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1、7.1 线性映射,Def 1:设 是 到 的一个映射.如果下列条件被满足,就称 是 到 的一个线性映射:；。,问题:比较线性映射和同构映射的异同。,结论:同构映射一定是线性映射,而线性映射未必是同构映射。,证明 是线性映射的步骤：（1）证 是一个映射；（2）证 保持向量加法运算；（3）证 保持标量与向量的乘法运算。,例1:对于 中的每一向量，定义：，是 到 的一个映射.证明:是到 的一个线性映射。,例3、令 是数域 上的一个 矩阵，对于 中的每一个向量，规定：，是 一个 矩阵，即是 的一个向量。证明：是 到 的一个线性映射。,例4、令 和 是数域 上的向量空间，对于 中的每一个向量，令 的零向
2、量 与之对应：。证明：是 到 的一个线性映射。（称为零映射）,例5、设 是数域 的一个向量空间。取定 的一个数，对于，定义。证明：是 到自身的一个线性映射。（称为 的一个位似）,特别，取，称 是 到 的恒等映射或 的单位映射；若取，称 是 到 的零映射。,例6、取定 的一个 元数列。对于 中每一个向量，规定。证明：是 到 的一个线性映射。（称为 上的一个 元线性函数或 上的一个线性型）,例7、对于 的每一个多项式，令它的导数 与之对应，即：证明：是 到自身的线性映射。,例8、令 是定义在 上一切连续实函数所组成的 上的向量空间。对于每一个，规定，仍是 上的一个连续实函数。证明：是 到自身的一个
3、线性映射。,线性映射的基本性质：（1）Def中的条件 与以下 等价：，有。（2）特别，在条件 中，取得，即：线性映射将零向量映成零向量。（3）由 推广，得，。,Def:设 是向量空间 到 的一个线性映射：。（1）如果，则 是 的一个子集，叫做 在 之下的像，记作：，即：。（2）如果，则 是 的一个子集，叫做 在 之下的原像。,定理7.1.1：设 和 是数域 上的向量空间，而 是一个线性映射，则：（1）的任意子空间在 之下的像是 的一个子空间；（2）的任意子空间在 之下的原像是 的一个子空间。,特别地，有：像空间：向量空间 在 之下的像叫做 的像，记作：，即：，且 是 的一个子空间。核空间：的零子空间 在 之下的原像叫做 的核，记作：，即：，且 是 的一个子空间，即：,定理7.1.2：设 和 是数域 上的向量空间，且 是一个线性映射，则：（1）是满射；（2）是单射。,结论1：设、都是数域 上的向量空间，如果，是线性映射，则合成映射 是线性映射。,结论2：如果、都是数域 上的向量空间，且，是线性映射，那么 和 都是 到 的线性映射，且。,结论3:如果线性映射 有逆映射，那么 是 到 的一个线性映射。,补充作业：设 是数域 上 维向量空间 到 维向量空间 的线性映射，并且 是 的一个基。证明：。,
