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1、推理与证明,选修2-2（理）选修1-2（文）,问题：为什么新课标教材要增加 推理与证明这一章？,一是国家发展的迫切需要。二是我国数学教育发展的需要。三是新课标教学内容变化的需要。,一、教育价值1、“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。2、有助于学生体会数学与其他学科以及实际生活的联系。3、有助于学生理解数学的本质，对数学形式较为完整的认识。4、有助于学生认识数学的科学价值、应用价值和文化价值。5、有助于发展学生的数学思维能力，提高学生的数学素养。6、有助于发展学生的创新意识和创新能力。因而，它是选修12与选修22中共有的内容。以往的高中数学课程中，忽视了合
2、情推理，新课标中增加了合情推理，单独提出了“推理与证明”这一章节，应予充分把握，以期达到培养学生数学素质的要求。,推理与证明贯穿于高中数学的整个体系，它的学习是新课标教材的一个亮点，是对以前所学知识与方法的总结、归纳，并对后继学习起到引领的作用。,地位与作用,推理分类,二、结构体系,知识结构,三、课时分配（13课时）（选修1-2）建议用足、适当拓展,课时分配（8课时）（选修2-2）建议用足、适当拓展,四、教学建议2.1合情推理只有1课时，教学时要很好组织。首先要说明合情推理具有猜测和发现新结论和提供解决问题的思路和方法的作用，也就是合情猜测。这里的关键是合情，而不是乱猜。其二是如何做到合情。本
3、节介绍数学中二种基本的合情推理。,1、归纳推理：利用教材P70（P24）的引入问题哥德巴赫猜想作为引入即可，说明归纳推理的本质是从个别事实中概括出一般结论的推理模式。换句话说，归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。再用P71（P25）例1进一步体会。教师要说明的是：归纳推理的方法（步骤）；要合理（比较多的个例是对的）。归纳是依据若干的，没有穷尽的结论推断尚属未知的结论，这是一种合理的猜测。这种由个别到一般的归纳虽然合情，但如果没有证明，其结论也就不一定正确。可用P77（P31）的费马猜想说明，这就叫不完全归纳法。其得到的结论虽不可靠，但应用方便并具有发现的功能。如果再能给予证明就是完全归
4、纳法。形象地说是“先猜后证”的思维方式，如数学归纳法。,2、类比推理：利用教材P72（P26）火星和地球、圆和球的类比性质，介绍类比推理的本质是在两类不同的对象之间进行对比，找出若干相同点之后，推测在其他方面也可能存在相同点的一种推理模式。换句话说类比推理是由特殊到特殊的推理。再用P73（P27）例2：实数的加法和乘法的运算性质；例3：平面三角形和空间四面体的类比，让学生练习体会类比推理。教师要说明的是 类比推理的方法（步骤）；类比的两个对象相应的比什么要清晰（如平面三角形的点对空间四面体的线、线对面）。类比是由一种事物的已知属性推测另一种事物的属性。类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却同
5、样具有发现的功能。,3、说明：课时安排比较紧凑，所以在教学时要通过已知的数学实例和生活中明确的易于理解的实例来了解合情推理，重要的是体会其本质、意义和思维的重要性。充分利用教材中的例题，不必再补充过难的问题，避免过于复杂和不必要的扩展加深。程度较好的学生可以尝试自学再教师归纳。教材P75（P29）例4是较难的问题，如第1课时来不及可放至下一个课时或在讲证明方法时作为例题介绍。,例4的由来：约在19世纪末，欧洲出现了一种称为汉诺塔的游戏.据说这种游戏最早来源于布拉玛神庙里的教士，游戏的装置是一块铜板，上面有三根金刚石针，针上放着从大到小的64个盒子，游戏的目的是把所有盘子从一根针上移到另一根针上
