《数学建模止痛剂疗效的评价.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学建模止痛剂疗效的评价.doc（17页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、大学生数学建模承 诺 书我们仔细阅读了数学建模的规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。所属班级（请填写完整的全名）： 09级数学与应用数学班 队员 (打印并签名) ：1. 王 茜 2. 丁* 燕 3. 毕 瑞 4. 李*洋
2、 5. 王*彬 小组负责人 (打印并签名)： 李洋洋 日期： 2012 年 4 月 4 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：题目：止痛剂的疗效评价摘要：为研究新止痛剂的疗效，利用病人服药后病痛明显减轻的时间进行试验。在分析服用药物后病痛明显减轻的时间的过程中,我们把男性和女性分开讨论.为此根据病人用药剂量和血压组别预测出服药后病痛明显减轻的时间，对女性患者建立数学模型，并利用统计回归的方法求解。关键词：用药剂量 回归系数 置信区间 病痛减轻时间 统计回归方法 一、问题重述一个医药公司的新药研究部门为了掌握一种新止痛剂的疗效，设计了一个药物实验，给患有同种病痛的病人使用这种新止痛剂的以
3、下4个计量中的某一个：2g，5g，7g和10g，并记录每个病人病痛明显减轻的时间（以分钟计）。为了解新药的疗效与病人性别和血压有什么关系，实验过程中研究人员把病人按性别及血压的低、中、高三档平均分配来进行测试。通过比较每个病人血压的历史数据，从低到高分成3组，分别记作0.25，0.50和0.75。实验结束后，公司的记录结果见下表（性别以0表示女，1表示男）。请你为公司建立一个模型，根据病人用药的剂量、性别和血压组别，预测出服药后病痛明显减轻的时间。表1：病人序号病痛减轻时间/min用药剂量/g性别血压组别135200.25243200.50355200.75447210.25543210.50
4、657210.75726500.25827500.50928500.751029510.251122510.501229510.751319700.251411700.501514700.751623710.251720710.501822710.7519131000.252081000.502131000.7522271010.2523261010.502451010.75二、符号说明及基本假设1. 符号说明服药后病痛明显减轻的时间病人用药的剂量病人的血压组别回归系数（=0、1、2、3）随机误差回归方程的决定系数统计量值与统计量对应的概率值2 基本假设(1) 假设病人在服用该止痛药前没有服用
5、任何药品。(2) 假设病人在服用该止痛药后没有任何副作用。三、问题分析1问题1的分析在模型I的假设下，认为病人的用药剂量和血压组别之间没有交互作用，即对病人服药后病痛明显减轻的时间的作用是相互独立的，两者不产生相关联的影响。2 问题2的分析在模型II的假设下，认为病人的用药剂量和血压组别之间的交互作用共同影响病人服药后病痛明显减轻的时间，即病人的用药剂量和血压作别之间的关联对该止痛剂的疗效有一定的影响四、模型的建立与求解1问题1的模型建立为了大致分析服药后病痛减轻的时间与病人用药剂量和血压组别之间的关系，首先利用表1的数据分别作出对和的散点图。图1.1 对的散点图由上图可知：对可用二次函数拟合
6、，拟合后如图1.2：图1.2 对的拟合图 图1.3 对的散点图由上图可知：对可用二次函数拟合，拟合后如图1.4：图1.4 对的拟合图从图1.2可以发现，随着的增加，是成抛物型曲线变化的趋势，图中的曲线用二次函数模型为而在图1.4中随着的增加，的值有比较明显的线性增长趋势，图中的直线用线性模型为综合上面的分析，建立如下回归模型为2.模型I求解直接利用MATLAB统计工具箱中的命令regress求解，得到模型1的回归系数估计值及其置信区间（置信水平），检验统计量，的结果见表1.1参数参数估计值置信区间59.351339.2313,79.4713-8.9039-15.5312,-2.27663.50
7、00-16.3410,23.34100.3556-0.1844,0.8956 表1.1 模型I的计算结果结果分析: 表1.1显示，=0.8853指因变量y（病痛减轻时间）的88.53可由模块确定, 值远远的超过的临界值, 远小于(为置信水平),因此从整体来看该模型是可用的.表1.1的回归系数给出了模型I中的估计值,即,.检查它们的置信区间发现, 和的置信区间包含零点,所以对这两个个系数的解释是不可靠的。因而要对模型进行残差分析，首次回归所得图1.5: 图1.5 模型I首次回归的残差分析图图1.5中出现两个异常数据，剔除第1和第3个数据后再次回归，结果如表1.2：参数参数估计值置信区间64.42
