北师大版九年级数学下册第2章二次函数课件.ppt

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1、,2.1 二次函数,第二章 二次函数,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,九年级数学下（BS）教学课件,1.理解掌握二次函数的概念和一般形式.（重点）2.会利用二次函数的概念解决问题.3.会列二次函数表达式解决实际问题.（难点）,导入新课,情景引入,里约奥运会上，哪位奥运健儿给你留下了深刻的印象？你能猜出下面表情包是谁吗？,你们是根据哪些特征猜出的呢？,下面来看傅园慧在里约奥运会赛后的采访视频，注意前方高能表情包.,通过表情包来辨别人物，最重要的是根据个人的特征，那么数学的特征是什么呢？,“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也.”-中科院数学与系统科学研究院 李邦河,问题1 我们

2、以前学过的函数的概念是什么？,如果变量y随着x而变化，并且对于x取的每一个值，y总有唯一的一个值与它对应，那么称y是x的函数.,函 数,一次函数,反比例函数,y=kx+b(k0),(正比例函数)y=kx(k0),问题2 我们学过哪些函数？,思考 一个边长为x的正方形的面积y为多少？y是x的函数吗？是我们学过的函数吗？,y=x2，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.这个函数不是我们学过的函数.,思考：这种函数叫什么？这节课我们一起来学习吧.,问题1：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树

3、所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.,(1)问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？,讲授新课,合作探究,(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？,(3)如果要使得果园橙子的总产量为60320个,那么应该增种多少棵橙子树？,(4)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之间的关系式.,果园共有(100+x)棵树,平均每棵树结(600-5x)个橙子,y=(100+x)(600-5x)=-5x+100 x+60000.,(100+x)(600-5x)=60320 解得，,对于x的每一个值，y都有唯

4、一的一个对应值，即y是x的函数.,问题2 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于x 的关系式为.,y=6x2,此式表示了正方体表面积y与正方体棱长x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.,问题3 某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗.你能列出矩形水面的面积关于矩形水面的边长的关系式吗？,设围成的矩形水面的一边长为x m,那么，矩形水面的另一边长应为（20-x）m.若它的面积是S m2，则有,此式表示了边长x与围网的面积S之间的关系，对于x的每一个值，S都有唯一的一个对应值，即S是x的函数.,前面求出

5、的三个函数有什么共同点?,函数都是用自变量的二次整式表示的,y=6x2,y=-5x+100 x+60000.,二次函数的定义：,一般地，若两个自变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a 0)的形式，则称y是x的二次函数.,归纳总结,a为二次项系数，ax2叫做二次项；b为一次项系数，bx叫做一次项；c为常数项.,温馨提示：,（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；（2）a,b,c为常数，且a 0;（3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项；,例1（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？（2）m取什么值时，此函数是二次函数？

6、,解：,（1）由题可知,解得,（2）由题可知,解得,m=3.,第（2）问易忽略二次项系数a0这一限制条件，从而得出m=3或-3的错误答案，需要引起同学们的重视.,典例精析,1.下列函数中,哪些是二次函数?,先化简后判断,是,不是,是,不是,2.把下列函数化成一元二次函数的一般式.,(1)y=(x-2)(x-3);(2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2;(3)y=-2(x+3)2.,解：(1)y=(x-2)(x-3)=x2-5x+6;(2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2=-x2+4x-6;(3)y=-2(x+3)2=-2x2-12x-18.,问题4：上述问题中的三个函数的自变量

7、的取值范围是什么？,y=(100+x)(600-5x)=-5x+100 x+60000.,y=6x2,600-5x0，x0，0 x0.20-x0，0 x20.,归纳总结,二次函数的自变量的取值范围是所有实数，但在实际问题中，它的自变量的取值范围会有一些限制.,列二次函数关系式,三,例3一个正方形的边长是12cm，若从中挖去一个长为2xcm，宽为(x+1)cm的小长方形剩余部分的面积为ycm2.写出y与x之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数？,解：由题意得y1222x(x+1)，又x+12x12，1x6，即y2x22x144(1x6)，y是x的二次函数.,分析：本题中的数量关系是：剩余面积=