6、，还有一根针作为中间过渡.游戏规定：每次只能够移动一个盘子，并且大盘子不能压在小盘子上面.由于需要移到的次数太多，该游戏结束将标志着世界末日的到来.,2.1.2演绎推理（2课时）是由一般性的命题推出特殊性命的一种推理模式。教学时主要是通过已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的作用和重要性，掌握演绎推理的基本方法和步骤，培养严谨和科学的数学思维，并运用它们进行一些简单的推理讲练，应结合教材提供的实例组织教学，补充的实例也宜是学过的和熟悉的，不必过多的加深。利用教材P78（P32）的5个实例来引入演绎推理的实质：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论。,可先由P78（P33）的5个问
7、题及例5、例6让学生归纳三段论，体会大前提、小前提、结论，然后举例让学生练习书写演绎推理的三段论模式。最后要说明演绎推理是一种必然性推理，只要大前提是正确的，小前提在大前提中，则小前提的结论必定是正确的。,用三段论证明,演绎推理的书写很重要，要写清楚其三个判断：第一个是正确的前提（大前提），即M是P；第二个是要判断的命题S是大前提M的一种情况（小前提），即S是M；第三个是结论，即命题S成立，即S也是P。用集合的观点解释就是：若集合M的所有元素都有性质P，而S是M的子集，则S中的元素也都具有性质P。,三段论证明中需注意事项:,1、证明过程应表述清楚，防止随心所欲；2、避免大前提、小前提或推理形式
8、之一错误，而导致结论错误。,引起结论错误的主要有三种情况：大前提错误；小前提错误；推理形式错误；可举反例进行说明。,合情推理与演绎推理的作用 合情推理具有猜测和发现新结论、探索和提供解决问题的思路和方法的作用；演绎推理则具有证明结论，整理和建构知识体系的作用，是公理体系中的基本推理方法。,关于合情推理和演绎推理的联系和差异按照教材P81（P35）的内容即可。,关于P82的阅读与思考“平面与空间中的余弦定理”可作为较高要求的类比的具体例子介绍，并给予证明。,2.2.1直接证明和间接证明 要明确数学不同于其它学科，数学结论的正确性必须由数学证明来保证，而不能用实验、实践来证明。数学证明是引用数学一
9、些真实的结论来推理某一命题正确的一种思维。本节介绍二种基本证明方法：直接证明和间接证明。教学应以具体问题的讲练让学生掌握方法，体会书写，培养思维，学以致用为主。直接证明有多种方法，最基本和常用的是,2.2.1综合法和分析法 教学时可各安排1课时。关于综合法，可先由P85（P85）的引入问题归纳什么叫综合法：由已知出发推理得要证的结论，实质是“由因导果”（顺推）。要明确条件和结论。通过例1介绍推理书写的严谨性和步骤。可回顾已学的一些结论的证法，体会综合法的常用性和重要性，适当补充例子让学生练习体会。选修1-2综合法有三个例题，需适当复习前面的知识。,直接证明综合法,从已知条件和某些数学定义、定理
10、、公理等出发，通过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论。,框图表示：,关于分析法，可先由P87（P41）的引入问题介绍什么叫分析法：从结论出发逐步寻求需要的充分条件，直到需要的条件已知。实质是“执果索因”（逆推）。对学生来说这是一种逆向思维，要讲清：这种逆向的分析是常用的思维，但分析法的书写格式是非常重要的：“要证只需证明”，只需是的充分条件，不断比较直至需要的条件成立即可。教材的例2，例3（例4，例5，例6）是较好的例子，可适当补充例题让学生练习体会，重在掌握实质、步骤和书写格式。说明分析法和综合法是密切联系的，分析法可改写成综合法。,直接证明分析法,从要证明的结论出发，逐步寻求使它成
11、立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等。,框图表示：,得到一个明显成立的条件,2.2.2反证法在以前的学习中也有所了解，本节的教学主要是明确反证法是间接证明的一种方法，体会它的思维方式、实质和书写的步骤。说明：其适用性；假设的准确性；矛盾的显然性。应以讲练、应用为主。,2.3数学归纳法的教学可从P92的问题着手，先由归纳（合情推理）得出结论，如何证明对所有正整数都成立。从而引入由成立到成立的一种推理思维，归纳出数学归纳法的证明方法。要强调的是：实质；步骤，特别要说明两步缺一不可，可举反例说明；书写格式；适用性（对正整数的命题）；必须用到