8、9046.3865,82.4715-8.6259-13.9913,-3.2605-8.6667-22.6634,5.33000.3377-0.0626,0.7379 表1.2 模型I去掉异常数据后的回归系数再次进行残差分析，得到图1.6：图1.6 模型I第二次回归的残差分析图此时，该模型在大程度上都有了提升，也无异常数据，模型基本可用。所以最佳模型为模型似乎可以使用了，但是为了得到更准确的模型，我们将对其进行改进。3.问题2的模型建立增加和的交互项后，模型II记作4.模型II求解直接利用MATLAB统计工具箱中的命令regress求解，得到模型2的回归系数估计值及其置信区间（置信水平），检验统
9、计量，的结果见表2.1:参数参数估计值置信区间36.939522.9221,50.9570-5.1686-8.8117,-1.525548.323526.1230,70.5240-7.4706-10.7986,-4.14260.35560.0915,0.6196 表2.1 模型II的计算结果由表2.1可知，模型II的和值都比模型I有所改进，并且所有回归系数的置信区间都不含零点，表明模型II是完全可用的。与模型I类似作出模型II的残差分析图（图2.1）图2.1模型II首次回归的残差分析图可以看出，模型II的残差分析图中存在一个异常点，去掉异常数据后回归，再次回归得到的数据见表2.2：参数参数估计
10、值置信区间35.166324.6114,45.7212-4.2655-7.0948,-1.436248.323531.7957,64.8513-7.4706-9.9482,-4.99300.28540.0791,0.4918 表2.2 模型II首次去掉异常数据后的回归系数作出相应的残差分析图2.2:图2.2 模型II第二次回归的残差分析图观察在残差分析图2.2中仍有异常数据，剔除第3组数据后再一次进行回归。回归所得数据如表2.3：参数参数估计值置信区间37.380329.2323 ，45.5283-3.8362-5.9835 ，-1.688935.026417.1529 ，52.8998-5.
11、8340-8.2728 ，-3.39520.20450.0318 ，0.3772 表2.3模型II第二次去掉异常数据后的回归系数作出相应的残差分析图2.3:图2.3 模型II第三次回归的残差分析图观察在残差图中仍有异常数据，剔除第7组数据后进行第四次回归。回归所得数据如表2.4：参数参数估计值置信区间35.909430.1562 ，41.6626-3.3587 -4.8981 ，-1.819335.908223.6414 ，48.1749-5.6816-7.3577 ，-4.00540.16100.0357 ，0.2863 表2.4模型II第三次去掉异常数据后的回归系数表2.4中增大，且置信区
12、间不包含零点，说明回归有效，而且在接下来的循环回归我们发现，的增长数非常小，所以到这第四次回归就已经足够了，从开始假设的模型到四次回归，不难看出、F的变化情况，即由此可以得出，最优模型为五、模型的结果分析1.模型I的结果分析在模型I的初次求解中，得到=0.8853，即应变量的88.53可由模型确定，但是、的置信区间包含零点，说明模型I存在缺点，为此进行残差分析。经过残差分析后，=0.9421，也无异常数据，说明此时模型I是可用的。2.模型II的结果分析将模型I和改进后的模型II进行比较，不难发现，改进后的模型要比原模型大得多，适用范围也就广得多，采用改进后的模型疗效更好也更安全，因此最佳模型为
13、 使用该模型时，只需将女病人的用药剂量、血压组别所对应的数据代入模型，就可以得出服药病痛减轻的大概时间。六、模型的评价1.模型的优点(1) 本文的模型在建立的过程中充分考虑到止痛药与病人的重要相关因素，得出我们建立的模型中的最佳模型。(2) 充分利用MATLAB等软件进行画图求证，所以误差较小，数据准确合理。(3) 在求解模型时多次回归，直到无异常数据，因此该模型准确度高。 2.模型的缺点(1)本文在解决问题中使用的数据大部分为实验值，本身存在误差，我们没有使用实际数据进行检验。(2)在模型建立中，所建模型相对复杂，与建模要求中模型的简单、明了不符。 七、模型的改进与推广1. 我们建的模型不仅
14、可用于医药公司新药的推广，也可用于其它资源的安排，还可用于诸如像工资薪金模型的其它类型的问题。 2. 由于题目给出的统计数据不是很精确，如果我们能对统计的方法进行改进，估计时间可以更加精确。3. 这个模型比较接近现实，它很有实用价值，可以为以后其他新药的推广提供参考。八、参考文献【1】数学模型（第三版）.姜启源，谢金星，叶俊.北京，高等教育出版社，2012【2】MATLAB7.X程序设计.王建卫，曲中水，凌滨.北京，中国水利水电出版社，2007九、附录对的散点图（图1.1）：x1=2 2 2 5 5 5 7 7 7 10 10 10;y=35 43 55 26 27 28 19 11 14 1
