勾股定理的证明方法和相关故事.ppt.ppt
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1、勾股定理的证明方法和相关故事,勾股定理简介,勾股定理是余弦定理的一个特例。这个定理在中国又称为“商高定理”,在外国称为“毕达哥拉斯定理”或者“百牛定理“(毕达哥拉斯发现了这个定理后,即斩了百头牛作庆祝,因此又称“百牛定理”),法国、比利时人又称这个定理为“驴桥定理”。他们发现勾股定理的时间都比我国晚,我国是最早发现这一几何宝藏的国家。目前初二学生学,教材的证明方法采用赵爽弦图,证明使用青朱出入图。勾股定理是一个基本的几何定理,它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,是数形结合的纽带之一。直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a、b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2
2、+b2=c2。勾股定理是余弦定理的一个特例。这个定理在中国又称为“商高定理”,在外国称为“毕达哥拉斯定理”或者“百牛定理“(毕达哥拉斯发现了这个定理后,即斩了百头牛作庆祝,因此又称“百牛定理”),法国、比利时人又称这个定理为“驴桥定理”。他们发现勾股定理的时间都比我国晚,我国是最早发现这一几何宝藏的国家。目前初二学生学,教材的证明方法采用赵爽弦图,证明使用青朱出入图。勾股定理是一个基本的几何定理,它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,是数形结合的纽带之一。直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a、b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2。,勾股数组,满足
3、勾股定理方程 a2+b2=c2;的正整 勾股定理数组(a,b,c)。例如(3,4,5)就是一组勾股数组。由于方程中含有3个未知数,故勾股数组有无数多组。勾股数组的通式:a=M2-N2 b=2MN c=M2+N2(MN,M,N为正整数),勾股定理,定理如果直角三角形两直角边分别为A,B,斜边为C,那么 A2+B2=C2;即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方。古埃及人用这样的方法画直角如果三角形的三条边A,B,C满足A2+B2=C2;,还有变形公式:AB=根号(AC2+BC2),如:一条直角边是a,另一条直角边是b,如果a的平方与b的平方和等于斜边c的平方那么这个三角形是直角三角形。(称
4、勾股定理的逆定理),古埃及人画直角三角形,勾股定理的来源,毕达哥拉斯树是一个基本的几何定理,传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后,即斩了百头牛作庆祝,因此又称“百牛定理”。毕达哥拉斯在中国,周髀算经记载了勾股定理的公式与证明,相传是在商代由商高发现,故又有称之为商高定理;三国时代的赵爽对周髀算经内的勾股定理作出了详细注释,又给出了另外一个证明1。法国和比利时称为驴桥定理,埃及称为埃及三角形。我国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾,较长的直角边叫做股,斜边叫做弦。常用勾股数组(3,4,5);(6,8,10);(5,12,13);(8,15,17);(7,24,
5、25)有关勾股定理书籍 数学原理人民教育出版社 探究勾股定理同济大学出版社 优因培教数学北京大学出版社 勾股书籍 新世纪出版社 九章算术一书 优因培揭秘勾股定理江西教育出版社 几何原本(原著:欧几里得)人民日报出版社,毕达哥拉斯树,毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的图形。又因为重复数次后 的形状好似一棵树,所以被称为毕达哥拉斯树。直角三角形两个直角边平方的和等于斜边的平方。两个相邻的小正方形面积的和等于相邻的一个大正方形的面积。利用不等式A2+B22AB可以证明下面的结论:三个正方形之间的三角形,其面积小于等于大正方形面积的四分之一,大于等于一个小正方形面积的二
6、分之一。毕达哥拉斯树,毕达哥拉斯树,加菲尔德证明勾股定理的故事,1876年一个周末的傍晚,在美国首都华盛顿的郊外,有一位中年人正在散步,欣赏黄昏的美景,他就是当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德。他走着走着,突然发现附近的一个小石凳上,有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么,时而大声争论,时而小声探讨。由于好奇心驱使,加菲尔德循声向两个小孩走去,想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是加菲尔德 便问他们在干什么?那个小男孩头也不抬地说:“请问先生,如果直角三角形的两条直角边分别为3和4,那么斜边长为多少呢?”加菲尔德答道:“是5呀。”小男孩又问道:“
7、如果两条直角边分别为5和7,那么这个直角三角形的斜边长又是多少?”加菲尔德不加思索地回答到:“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方”小男孩说:“先生,你能说出其中的道理吗?”加菲尔德一时语塞,无法解释了,心里很不是滋味。加菲尔德不再散步,立即回家,潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算,终于弄清了其中的道理,并给出了简洁的证明方法。如下:解:在网格内,以两个直角边为边长的小正方形面积和,等于以斜边为边长的的正方形面积。勾股定理的内容:直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,a2+b2=c2;说明:我国古代学者把直角三角形的较短直角边称为“勾”,较长直角边为“股”,斜边称
8、为“弦”,所以把这个定理称为“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系。举例:如直角三角形的两个直角边分别为3、4,则斜边c的平方;=a的平方+b的平方=9+16=25即c=5 则说明斜边为5。,证明方法1,这个定理有许多证明的方法,其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思(Elisha Scott Loomis)的 Pythagorean Proposition(毕达哥拉斯命题)一书中总共提到367种证明方式。有人会尝试以三角恒等式(例如:正弦和余弦函数的泰勒级数)来证明勾股定理,但是,因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理,所以不能作为勾股定理的证明(参见循环论证)。证法
9、1作四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上。过点C作AC的延长线交DF于点P.D、E、F在一条直线上,且RtGEF RtEBD,EGF=BED,EGF+GEF=90,BED+GEF=90,BEG=18090=90 又 AB=BE=EG=GA=c,ABEG是一个边长为c的正方形。ABC+CBE=90 RtABC RtEBD,ABC=EBD.EBD+CBE=90 即 CBD=90 又 BDE=90,BCP=90,BC=BD=a.BDPC是一个边长为a的正方形。同理,HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCB
10、E的面积为S,则 A2+B2=C2.,证明方法2,作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(ba),斜边长为c.再做一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形,使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QPBC,交AC于点P.过点B作BMPQ,垂足为M;再过点 F作FNPQ,垂足为N.BCA=90,QPBC,MPC=90,BMPQ,BMP=90,BCPM是一个矩形,即MBC=90。QBM+MBA=QBA=90,ABC+MBA=MBC=90,QBM=ABC,又 BMP=90,BCA=90,BQ=BA=c,RtBMQ RtBCA.同理可证RtQNF RtAEF.即a2+b2=c2
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