8、正方形面积-长方形面积.,当堂练习,2.函数 y=(m-n)x2+mx+n 是二次函数的条件是()A.m,n是常数,且m0 B.m,n是常数,且n0C.m,n是常数,且mn D.m,n为任何实数,C,1.把y=(2-3x)(6+x)变成y=ax+bx+c的形式，二次项为 _,一次项系数为_，常数项为.,3下列函数是二次函数的是()Ay2x1 BCy3x21 D,C,-3x2,-16,12,4.已知函数 y=3x2m-15 当m=时，y是关于x的一次函数；当m=时，y是关于x的二次函数.,1,5.（1）n个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系？,（2）假设人

9、民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款是10（万元）,那么请你写出两年后的本息和y(万元)的表达式(不考虑利息税).,y=10(x+1)=10 x+20 x+10.,6.矩形的周长为16cm,它的一边长为x cm,面积为y cm2.求（1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；（2）当x=3时矩形的面积.,解：(1)y(8x)xx28x(0 x8)；,(2)当x3时，y328315(cm2).,课堂小结,二次函数,定 义,y=ax2+bx+c(a 0，a,b,c是常数),一般形式,右边是整式；自变量的指数是2；二次项系数a 0.,特殊形

10、式,y=ax2；y=ax2+bx；y=ax2+c(a 0，a,b,c是常数).,第二章 二次函数,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,九年级数学下（BS）教学课件,2.2 二次函数的图象与性质,第1课时 二次函数y=x2和y=x2的图象与性质,学习目标,1知道二次函数的图象是一条抛物线.2会画二次函数y=x2与y=-x2的图象.（难点）3掌握二次函数y=x2与y=-x2的性质，并会灵活应用.（重点）,1、一次函数y=kx+b(k0),导入新课,复习引入,你还记得一次函数与反比例函数的图象吗？,2、反比例函数,2.通常怎样画一个函数的图象？,列表、描点、连线,3.那么二次函数y=x2的图象是

11、什么样的呢？你能动手画出它吗？,讲授新课,你会用描点法画二次函数 y=x2 的图象吗?,9,4,1,0,1,9,4,合作探究,1.列表：在y=x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：,2.描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）,3.连线：如图，再用光滑的曲线顺次连接各点，就得到y=x2 的图象,观察思考,问题1 你能描述图象的形状吗？,二次函数y=x2的图象是一条抛物线，并且抛物线开口向上.,当x0时，y随x的增大而增大.,问题2 图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？,有，(0,0).,问题3 当x0时呢？,问题4 当x取何值时，y的值最小？最小值是什么？,x

12、=0时，ymin=0.,3,3,o,3,6,9,x,y,对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点,它是图象的最低点，为(0,0).,问题5 图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？,这条抛物线关于y轴对称,y轴就是它的对称轴.,练一练：画出函数y=x2的图象，并仿照y=x2的性质说出y=x2有哪些性质？,y,合作探究,抛物线关于y轴对称.,顶点坐标是（0，0）；是抛物线上的最高点.,图象是一条开口向下的抛物线.,当x0时，y随x的增大而减小，当x=0时，ymax=0.,位置开口方向,对称性,顶点最值,增减性,开口向上,在x轴上方,开口向下,在x轴下方,关于y轴对称，对称轴方程是直线x0,顶点

13、坐标是原点（0，0）,当x=0时，y最小值=0,当x=0时，y最大值=0,在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增,在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减,要点归纳,例1 若点A(-3,y1),B(-2,y2)是二次函数y=-x2图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是_.,典例精析,y2y1,例1变式 若点A(-1,y1),B(2,y2)是二次函数y=-x2图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是_.,y1y2,例2：已知：如图，直线y3x4与抛物线yx2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积,解：由题意得 解得所以两函数的交点坐标为A(4，16)和B(1，1)直线y

14、3x4与y轴相交于点C(0，4)，即CO4.SACO CO48，SBOC 412，SABOSACOSBOC10.,当堂练习,1.两条抛物线 与 在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（）A.顶点坐标均为(0,0)B.对称轴均为x=0 C开口都向上 D.都有(0,0)处取最值,C,2二次函数 y=-x2 的图象，在 y 轴的右边，y 随 x 的增大而_,减小,3若点 A(2,m)在抛物线 y=x2 上，则点A关于 y 轴对称点的坐标是,(-2，4),4设正方形的边长为 a，面积为 S，试作出 S 随 a 的变化而变化的图象,解：,S=a2(a0),列表：,0,1,4,9,描点并连线,S=a2,5.