15、3 8 3;plot(x1,y,*)对的拟合图（图1.2）：x1=2 2 2 5 5 5 7 7 7 10 10 10;y=35 43 55 26 27 28 19 11 14 13 8 3;p=polyfit(x1,y,2);x1x1=linspace(min(x1),max(x1);yy=polyval(p,x1x1);plot(x1,y,o,x1x1,yy);对的散点图（图1.3）x2=0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 ;y=35 43 55 26 27 28 19 11 14 13 8 3;plot(
16、x2,y,*)对的拟合图（图1.4）x2=0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 ;y=35 43 55 26 27 28 19 11 14 13 8 3;plot(x2,y,*)p=polyfit(x2,y,2);x2x2=linspace(min(x2),max(x2);yy=polyval(p,x2x2);plot(x2,y,o,x2x2,yy);模型I的首次回归： x1=2 2 2 5 5 5 7 7 7 10 10 10;x2=0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 0.25 0.50
17、 0.75 0.25 0.50 0.75 ;y=35 43 55 26 27 28 19 11 14 13 8 3;x=ones(12,1),x1,x2,(x1.2);b,bint,r,rint,stats=regress(y,x)b = 59.3513 -8.9039 3.5000 0.3556bint = 39.2313 79.4713 -15.5312 -2.2766 -16.3410 23.3410 -0.1844 0.8956r = -8.8407 -1.7157 9.4093 1.4044 1.5294 1.6544 3.6789 -5.1961 -3.0711 6.2574 0.
18、3824 -5.4926rint = -16.8831 -0.7983 -13.9606 10.5292 1.8729 16.9457 -11.0711 13.8799 -12.0160 15.0748 -10.7978 14.1066 -8.4394 15.7973 -18.0314 7.6392 -15.3173 9.1752 -3.4540 15.9687 -11.9490 12.7137 -15.5493 4.5640stats = 0.8853 20.5762 0.0004 37.0150 rcoplot(r,rint)残差分析图（图1.5）剔除第1和第3个数据后再次回归： x1=2
19、 5 5 5 7 7 7 10 10 10;x2= 0.50 0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 ;y= 43 26 27 28 19 11 14 13 8 3;x=ones(10,1),x1,x2,(x1.2);b,bint,r,rint,stats=regress(y,x)作出残差分析图（图1.6）： rcoplot(r,rint)模型改进：模型II首次回归：x1=2 2 2 5 5 5 7 7 7 10 10 10;x2=0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.
20、75 ;y=35 43 55 26 27 28 19 11 14 13 8 3; x=ones(12,1),x1,x2,(x1.*x2),(x1.2);b,bint,r,rint,stats=regress(y,x) rcoplot(r,rint)残差分析图（图2.1）剔除第8个异常数据后再次回归： x1=2 2 2 5 5 5 7 7 10 10 10;x2=0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 0.25 0.75 0.25 0.50 0.75 ;y=35 43 55 26 27 28 19 14 13 8 3;x=ones(11,1),x1,x2,(x1.*x2),(
21、x1.2);b,bint,r,rint,stats=regress(y,x) rcoplot(r,rint)残差分析图（图2.2）剔除第3个异常数据后再次回归： x1=2 2 5 5 5 7 7 10 10 10;x2=0.25 0.50 0.25 0.50 0.75 0.25 0.75 0.25 0.50 0.75 ;y=35 43 26 27 28 19 14 13 8 3;x=ones(10,1),x1,x2,(x1.*x2),(x1.2);b,bint,r,rint,stats=regress(y,x) rcoplot(r,rint)残差分析图（图2.3）剔除第7个异常数据后再次回归：x1=2 2 5 5 5 7 10 10 10;x2=0.25 0.50 0.25 0.50 0.75 0.25 0.25 0.50 0.75 ;y=35 43 26 27 28 19 13 8 3;x=ones(9,1),x1,x2,(x1.*x2),(x1.2);b,bint,r,rint,stats=regress(y,x)
