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1、一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应的概念及求解,重点,1.动态电路方程的建立及初始条件的确定,返 回,含有动态元件电容和电感的电路称为动态电路。,1.动态电路,7-1 动态电路的方程及其初始条件,当动态电路状态发生改变时(换路)，需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。,下 页,上 页,特点,返 回,下 页,上 页,返 回,500kV断路器,过渡期为零,电阻电路,下 页,上 页,返 回,电容电路,下 页,上 页,返 回,i=0,uC=US,i=0,uC=0,S接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态：,S未动作前，电路处于稳定状态：,前一个
2、稳定状态,过渡状态,新的稳定状态,?,有一过渡期,uL=0,i=US/R,i=0,uL=0,S接通电源后很长时间，电路达到新的稳定状态，电感视为短路：,S未动作前，电路处于稳定状态：,电感电路,下 页,上 页,前一个稳定状态,过渡状态,新的稳定状态,?,有一过渡期,返 回,下 页,上 页,S未动作前，电路处于稳定状态：,uL=0,i=US/R,S断开瞬间,i=0,uL=,工程实际中在切断电容或电感电路时会出现过电压和过电流现象。,注意,返 回,过渡过程产生的原因,电路内部含有储能元件 L、C，电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。,电路结构、状态发生变化,换路,下
3、 页,上 页,返 回,应用KVL和电容的VCR得,若以电流为变量,2.动态电路的方程,下 页,上 页,RC电路,返 回,应用KVL和电感的VCR得,若以电感电压为变量,下 页,上 页,RL电路,返 回,一阶电路,下 页,上 页,结论,含有一个动态元件电容或电感的线性电路，其电路方程为一阶线性常微分方程，称为一阶电路。,返 回,二阶电路,下 页,上 页,RLC电路,应用KVL和元件的VCR得,含有二个动态元件的线性电路，其电路方程为二阶线性常微分方程，称为二阶电路。,返 回,一阶电路,一阶电路中只有一个动态元件,描述电路的方程是一阶线性微分方程。,描述动态电路的电路方程为微分方程。,动态电路方程
4、的阶数通常等于电路中动态元件的个数。,二阶电路,二阶电路中有二个动态元件,描述电路的方程是二阶线性微分方程。,下 页,上 页,结论,返 回,高阶电路,电路中有多个动态元件，描述电路的方程是高阶微分方程。,动态电路的分析方法,根据KVL、KCL和VCR建立微分方程。,下 页,上 页,返 回,复频域分析法,时域分析法,求解微分方程。,本章采用,工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。,下 页,上 页,返 回,稳态分析和动态分析的区别,稳态,动态,下 页,上 页,直流时,返 回,t=0与t=0的概念,认为换路在t=0时刻进行,0 换路前一瞬间,0 换路后一瞬间,3.电路的初始条件,初始条件为 t=
5、0时，u、i 及其各阶导数的值。,下 页,上 页,注意,0,0,t,返 回,图示为电容放电电路，电容原先带有电压Uo，求开关闭合后电容电压随时间的变化。,例1-1,解,特征根方程：,通解：,代入初始条件得：,在动态电路分析中，初始条件是得到确定解答的必需条件。,下 页,上 页,明确,返 回,t=0+时刻,电容的初始条件,下 页,上 页,当i()为有限值时,返 回,q(0+)=q(0),uC(0+)=uC(0),换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前、后保持不变。,电荷守恒,下 页,上 页,结论,返 回,电感的初始条件,t=0+时刻,下 页,上 页,当uL为有限值时,返 回,
6、L(0)=L(0),iL(0)=iL(0),磁链守恒,换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前、后保持不变。,下 页,上 页,结论,返 回,换路定律,电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。,换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前、后保持不变。,换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前、后保持不变。,换路定律反映了能量不能跃变。,下 页,上 页,注意,返 回,电路初始值的确定,(2)由换路定律,uC(0+)=uC(0)=8V,(1)由0电路求 uC(0),uC(0)=8V,(3)由0+等效电路求 iC(0+),例1-2,求 iC(
7、0+)。,电容开路,下 页,上 页,电容用电压源替代,注意,返 回,iL(0+)=iL(0)=2A,例1-3,t=0时闭合开关S,求 uL(0+)。,先求,应用换路定律:,电感用电流源替代,解,电感短路,下 页,上 页,由0+等效电路求 uL(0+),注意,返 回,求初始值的步骤:,1.由换路前电路（稳定状态）求uC(0)和iL(0)。,2.由换路定律得 uC(0+)和 iL(0+)。,3.画0+等效电路。,4.由0+电路求所需各变量的0+值。,(2)电容（电感）用电压源（电流源）替代。,(1)换路后的电路;,（取0+时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）。,下 页,上 页,小结,