15、已知二次函数y=x2，若xm时，y最小值为0，求实数m的取值范围,解：二次函数y=x2，当x=0时，y有最小值，且y最小值=0，当xm时，y最小值=0，m0,6.已知 是二次函数，且当x0时，y随x的增大而减小，则a=_.,解析：由题意可知 解得a=3或a=-3.又当x0时，y随x的增大而减小，a=3.,3,7.已知点(3，y1)，(1，y2)，(，y3)都在函数yx2的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是_,解析：方法一：把x3，1，分别代入yx2中，得y19，y21，y32，则y1y3y2；方法二：如图，作出函数yx2的图象，把各点依次在函数图象上标出由图象可知y1y3y2；,y1y3y

16、2,方法三：在对称轴的右边，y随x的增大而增大，而点(3，y1)关于y轴的对称点为(3，y1)又3 1，y1y3y2.,课堂小结,二次函数y=x2和y=x2图象与性质,画法,描点法,以对称轴为中心对称取点,图象,抛物线,轴对称图形,性质,重点关注4个方面,开口方向,对称轴,顶点坐标,增减性,2.2 二次函数的图象与性质,第二章 二次函数,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,九年级数学下（BS）教学课件,第2课时 二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质,学习目标,1.会画二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象.（难点）2.掌握二次函数y=ax2和y=ax2+c的性质并会应用.（重点

17、）3.比较函数y=ax2与y=ax2+c的联系.,导入新课,情境引入,门禁反映了图形的平移，大家还记得平移的要点吗？,羽毛球的运动轨迹可以用y=ax2的图象刻画,大家能回忆出二次函数y=x2的性质吗？,如果二次函数y=ax2的图象与平移碰撞在一起,会擦出怎样的火花呢？让我们拭目以待吧！,讲授新课,合作探究,画出函数 的图象.,列表.,4.5,2,0.5,0,4.5,2,0.5,描点，连线.,观察思考,问题1 二次函数y=2x2的图象是什么形状？,二次函数y=2x2的图象是一条抛物线，并且抛物线开口向上.,问题2 图象的对称轴是什么？,y轴就是它的对称轴.,问题3 图象的顶点坐标是什么？,原点(

18、0,0).,问题4 当x取何值时，y的值最小？最小值是什么？,x=0时，ymin=0.,当x0时，y随x的增大而增大.,问题5 当x0时呢？,位置开口方向,对称性,顶点最值,增减性,开口向上,在x轴上方,开口向下,在x轴下方,关于y轴对称，对称轴方程是直线x0,当x=0时，y最小值=0,当x=0时，y最大值=0,在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增,在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减,要点归纳,顶点坐标是原点（0，0）,3.函数y=x2的图象的开口,对称轴是,顶点是;顶点是抛物线的最_点.,2.函数y=3x2的图象的开口,对称轴是,顶点是_ 顶点是抛物线的最_点,1.函数y=4x2的图象的开口,对称

19、轴是,顶点是;,向上,向下,y轴,y轴,(0,0),(0,0),4.函数y=0.2x2的图象的开口,对称轴是_ _,顶点是;,向上,y轴,(0,0),向下,y轴,(0,0),高,低,练一练,5.关于二次函数y2x2，下列说法正确的是()A它的开口方向是向下 B当x0时，y随x的增大而减小C它的对称轴是x2 D当x0时，y有最大值是0,B,例1 若点(x1,y1)，B(x2,y2)是二次函数y=-3x2图象上的两点，且x1x20，那么y1与y2的大小关系是_.,典例精析,y2y1,例2 已知 是二次函数，且当x0时，y随x增大而增大，则k=.,分析：是二次函数，即二次项的系数不为0，x的指数等于

