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1、第五章 有限元动力学分析基本原理,一、单元质量矩阵的计算 1.单元一致质量矩阵 2.单元集中质量矩阵 3.常用单元的一致质量矩阵二、单元阻尼矩阵 1.速度阻尼矩阵 2.应变阻尼矩阵三、机械结构的固有频率和振型 1.无阻尼自由振动方程 2.矩阵迭代法 3.其他方法 四、机械结构的动力响应计算 1.振型叠加法 2.直接积分法,在前面的介绍中，我们均假设作用在弹性体（或结构）上的载荷与时间无关，与此相应的，位移、应力及应变等也都和时间无关，即前面介绍的全部内容皆称结构静力学有限元方法。但工程实际中还存在着另外一类载荷与时间有关的动载荷作用于结构或弹性体，此时，相应的位移、应力、应变等都与时间有关，而
2、且必须考虑惯性力和加速度等因素，这类分析或问题，成为动力学分析。对于质点弹簧系统的振动，大家比较熟悉，例如一个自由度为n的质点弹簧振系，其动平衡方程为,第五章 有限元动力学分析基本原理,上式中每一项的含义不同,对于单元体而言，可以得到类似的上述方程,第五章 有限元动力学分析基本原理,单元质量矩阵根据其形成过程分为一致质量阵和集中质量阵，各有自身的优点和缺点。,1.一致质量矩阵,一、单元质量矩阵的计算,在离散后的结构中，取出一个单元，根据达朗贝尔原理，单位体积上作用的惯性力为：,惯性力是分布力，按分布力向节点等效的原则和实施过程，有：,一、单元质量矩阵的计算,1.一致质量矩阵,于是，令,一、单元
3、质量矩阵的计算,1.一致质量矩阵,的计算式是通式，并因为计算质量矩阵和刚度矩阵使用的形状函数一致，因此被称为一致质量阵。,2.集中质量矩阵,在工程实际中，为了求解方便，有人把单元质量平均分到单元的各个节点上，如平面三角形单元的质量可分配为：,一、单元质量矩阵的计算,2.集中质量矩阵,单元质量矩阵为：,3.常用单元的一致质量矩阵,一次杆单元,一、单元质量矩阵的计算,3.常用单元的一致质量矩阵,二次杆单元,一、单元质量矩阵的计算,3.常用单元的一致质量矩阵,三次梁单元,一、单元质量矩阵的计算,3.常用单元的一致质量矩阵,三角形平面问题单元,一、单元质量矩阵的计算,3.常用单元的一致质量矩阵,矩形平
4、面问题单元,二、单元阻尼矩阵的计算,阻尼矩阵非常复杂，主要是阻尼本身的复杂性引起的，一般均为假设，如阻尼力正比于单元的运动速度，此时得到的阻尼矩阵正比于单元质量矩阵；也可以假设阻尼力正比于单元的应变速度，此时得到的阻尼矩阵则正比于单元刚度矩阵，还有一些其他类型的假设，如上述两者的组合，分别有：,二、单元阻尼矩阵的计算,对于组合阻尼，如已知结构的阻尼比及结构的固有频率，其计算方法有：,如果,则,1.结构无阻尼自由振动的运动方程,三、机械结构固有频率与振型,机械结构的振动固有频率和振型问题，在有限元方法求解释，对应的数学问题既是矩阵的特征值和特征向量问题。关于矩阵的特征值及特征向量问题，是矩阵理论
5、中比较热门的研究领域，下面我们仅简单地罗列以下常见方法的名称，具体的方法求解步骤，可以参考有关书籍，有大量的软件保重均包含求解特征值和特征向量的软件程序。,结构在无外力作用时，得到的是自由振动，此时阻尼影响不大，结构的自由振动可简化为：,1.结构无阻尼自由振动的运动方程,三、机械结构固有频率与振型,设结构作简谐运动,代入无阻尼振动方程，可得,上式解存在的条件为,这是计算方法中最典型的特征值问题。,2.矩阵迭代法,这种方法用于求解基频或最高阶频是很有效的，并且能得到相应的特征向量。,将无阻尼自由振动方程改写为,三、机械结构固有频率与振型,即有,迭代步骤,令,代入,2.矩阵迭代法,求得,再代入,以
