利克莱条件的非周期函数，它还是可以表示为许多谐振分量的叠加。这些谐振动分量的频率是连续分布的，得到的展开式不是级数，而是积分，通常写成,是一个连续变量，而不再是一个固定的基频；分母上的2只是为了方便才引入的，如
5、果我们引入另一函数，则在上式中也可以不出现2。,16,非周期函数的连续谱,S（）叫做频谱密度，可以利用现成的公式由原有的振动函数u（t）求出；其公式是,为互为付立叶变换,与,用两种方法来处理振动(信号)，时间域和频率域,17,18,19,信号的频谱,振幅谱的意义：频率成分每个频率分量的幅度大小,从振幅谱看 的意义,20,付立叶展式性质,1、唯一性定理 所谓唯一性是说u（t）和S（）是一一对应的。给定了u（t），只能求出一种展式，而不可能求出互不相等的两种展式，反过来，给了一个展式，也只能定出一种u（t），而不可能得到两个不同的u（t）。用符号表示出来就是,21,2、线性叠加定理,设有N个函数以
6、及N个常数（可以是实数，也可以是复数）,则有,的频谱,分别是,22,特例1 当 时，这个定理叫做叠加定理。其意义是：合振动的频谱等于分振动频谱之和，逆定理也对。特例2 当N=1即只有一项时，这定理叫做相似性定理。其意义是：两信号成比例时，其频谱也成比例；反过来，两频谱成比例时，其信号也成比例。,2、线性叠加定理,23,3、时标变换定理,设,则,或,24,3、时标变换定理,通过对各种脉冲的延续时间t和它的频谱的计算分析，可以得到t与成反比的结论。这个结论说明：一个系统的选择性和它的分辨能力这两种性能是矛盾的。如果系统的频率选择性好，既通频带窄，那么信号通过系统后，频谱要变窄，延续时间长，降低了分
7、辨能力。,25,4、时延定理,设是一个实值常量，而 则有,U(t-)和u(t)的关系,定理的含意：1)在时间曲线上，两者差。2)频谱关系上，信号延迟振幅谱不变，相位谱加项。,26,4、时延定理,实用性计算一个地震道信号的频谱时，时间零选取对计算振幅谱无影响，与相位谱有关。对一个系统，信号通过时波形不畸变，允许有延迟，则要求信号通过这系统后的振幅谱不变，相位谱可变可不变，相位特性是线性的。在进行信号处理时，在时间域和频率域内进行变换处理会更方便。,27,5、褶积定理,褶积定理设是一实值变量，而且,则有,利用两个函数造出的一个新函数，叫两函数褶积。其频谱等于这两个函数分别频谱的乘积。,28,地震信
8、号的频谱分析,获取频谱的方法1、信号解析式给出，通过Fourier变换求出2、已知图形，但不知具体函数关系f(t)模拟信号-频谱分析仪 数字信号-离散Fourier变换或FFT3、实际应用-根据需要开时窗，做FFT,29,地震信号的频谱分析,频谱分析中的时窗和步长,30,地震信号的频谱分析,实际地震道 的波形和对应的频谱,31,地震信号的频谱分析,频谱参数：主频：频谱极大值所对应的频率；频宽（带宽）：振幅谱等于最大值的0.707倍处的两个频率值之间的宽度。,频谱的主要参数,主频0和频宽=2-1,32,地震频谱的特征和应用,各种地震波的频谱的特征,面波10-30Hz，反射波的主频一般在3050
9、Hz,33,地震波频谱特征及其应用,各种地震波的频谱特征与地震勘探有关的一些频谱特点：面波频率低（1030Hz)反射波主频（3050Hz）深层反射频率更低声波频率较高，大于100Hz工业交流电，50Hz左右窄带,34,地震波频谱特征及其应用,激发条件对地震波频谱有影响药量大，频率向低频方向移动岩石致密，频率向高频方向移动不同类型反射波频谱有差异同一界面的反射纵波比反射横波频率高；其主要原因是横波的高频成分被吸收严重,35,地震波频谱特征及其应用,华北某工区典型的面波频谱,华北某工区典型的反射波频谱,36,地震波频谱特征及其应用,相同类型反射波随传播距离增加频率降低,37,地震波频谱特征及其应用