20、2.又因当x0时，y随x增大而增大,即说明二次项的系数大于0.因此，,解得 k=2,2,当a0时，a的绝对值越大，开口越小.,合作探究,问题 在同一直角坐标系中画出二次函数 的图象如图，观察其开口大小与a的绝对值有什么关系？,当a0时，a的绝对值越大，开口越小.,问题 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象如图所示，观察其开口大小与a的绝对值有什么关系？,要点归纳,在二次函数y=ax2中，a的绝对值越大，开口越小.,把图中图象的号码，填在它的函数式后面：（填序号）（1）y=3x2的图象是_；（2）y=x2的图象是_；（3）y=-x2的图象是_；（4）y=x2的图象是_,针对训练,合作探究,做一做

21、：在同一直角坐标系中，画出二函数 y=2x2+1与y=2x2-1的图象,解：先列表：,9,5.5,3,1,3,5.5,9,7,3.5,1,1,1,3.5,7,再描点，连线,y=2x21,y=2x21,问题：抛物线 y=2x2+1,y=2x2-1与抛物线y=2x2 有什么关系？,可以发现，把抛物线y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线；把抛物线 y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 y=2x2-1.,下,y=2x2+1,上,二次函数y=ax2+c的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到：当c 0 时,向上平移c个单位长度得到.当c 0 时,向下平移-c个单位长度得到.,二次函数

22、y=ax2 与y=ax2+c（a 0）的图象的关系,上下平移规律：平方项不变，常数项上加下减.,要点归纳,二次函数y3x21的图象是将()A抛物线y3x2向左平移3个单位得到 B抛物线y3x2向左平移1个单位得到 C抛物线y3x2向上平移1个单位得到 D抛物线y3x2向上平移1个单位得到,练一练,D,问题 抛物线y=2x2+1,y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？,二次函数,开口方向,顶点坐标,对称轴,向上,向上,(0,1),(0,-1),y轴,y轴,向上,(0,0),y轴,合作探究,问题 抛物线y=2x2+1,y=2x2-1的增减性又如何？,当x=0时，y最小值=0,当x0时，y

23、随x的增大而增大.,二次函数 y=ax2+c的性质,要点归纳,向上,向下,直线x=0,直线x=0,（0,c）,当x=0时，y最小值=c,当x=0时，y最大值=c,当x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大.,当x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大.,（0,c）,想一想 1.画抛物线y=ax2+c的图象有些方法？,2.抛物线y=ax2+c 中的a决定什么？c决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？,第一种方法：平移法，两步即第一步画y=ax2的图象，再向上（或向下）平移c 单位.,第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线.,a决定开口方向和大小；c决定顶点

24、的纵坐标.对称轴为y轴；顶点坐标为(0,c).,例3：如图，抛物线yx24与x轴交于A、B两点，点P为抛物线上一点，且SPAB4，求P点的坐标,解：抛物线yx24，令y0，得到x2或2，即A点的坐标为(2，0)，B点的坐标为(2，0)，AB4.SPAB4，设P点纵坐标为b，4|b|4，|b|2，即b2或2.当b2时，x242，解得x，此时P点坐标为(，2)，(，2)；当b2时，x242，解得x，此时P点坐标为(，2)，(，2),当堂练习,1.抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线,2.填表：,y=2x2,向上,向上,向下,（0,0）,(0,1),(0,-5),y轴,y轴,y轴,有最低点

25、,有最低点,有最高点,3.已知（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上，(-m,n)_（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上.4.若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k_；若顶点位于x轴上方，则k_；若顶点位于x轴下方，则k.,在,=2,2,2,5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：,（1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.,（2）函数y=-x2+1，当x 时，y随x的增大而减小；当x 时，函数y有最大值，最大值y是，其图象与y轴的交点坐标是，与x轴的交点坐标是.,（3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐

26、标.,向下平移1个单位.,0,=0,1,(0,1),(-1,0),(1,0),开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.,6.在平面直角坐标系xOy中，函数y=2x2的图象经过点M（x1，y1），N（x2，y2）两点，若-4x1-2，0 x22，则y1与y2的大小关系是_.,y1y2,7.在同一直角坐标系中，一次函数yaxc和二次函数yax2c的图象大致为(),方法总结：熟记一次函数ykxb在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质(开口方向、对称轴、顶点坐标等)是解决问题的关键,D,8.已知 y=(m+1)x 是二次函数,且其图象开口向上,求m的值和函数解析式,m2+m,

27、解:依题意有:,m+10,m2+m=2,解得:m1=2,m2=1,由得:m1,m=1,此时,二次函数为:y=2x2.,二次函数y=ax2+c（a0)的图象和性质,图象,性质,与y=ax2的关系,开口方向由a的符号决定；c决定顶点位置；对称轴是y轴.,增减性结合开口方向和对称轴才能确定.,平移规律：c正向上；c负向下.,课堂小结,2.2 二次函数的图象和性质,第二章 二次函数,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,九年级数学下（BS）教学课件,第3课时 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质,情境引入,1.会画二次函数y=a(x-h)2的图象.（难点）2.掌握二次函数y=a(x-h)2的性质.

28、(重点）3.比较函数y=ax2 与 y=a(x-h)2的联系.,导入新课,复习引入,向上,向下,y轴（直线x=0）,y轴（直线x=0）,（0,c）,（0,c）,当x0时，y随x增大而增大.,当x0时，y随x增大而减小.,x=0时，y最小值=c,x=0时，y最大值=c,问题1 说说二次函数y=ax2+c(a0)的图象的特征.,问题2 二次函数 y=ax2+c（a0）与 y=ax2（a 0）的图象有何关系？,二次函数y=ax2+c（a 0）的图象可以由 y=ax2（a 0）的图象平移得到：当c 0 时，向上平移c个单位长度得到.当c 0 时，向下平移-c个单位长度得到.,问题3 函数 的图象，能否

29、也可以由函数 平移得到？,应该可以.,讲授新课,例1 画出二次函数 的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点,2,2,0,0,2,2,0,x,y,向下,直线x=-1,(-1,0),直线x=0,直线x=1,向下,向下,(0,0),(1,0),类似地，可以证明二次函数 y=a(x-h)2的下列性质,要点归纳,向上,向下,直线x=h,直线x=h,（h,0）,（h,0）,当x=h时，y最小值=0,当x=h时，y最大值=0,当xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大.,当xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大.,例1 若抛物线y3(x)2的图象上有三个点，A(3，y1)，

30、B(1，y2)，C(0，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为_,解析：抛物线y3(x)2的对称轴为x，a30，x 时，y随x的增大而减小；x 时，y随x的增大而增大点A的坐标为(3，y1)，点A在抛物线上的对称点A的坐标为(，y1)10，y2y3y1.故答案为y2y3y1.,典例精析,y2y3y1,向右平移1个单位,想一想 抛物线，的图象与抛物线 的图象有什么关系？,向左平移1个单位,二次函数y=a（x-h)2的图象与y=ax2 的图象的关系,可以看作互相平移得到(h0).,左右平移规律：括号内左加右减；括号外不变.,y=a(x-h)2,当向左平移 h 时,y=a(x+h)2,当向右平移 h

31、 时,y=ax2,例2 抛物线yax2向右平移3个单位后经过点(1，4)，求a的值和平移后的函数关系式,解：二次函数yax2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为ya(x3)2，把x1，y4代入，得4a(13)2，平移后二次函数关系式为y(x3)2.,方法总结：根据抛物线左右平移的规律，向右平移3个单位后，a不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”,将二次函数y2x2的图象平移后，可得到二次函数y2(x1)2的图象，平移的方法是()A向上平移1个单位B向下平移1个单位 C向左平移1个单位D向右平移1个单位,解析：抛物线y2x2的顶点坐标是(0，

32、0)，抛物线y2(x1)2的顶点坐标是(1，0)则由二次函数y2x2的图象向左平移1个单位即可得到二次函数y2(x1)2的图象故选C.,练一练,C,1.把抛物线y=-x2沿着x轴方向平移3个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是.2.二次函数y=2(x-)2图象的对称轴是直线_，顶点坐标是_.,当堂练习,y=-(x+3)2或y=-(x-3)2,3.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.,向上,直线x=3,(3,0),直线x=2,直线x=1,向下,向上,(2,0),(1,0),4.若（-，y1）（-，y2）（，y3）为二次函数y=(x-2)2图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为_.