6、此类推,收敛条件,2.矩阵迭代法,三、机械结构固有频率与振型,例题：已知一振动系统的质量矩阵、刚度矩阵用迭代法计算其最高阶固有频率和振型。,解：,2.矩阵迭代法,三、机械结构固有频率与振型,在开始迭代时，需选取初始迭代向量，可以按经验估计，也可以用静力学特性的位移值，选得合适可以减少迭代时间。先假设：,于是有,2.矩阵迭代法,三、机械结构固有频率与振型,推得,继续迭代,推得,继续迭代,2.矩阵迭代法,三、机械结构固有频率与振型,如此继续迭代，经过10次迭代，可得,推得,于是,2.矩阵迭代法,三、机械结构固有频率与振型,得到的固有频率是最高阶频率，因为振型的变化是：,符号变化两次，振系是3自由度
7、，因此，得到的是第3阶频率和振型。,在工程实际中，人们一般关心的主要是结构的低阶频率。因此，在进行迭代过程中作适当的变换，使矩阵不按 为特征值进行迭代，而是按 为特征值进行迭代，从而得到 的最大值，也是 的最小值。,两边同左乘，得到,2.矩阵迭代法,三、机械结构固有频率与振型,在计算过程中，引入参数,将其代入无阻尼自由振动运动方程，则有,三、机械结构固有频率与振型,2.矩阵迭代法,依次类推,采用前述的迭代步骤，用 代替，即可得到 值,直到,停止迭代,得到,此时为低阶特性,三、机械结构固有频率与振型,2.矩阵迭代法,例题：已知一振动系统的质量矩阵、刚度矩阵用迭代法计算其最高阶固有频率和振型。,解
8、：,三、机械结构固有频率与振型,2.矩阵迭代法,于是,仍选,三、机械结构固有频率与振型,2.矩阵迭代法,继续迭代,从而得到,三、机械结构固有频率与振型,3.用滤波法计算最低n阶特征对,工程中关心的不仅是最低阶特征对，而是最低阶的n阶特征对，这是仅用迭代法不行，可用滤波法。,4.行列式搜索法,这一方法利用特征值分离定理，通过对称矩阵的三角分解计算矩阵的行列式值，用加速割线法求出靠近下一个未知特征值的移动，然后用移位逆迭代求特征向量。,三、机械结构固有频率与振型,5.广义雅克比法,广义雅克比法通过广义雅克比旋转矩阵把刚度矩阵和质量矩阵同时变换成对角矩阵，然后求得特征值和特征向量，当矩阵阶数不高时，
9、求解速度较快。,6.子空间迭代法法,子空间迭代法是瑞利-李兹法和同时逆迭代法结合的产物，用于仅求解工程问题的低阶固有特征对，求解速度非常快。,三、机械结构固有频率与振型,7.兰索斯法,兰索斯法也是迭代法的一种，这是目前求解低阶特征值和特征向量速度最快的一种，有兴趣的同学可以参阅振动与冲击杂志1987年第3期上吴立系老师的文章“求解大型稀疏对称矩阵广义特征值问题的Lanczos方法及通用程序”。,8.奇异刚度矩阵的处理,采用移轴技术，在弹性位能中加入部分给定的动能，以便使刚度矩阵成为正定矩阵，关键在移轴系数的确定。,四、机械结构动力响应的计算,机械结构的动力响应计算是结构动力学的另一个主要问题，
