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1、三、同号级数,正项级数负项级数,若数项级数各项的符号都相同,则称它为同号级数.,若级数 un 的各项un 0，则称un为正项级数,若级数 un 的各项un 0，则称un为负项级数,定义:同号级数(正项级数;负项级数),定理2,根据这一准则，,由于,即正项级数的部分和数列是一个单调增加的数列.,我们知道，单调有界数列必有极限.,我们可得到判定正项级数收敛性的一个定理.,若该数列有上界则极限存在,若无上界则发散到,定理6:,若正项级数的部分和数列无上界,则此级数发散到,正项级数收敛的充要条件:,定理6是判别正项级数敛散性最基本的方法,几乎所有其他的判别法都是由它推导出来的,定理7、(比较判别法)(
2、比较原则)(比较审敛法),如果存在某正数N,对一切 n N 都有,则,定理7、(比较判别法),由图可知,重要参考级数:几何级数,P-级数,调和级数.,仔细分析,我们就会发现，,或无理式时，,该正项级数收敛，,否则发散.,例7,比较判别法的极限形式:,两个级数有相同的敛散性；,(1)当 0 k 时,(2)当 k 0 时,(3)当 k 时,证明,由比较判别法,当 0 k 时,两个级数有相同的敛散性；,(2)当 k 0 时,由比较判别法,得证.,(3)当 k 时,由比较判别法,例8,根据比较判别法,可以利用已知收敛或者发散级数作为比较对象来判别其他级数的敛散性.本段所介绍的两个方法是以等比级数(几何
3、级数)作为比较对象而得到的.,(柯西判别法和达朗贝尔判别法),定理8(柯西判别法,或称根式判别法),证明,根据比较判别法,由级数收敛的必要条件可知,级数收敛；,(1)当 0 l 1 时,(2)当 1 l 时,(3)当 l 1 时,级数发散；,即此判别法失效,级数敛散性需另行判定.,推论(根式判别法的极限形式),级数可能收敛，也可能发散.,例9,定理9(达朗贝尔判别法,或比式判别法),把前n-1个不等式按项相乘后,得到,原则及上述不等式可得,证,比式判别法法的优点:,不必找参考级数.,推论(比式判别法的极限形式),级数收敛；,(1)当 0 l 1 时,(2)当 1 l 时,(3)当 l 1 时,
4、级数发散；,即此判别法失效,级数敛散性需另行判定.,级数可能收敛，也可能发散.,说明:,例10,注:,如拉阿贝判别法,复习回顾,由习题 知,当,时,必有,这说明凡能由比式判别法判别收敛性的级数,也能,由根式判别法来判别,亦即根式判别法较之比式判,别法更为有效.,注:,柯西判别法比达朗贝尔判别法适用范围广,所以级数是收敛的.,用柯西判别法(根式判别法),可得,故比式判别法无法鉴别此级数的收敛性.但应用根,式判别法却能判定此级数是收敛的.此例说明:,若应用达朗贝尔判别法(比式判别法),可得,这两个判别法不是等效的,而根式判别法略优于比式判别法.,虽然在理论上,根式判别法优于比式判别法,但在实际应用
5、中,根式判别法涉及开平方运算,比式判别法,只涉及除法运算,所以从实用来说,后者比较简单、易算.,并且,已经证明,用比式判别法能判断敛散性的正项级数,一定也能用根式判别法判别其敛散性.总的来说,这两个判别法适用的范围都不宽.,的敛散性都不能判断.,原因?,原因,原因是这两个判别法都是与几何级数的敛散性比较得到的.因此这两个判别法只能判别比几何级数收敛快或发散快的正项级数,收敛快是指,发散快是指,比阶审敛法,为了扩大比较判别法的使用范围,必须寻找更精细的,比几何级数收敛更慢或发散更慢的正项级数,作比较的尺度.通常选取广义调和级数作为比较的标准,就得到了拉贝判别法,由于比式和根式判别法的比较对象是几何级数,如,果级数的通项收敛速度较慢,它们就失效了,如 p,级数.拉贝(Raabe)判别法是以 p 级数为比较对象,这类级数的通项收敛于零的速度较慢,因此较比式,或根式法在判断级数收敛时更精细.,拉贝判别法,且极限,存在,则,更广泛,但当 r=1 时仍无法判别.,于是可以得出这样得结论：没有收敛得“最慢”的,收敛级数.因此任何判别法都只能解决一类级数的,收敛问题,而不能解决所有级数的收敛问题.当然我,们还可以建立比拉贝判别法更为精细有效的判别法,但这个过程是无限的.,拉贝判别法虽然判别的范围比比式或根式法,人们发现,任何一个收敛或发散的正项级数,总能构造出比它收敛更慢或发散更慢的正项级数.,
