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1、1,小结 思考题 作业,2.5节 洛必达法则,第三章 微分中值定理与导数的应用,2,其极限都不能直接利用极限运算,在第一章中看到,无穷大之商,法则来求.,那末极限,定义,型未定式.,或,如,意味着关于它的极限不能确定出一般的,未定,不能确定.,而并不是在确定的情况下关于它的极限,结论,两个无穷小之商或两个,两个函数,f(x)与F(x)都趋于零或趋于无穷大,3,这一节介绍一个求未定式极限的有效方法,此方法的关键是将,的计算问题转化为,的计算.,其基本思想是由微积分著名,先驱,从而产生了简,洛必达法则.,后人对他的思想作了推广,提出的,17世纪的法国数学家洛必达(LHospital),便而重要的,
2、4,定理1,5,证,则由条件(1),必有,可补充定义,6,柯西定理,7,(多次用法则),再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.,这种在一定条件下,通过分子分母分别求导,8,例,解,例,解,9,定理2,则,证,则,等价于,用定理1有,10,定理2成立;,例,解,11,用洛必达法则应注意的事项,只要是,则可一直用下去;,(3)每用完一次法则,要将式子整理化简;,(4)为简化运算经常将法则与等价无穷小及极限的其它性质结合使用.,(2)在用法则之前,式子是否能先化简;,12,例,解,13,例,解,14,例,解,例,解,n次,15,练习,解,先把此定式因式分离出来,16,例,解,极限不存在,洛必
3、达法则失效.,用法则求极限有两方面的局限性,当导数比的极限不存在时,不能断定函数比的极限不存在,其一,这时不能使用洛必达法则.,?,17,可能永远得不到结果!,分子，分母有单项无理式时,不能简化.,如,其实:,杜波塔托夫的一个著名例子.,其二,用法则求极限有两方面的局限性,18,例,解,步骤:,关键,或,将其它类型未定式化为洛必达法则可,解决的类型,19,例,解,20,例,解,步骤:,21,练习,解,步骤:,22,步骤:,例,解,23,例,解,24,例,解,25,例,解,杂例,26,解:,注意到,原式,例,27,解:,注意到,原式,例,28,分析:,原式,例,29,例,解,数列的极限,由于,是,中的一种特殊情况,所以有,不能用洛必达法则,30,练习,31,法四,用拉格朗日中值定理,(1),(2),同理,所以,32,练习,均为正数.,解,法一,33,解,法二,34,四、小结,一、,二、,三、,注意,但求某些未定式极限不要单一使用洛必达,应将所学方法综合运用.,尤其是下述两种方法,可使问题大大简化.,各类未定式极限问题,洛必达法则是最常用,的工具,法则,三大类未定式,35,思考题,?,36,思考题解答,非,正确的做法是,不一定存在.,