10、最常用的方法有振型叠加法和直接积分法。,1.振型叠加法,设结构的运动方程为,并设已求得其无阻尼自由振动的频率和振型，记 为第i阶固有振型，则有振型的线性叠加来表示运动状态的结构位移为,四、机械结构动力响应的计算,1.振型叠加法,令,则,四、机械结构动力响应的计算,1.振型叠加法,于是，振动方程解耦为,依次用求解常微分方程的方法可以得到解：,再代回,可以得到问题的解。,四、机械结构动力响应的计算,1.振型叠加法,通常情况下，高阶振型对动力响应影响较小，因此，只取最低的35阶（10）阶振型就可以得到满意精度的动力响应。,2.直接积分法,对于动力学方程,假设已知其初始条件,如果将求解时间T等分成nT
11、个时间区间，并能通过前若干个时刻的解来确定下一时刻的解，就可获得问题的解，直接积分法可以解决这一问题。,四、机械结构动力响应的计算,2.直接积分法,直接积分中对动力学方程是逐步地进行数值积分的，“直接”的意思是指：进行数值积分前没有进行把方程变为另一种形式的变换。直接积分有两个假设，一个是动力学方程的解只在相隔 的一些离散时间区间上满足方程，而不要求在任意时刻都满足方程；另一个是假设位移速度和加速度在每一个时间区间 内按一定的规律变化。,直接积分法有中心差分法、Houbolt法、Wilson-法、Newmark和龙格-库塔法。,四、机械结构动力响应的计算,2.直接积分法,中心差分法,对于加速度
12、,对于速度,方程在t时刻为,将速度和加速度的差分格式代入方程，可以得到,四、机械结构动力响应的计算,2.直接积分法,中心差分法,四、机械结构动力响应的计算,2.直接积分法,中心差分法,可以解得,注意，有,于是，可以求得方程的解。归纳起来后，中心差分法的计算步骤为2大步，9小步。,四、机械结构动力响应的计算,2.直接积分法,中心差分法,四、机械结构动力响应的计算,2.直接积分法,中心差分法,第二步：对每一时间步长,7.计算在时刻t的有效载荷,8.求解在时刻 的位移,9.如果需要，计算时刻 的速度和加速度,四、机械结构动力响应的计算,2.直接积分法,中心差分法,说明：,1.的取值,是结构最高频率对
13、应的周期，是最小周期。,2.求解方程是显式差分，对于对角线质量阵和无阻尼振动求解很方便，可以直接求解，不需进行三角分解。,四、机械结构动力响应的计算,2.直接积分法,中心差分法,例题：一个二自由度振动系统，其动力方程为：,已知该系统的自由振动周期为，试用中心差分法求解步长为 和 时，方程的解。,解：取12个步长的系统响应，假设,计算,四、机械结构动力响应的计算,2.直接积分法,中心差分法,考虑，有,因而有,四、机械结构动力响应的计算,2.直接积分法,中心差分法,对每个时刻步长求解方程,四、机械结构动力响应的计算,2.直接积分法,Houbolt法,使用新的差分格式,误差同样为 的高阶小量,方程在
14、t+时刻为,四、机械结构动力响应的计算,2.直接积分法,Houbolt法,将速度和加速度的差分格式代入方程，可以得到,显然，求解，需要3个初始条件、和,一般有初始条件，可用特殊的方法获得。,四、机械结构动力响应的计算,2.直接积分法,Houbolt法,归纳后，Houbolt法的计算步骤为：,第一步：初始计算,1.形成,2.计算初始值,3.选取时间步长,并计算积分常数,四、机械结构动力响应的计算,4.使用特殊方法计算：,5.形成有效刚度阵:,6.做三角分解:,2.直接积分法,Houbolt法,第二步：对每一时间步长,7.计算在时刻t+的有效载荷,8.求解在时刻 的位移,四、机械结构动力响应的计算,2.直接积分法,9.如果需要，计算时刻 的速度和加速度,Houbolt法,说明：,1.方法无条件收敛,2.时可获得静态解。,