12、假设成立的条件，关键是抓住一个“增量”。教学时应以讲练、应用为主，要求掌握方法并能应用。除书本例题外，可根据学生情况和已学的内容知识适当补充不等式、整除和几何问题。本章安排了1课时的小节，可作为复习巩固和应用的机动课时。,归纳推理,归纳推理是针对一类事物S而言的，如图所示：S 的部分事物A和B共同具有的某种特性，是否可以推广到整个S？这就是一个从局部到整体的推理过程。,五、对几个重要知识板块教学思考,平面几何中归纳法,代数中的归纳法,4、如图，在圆内画1条线段，将圆分割成两部分；画2条相交线段，彼此分割成4条线段，将圆分割成4部分；画3条线段，彼此最多分割成9条线段，将圆最多分割成7部分；画4
13、条线段，彼此最多分割成16条线段，将圆最多分割成11部分。那么（1）在圆内画5条线段，它们彼此最多分割成多少条线段，将圆最多分割成多少部分？（2）猜想：圆内两两相交的n条线段，它们彼此最多分割成多少条线段，将圆最多分割成多少部分？,类比推理,类比推理是针对的两类事物，如图所示，在A和B两类事物中，A类中有性质P成立，B类中也有性质P成立，A类中还有性质Q成立，那么B类中是否也具有性质Q成立呢？通过两类事物的类比可以对事物的性质有更深刻的理解，并且可以帮助进行逻辑推理。,实轴,虚轴,长轴长2a,短轴长2b,如何确定类比对象？,就形式而言，由条件的相似类比结论的相似；由命题结论的相似类比推理方法的
14、相似；,就内容而言，形与形类比；数与数类比；形与数类比；式与式类比；数与式类比；有限与无限类比；低维与高维类比（如平面与空间类比）；抽象与具体类比；,六、类比的风险,类比“平面内，两组对边分别相等的四边形是平行四边形”“平面内，同时垂直于一条直线的两条直线互相平行”得到猜想“空间中，两组对边分别相等的四边形是平行四边形”“空间中，同时垂直于一条直线的两条直线互相平行”,类比的风险,通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法，包括直接证明的方法（如分析法、综合法、数学归纳法）和间接证明的方法（如反证法）；感受逻辑证明在数
15、学以及生活中的作用，养成严谨习惯。,本章教学定位,整体把握,演绎推理与合情推理并重以实际问题与已学问题为主要素材开展教学长期渗透、控制难度注意文理差异。,数系的扩充与复数的引入 解读,一、知识结构,数系扩充复数引入,复数的概念,复数代数形式的四则运算,多项式及其运算,类比,复数及其运算,特殊化,实数及其运算,特殊化,有理数及其运算,二、课时分配（6课时）（选修1-2）,课时分配（5课时）（选修2-2）,传统教学课时分配(8课时),教学时可由教材P102（P52）关于无实根的问题探讨需要引入新的数，即数系的扩充是实际需求与数学内部矛盾的需要。引入复数概念及代数形式，理解复数相等及作用，理解复数的
16、分类。强调不全为零的两个复数不能比较大小。复数的几何意义的实质是将复数与复平面内的点和向量统一起来。可补充介绍复数的模及意义。,三、教学建议：,理解复数代数式的加减法则及满足结合律、交换律、乘法对加法的分配律，乘法类似于二个多项式相乘，除法的实质是分母实数化。理解共轭复数及几何意义。复数的运算重在掌握法则并能进行运算，应避免烦琐的计算和技巧训练，对于教材中的思考和探究应充分让学生自主探索，培养创新思维。P113的探索与思考代数基本定理可适当向学生介绍。,四、教学定位：,（1）加强复数引入过程的教学。（2）加强复数与实数、有理数、平面向量及其加减运算、多项式及其加减运算之间的联系。（3）与传统教科书的复数内容相比，这里的复数内容有了比较多的删减，教学中应严格按照普通高中数学课程标准（实验）的要求，不宜多作补充和延伸，也应该注意避免繁琐的计算与技巧的训练。,谢谢！,