33、,y1 y2 y3,5.在同一坐标系中，画出函数y2x2与y2(x-2)2的图象，分别指出两个图象之间的相互关系,解：图象如图.函数y=2(x-2)2的图象由函数y=2x2的图象向右平移2个单位得到.,y=2x2,2,平移规律：括号内：左加右减；括号外不变.,复习y=ax2+k,探索y=a(x-h)2的图象及性质,图象的画法,图象的特征,描点法,平移法,开口方向及增减性,顶点坐标,对称轴,平移关系,直线x=h,（h,0）,a0,开口向上a0,开口向下a的符号决定增减性,y=ax2,课堂小结,第二章 二次函数,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第4课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象

34、与性质,2.2 二次函数的图象和性质,九年级数学下（BS）教学课件,1.会用描点法画出y=a(x-h)2+k(a 0)的图象.2.掌握二次函数y=a(x-h)2+k(a 0)的图象的性质并会应用.(重点）3.理解二次函数y=a(x-h)2+k(a 0)与y=ax2(a 0)之间的联系.（难点）,导入新课,复习引入,1.说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点,最值和增减变化情况:,(1)y=ax2(2)y=ax2+c(3)y=a(x-h)2,2.请说出二次函数y=-2x2的开口方向、顶点坐标、对称轴及最值？,3.把y=-2x2的图象,向上平移3个单位,y=-2x2+3,向左平移2个单位,y=-

35、2(x+2)2,4.请猜测一下，二次函数y=-2(x+2)2+3的图象是否可以由y=-2x2平移得到？学完本课时你就会明白.,讲授新课,1.画出函数 的图象.指出它的开口方向、顶点、对称轴与增减性.,合作探究,先列表,再描点、连线,-5.5,-3,-1.5,-1,-1.5,-3,-5.5,直线x=1,开口方向向下；对称轴是直线x=-1;顶点坐标是(-1,-1);x-1时，y随x的增大而增大；x-1时，y随x的增大而减小.,试一试 2.画出函数y=2（x+1）2-2图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点及增减性.,开口方向向上；对称轴是直线x=-1;顶点坐标是(-1,-2);x-1时，y随x

36、的增大而减小；x-1时，y随x的增大而增大.,二次函数 y=a(x-h)2+k的性质,要点归纳,向上,向下,直线x=h,直线x=h,（h,k）,（h,k）,当x=h时，y最小值=k,当x=h时，y最大值=k,当xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大.,当xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大.,顶点式,例1.已知二次函数ya(x1)2c的图象如图所示，则一次函数yaxc的大致图象可能是(),解析：根据二次函数开口向上则a0，根据c是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c0，故一次函数yaxc的大致图象经过第一、二、三象限故选A.,典例精析,A,例2.已知二次函数ya(

37、x1)24的图象经过点(3，0)(1)求a的值；(2)若A(m，y1)、B(mn，y2)(n0)是该函数图象上的两点，当y1y 2时，求m、n之间的数量关系,解：(1)将(3，0)代入ya(x1)24，得04a4，解得a1；,(2)方法一：根据题意，得y1(m1)24，y2(mn1)24，y1y2，(m1)24(mn1)24，即(m1)2(mn1)2.n0，m1(mn1)，化简，得2mn2；,方法二：函数y(x1)24的图象的对称轴是经过点(1，4)，且平行于y轴的直线，mn11m，化简，得2mn2.,向左平移1个单位,合作探究,怎样移动抛物线 就可以得到抛物线？,平移方法1,向下平移1个单位