10、,频谱在地震勘探中的应用掌握干扰波的出现规律，在野外采集时选择仪器上合适的滤波档，将其“拒之门外”；在室内处理时，有针对性地设计滤波器，将其滤除，提高资料的信噪比。,38,地震波频谱特征及其应用,地震信号以数字形式记录，按时间间隔t取样。即 连续信号f(t)用分离序列信号 f(nt)表示。问题：f(nt)能否唯一代表f(t)间隔t取多大，即如何取。,取样定理和假频,39,地震波频谱特征及其应用,取样定理 若信号满足这样的条件，即当频率f的绝对值大于某一固定的频率fc时，信号x(t)的频谱x(f)为0，则只需要按t1/2fc这样的取样间隔进行取样，所得序例x(n t)包含了x(t)的全部信息。,
11、40,地震波频谱特征及其应用,假频 某一频率的连续信号，在离散取样时，由于取样频率小于信号频率的两倍，于是在连续信号的每一个周期内取样不足两个，取样后变成另一种频率的新信号，这就是假频。取样不足造成假频。,41,假频的频率 与采样频率 和地震信号的频率 之间的关系为：时，,地震波频谱特征及其应用,42,地震波频谱特征及其应用,下图为利用相同的采样频率（200Hz）对不同频率200Hz/180Hz/150Hz/120Hz/100Hz/50Hz的地震信号进行采样的情况，可见，前四种有假频；第五种情况无假频，但波形由微变；第6种情况无假频，波形完全恢复。,43,地震波频谱特征及其应用,44,地震波频
12、谱特征及其应用,在信号的传递过程中，所涉及的是一个信号系统，多数情况下知道信号的激发(输入)和接收(输出)，中间过程是未知的。这个系统实质是一个滤波系统。,线性时不变系统,45,地震波频谱特征及其应用,1)设输入x1(t)产生的输出为x1(t)。输入x2(t)产生的输出为x2(t)，ab为任意常数。如果输入a x1(t)+b x2(t)，恒有输出为a x1(t)+b x2(t)则称这个系统是线性的。2)设输入x(t)产生的输出为x(t)如果对于任意值，输入x(t+)所产生的输出为x(t+)则称这个系统是时不变的。用频率特征和时间特征描述系统的性质。,线性时不变系统,46,地震波频谱特征及其应用
13、,用频率特征和时间特征描述系统的性质。1)频率特征：简谐信号通过一个系统时，输出仍是同频率的的简谐信号，但振幅、相位都可能发生变化，系统对一个简谐信号的振幅和相位的这种改造作用，就用频率特性这一概念描述。振幅特性和相位特性,47,地震波频谱特征及其应用,用频率特征和时间特征描述系统的性质2)时间特征 观察系统对短促作用(t)的反应。用h(t)表示。,48,线性时不变系统的滤波方程若：输入信号及频谱为 输出信号及频谱为 系统时间及频率特性为 则：时域褶积 频域乘积,地震波频谱特征及其应用,49,地震波频谱特征及其应用,50,地震波频谱特征及其应用,滤波方程指一个系统的输入、输出、系统特性三者间的
14、定量关系。对应有频谱和频率特性关系。在地震信号处理中经常用到，有三种具体的情况：1)已知输入信号f(t)和系统特性h(t)，求输出信号g(t)。这是滤波和合成地震记录问题。2)已知输入信号f(t)和输出信号g(t)，求系统特性h(t)，是系统识别问题。可用反褶积技术。3)已知输出信号g(t)和系统特性h(t)，求输入信号f(t)，这是信号复原问题，子波提取。,线性时不变系统的滤波方程,51,地震波频谱特征及其应用,频率滤波参数的选择,52,地震波频谱特征及其应用,53,思考练习题,思考与习题说明：1、对讲课内容的加深理解和补充，三次作业。2、范围：两本书，地震勘探原理(上下册)3、要求：在理解的基础上用自己的语言精练回答问题，一周内上交作业，按班上交。一解释下列各名词：频谱，频谱分析，主频，频带宽度，采样定理，假频，系统的频率特性，系统的时间特性,54,思考练习题,二.简述 1、付立叶变换的重要性质（五个定理）2、线性时不变系统。3、应用线性滤波方程讨论地震勘探主要问题的三种具体情况4、频率滤波参数选择的基本原则。,