38、,怎样移动抛物线 就可以得到抛物线？,平移方法2,向左平移1个单位,向下平移1个单位,二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2+k的关系,可以看作互相平移得到的(h0，k0).,y=ax2,y=ax2+k,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k,上下平移,左右平移,上下平移,左右平移,平移规律,简记为：上下平移，括号外上加下减；左右平移，括号内左加右减.二次项系数a不变.,1.请回答抛物线y=4(x3)27由抛物线y=4x2怎样平移得到?,由抛物线向上平移7个单位再向右平移3个单位得到的.,2.如果一条抛物线的形状与 形状相同，且顶点坐标是（4，-2），试求这个函数关系式.,练一练,当堂练

39、习,向上,(1,2),向下,向下,(3,7),(2,6),向上,直线x=3,直线x=1,直线x=3,直线x=2,(3,5),y=3(x1)22,y=4(x3)27,y=5(2x)26,1.完成下列表格:,2.抛物线y=-3x2+2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线的解析式为_,3.抛物线y=2x2不动，把x轴、y轴分别向上、向左平移3个单位，则在新坐标系下，此抛物线的解析式为_,y=2（x-3）2-3,4.已知y(x3)22的部分图象如图所示，抛物线与x轴交点的一个坐标是(1，0)，则另一个交点的坐标是_,解析：由抛物线的对称性知，对称轴为x3，一个交点坐标是(1，0)，则

40、另一个交点坐标是(5，0),(5，0),5.对于抛物线y=-(x2）2+6，下列结论：抛物线的开口向下；对称轴为直线x=2；顶点坐标为（2，6）；当x2时，y随x的增大而减小其中正确的结论有（）A1个B2个C3个D4个,D,6.已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=-（x-1）2+1的图象上，若-1x10，3x24，则y1_y2（填“”、“”或“=”）,解析：抛物线y=-（x-1）2+1的对称轴为直线x=1，a=-10，抛物线开口向下，-1x10，3x24，y1y2,7.抛物线 与x轴交于B,C两点，顶点为A，则ABC的周长为（）A.B.C.12 D.,B,8.如图，在平面直角

41、坐标系xOy中，抛物线yx2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y(xh)2k.所得抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，顶点为D.(1)求h，k的值；,解：(1)将抛物线yx2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y(x1)24，h1，k4；,(2)判断ACD的形状，并说明理由,(2)ACD为直角三角形理由如下：由(1)得y(x1)24.当y0时，(x1)240，x3或x1，A(3，0)，B(1，0)当x0时，y(x1)24(01)243，C点坐标为(0，3)顶点坐标为D(1，4),作出抛物线的对称轴x1交x轴于点E，过D作DFy轴于点F，如图

42、所示在RtAED中，AD2224220；在RtAOC中，AC2323218；在RtCFD中，CD212122.AC2CD2AD2，ACD是直角三角形,课堂小结,一般地，抛物线 y=a(x-h)2+k与y=ax2形状相同，位置不同.,二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质,图象特点,当a0,开口向上；当a0,开口向下.对称轴是x=h,顶点坐标是(h,k).,平移规律,左右平移：括号内左加右减；上下平移：括号外上加下减.,第二章 二次函数,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第5课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质,九年级数学下（BS）教学课件,2.2 二次函数的图象和性质,情境

43、引入,1.会用配方法或公式法将一般式yax2bxc化成顶点式y=a(x-h)2+k.(难点）2.会熟练求出二次函数一般式yax2bxc的顶点坐标、对称轴.（重点）,导入新课,复习引入,向上,向下,(h,k),(h,k),x=h,x=h,当xh时，y随着x的增大而增大.,当xh时，y随着x的增大而减小.,x=h时,y最小=k,x=h时,y最大=k,抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的.,(0,0),y轴,0,(0,-5),y轴,-5,(-2,0),直线x=-2,0,(-2,-4),直线x=-2,-4,(4,3),直线x=4,3,?,?,?,?,?,?,讲授新课,

44、合作探究,我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论 的图象和性质？,问题1 怎样将 化成y=a(x-h)2+k的形式？,配方可得,配方,你知道是怎样配方的吗？,(1)“提”：提出二次项系数；,(2)“配”：括号内配成完全平方；,(3)“化”：化成顶点式.,提示:配方后的表达式通常称为配方式或顶点式.,问题2 你能说出 的对称轴及顶点坐标吗？,答：对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）.,问题3 二次函数 可以看作是由 怎样平移得到的？,答：平移方法1：先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的；平移方法2：先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的.,问题4

45、 如何用描点法画二次函数 的图象？,解:先利用图形的对称性列表,7.5,5,3.5,3,3.5,5,7.5,然后描点画图，得到图象如右图.,O,问题5 结合二次函数 的图象，说出其增减性.,x=6,当x6时，y随x的增大而增大.,试一试 你能用上面的方法讨论二次函数y=2x2-8x+7的图象和性质吗？,O,因此，二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标为(2,-1)，当x2时，y随x的增大而减小，当x2时，y随x的增大而增大.,解：,典例精析,例1：求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴、顶点坐标和增减性.,y=ax+bx+c,因此，二次函数y=ax2+bx+c图象的

46、顶点坐标是：对称轴是：直线,例2：求二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴、顶点坐标.,要点归纳,二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质,(1),如果a0,当x 时，y随x的增大而增大；当x=时，函数达到最小值，最小值为.,二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质,(2),如果a 时，y随x的增大而减小;当x=时，函数达到最大值，最大值为.,二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质,例3 已知二次函数y=x22bxc，当x1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（）Ab1 Bb1 Cb1 Db1,解析：二次项系数为10，抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由

47、题设可知，当x1时，y的值随x值的增大而减小，抛物线y=x22bxc的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=x22bxc的对称轴，即b1，故选择D.,D,填一填,(1,1),x=1,最大值1,(0,-1),y轴,最大值-1,最小值-6,(,-6),直线x=,合作探究,问题1 一次函数y=kx+b的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空：,问题2 二次函数 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空：,x=0时，y=c.,x=0时，y=c.,二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系,向上,向下,y,左,右,正,负,要点归纳,例4 已知二次函数yax2bxc的图象如图所示，下列结

48、论：abc0；2ab0；4a2bc0；(ac)2b2.其中正确的个数是()A1B2C3D4,D,由图象上横坐标为 x2的点在第三象限可得4a2bc0，故正确；,由图象上x1的点在第四象限得abc0，由图象上x1的点在第二象限得出 abc0，则(abc)(abc)0，即(ac)2b20，可得(ac)2b2，故正确,【解析】由图象开口向下可得a0，由对称轴在y轴左侧可得b0，由图象与y轴交于正半轴可得 c0，则abc0，故正确；,由对称轴x1可得2ab0，故正确；,练一练,二次函数 的图象如图，反比例函数 与正比例函数 在同一坐标系内的大致图象是（）,解析：由二次函数的图象得知a0，b0.故反比例

49、函数的图象在二、四象限，正比例函数的图象经过一、三象限.故选C.,C,1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：,A.y轴 B.直线x=C.直线x=2 D.直线x=,则该二次函数图象的对称轴为(),D,当堂练习,2.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标和最值：,直线x=3,直线x=8,直线x=1.25,直线x=0.5,最小值-5,最大值1,最小值,最大值,3.已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示，则下列结论：（1）a、b同号；（2）当x=1和x=3时，函数值相等；（3）4a+b=0；（4）当y=2时，x的值只能取0；其中正确的是.,直线x=1,

50、（2）,4.把抛物线yx2bxc的图象向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象的解析式为yx23x5，则()Ab3，c7 Bb6，c3Cb9，c5 Db9，c21,解析：yx23x5化为顶点式为y(x)2.将y(x)2 向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，即为yx2bxc.则yx2bxc(x)2，化简后得yx23x7，即b3，c7.故选A.,A,5.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a0)图象的一部分，x=-1是对称轴，有下列判断：b-2a=0；4a-2b+cy2.其中正确的是（）,A B C D,x,y,O,2,x=-1,B,6.已知抛物线和直线l在同一直角坐标系中