8、返 回,iL(0+)=iL(0)=iS,uC(0+)=uC(0)=RiS,uL(0+)=-RiS,求 iC(0+),uL(0+)。,例1-4,解,由0电路得,下 页,上 页,由0+电路得,返 回,例1-5,求S闭合瞬间各支路电流和电感电压。,解,下 页,上 页,由0电路得,由0+电路得,返 回,求S闭合瞬间流过它的电流值。,解,确定0值,给出0等效电路,下 页,上 页,例1-6,返 回,7-2 一阶电路的零输入响应,换路后外加激励为零，仅有动态元件初始储能产生的电压和电流。,1.RC电路的零输入响应,已知 uC(0)=U0,零输入响应,下 页,上 页,返 回,特征根,则,下 页,上 页,代入初
9、始值 uC(0+)=uC(0)=U0,A=U0,返 回,下 页,上 页,或,返 回,令=RC,称 为一阶电路的时间常数。,电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数。,连续函数,跃变,响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关。,下 页,上 页,表明,返 回,时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短,=RC,大过渡过程时间长,小过渡过程时间短,电压初值一定：,R 大（C一定）i=u/R 放电电流小,C 大（R一定）W=Cu2/2 储能大,物理含义,下 页,上 页,返 回,:电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。工程上认为,经过 3 5,过渡过程结束。,U0 0.368U0 0.1
10、35U0 0.05U0 0.007U0,U0 U0 e-1 U0 e-2 U0 e-3 U0 e-5,下 页,上 页,注意,返 回,t2 t1,t1时刻曲线的斜率等于,次切距的长度,下 页,上 页,返 回,时间常数 的几何意义：,能量关系,电容不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕。,设 uC(0+)=U0,电容放出能量：,电阻吸收（消耗）能量：,下 页,上 页,返 回,例2-1,图示电路中的电容原充有24V电压，求S闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。,解,这是一个求一阶RC 零输入响应问题，有,下 页,上 页,返 回,分流得,下 页,上 页,返 回,下 页,上 页,例2-2,求
11、:(1)图示电路S闭合后各元件的电压和电流随时间变化的规律;(2）电容的初始储能和最终时刻的储能及电阻的耗能。,解,这是一个求一阶RC 零输入响应问题，有,u(0+)=u(0)=-20V,返 回,下 页,上 页,u,S,4F,+,+,-,-,i,-20V,250k,返 回,下 页,上 页,初始储能,最终储能,电阻耗能,返 回,J,J,2.RL电路的零输入响应,特征方程 Lp+R=0,特征根,代入初始值,A=iL(0+)=I0,下 页,上 页,返 回,连续函数,跃变,电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数。,下 页,上 页,表明,返 回,响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L/R有关。,下
12、 页,上 页,时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短。,L大 W=LiL2/2 初始能量大R小 p=Ri2 放电过程消耗能量小,大过渡过程时间长,小过渡过程时间短,物理含义,电流初始值iL(0)一定：,返 回,能量关系,电感不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕。,设 iL(0+)=I0,电感放出能量：,电阻吸收（消耗）能量：,下 页,上 页,返 回,iL(0+)=iL(0)=1 A,例2-3,t=0时,打开开关S，求uV,。电压表量程：50V。,解,下 页,上 页,返 回,例2-4,t=0时,开关S由12，求电感电压和电流及开关两端电压u12。,解,下 页,上 页,返 回,下 页,上
13、 页,返 回,一阶电路的零输入响应是由储能元件的初始值引起的响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。,下 页,上 页,小结,返 回,一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。,衰减快慢取决于时间常数。,同一电路中所有响应具有相同的时间常数。,下 页,上 页,小结,=R C,=L/R,R为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。,RC电路,RL电路,返 回,动态元件初始能量为零，由t 0时刻电路中外加激励作用所产生的响应。,方程：,7-3 一阶电路的零状态响应,解答形式为：,1.RC电路的零状态响应,零状态响应,非齐次方程特解,齐次方程通解,下 页,上 页,非齐次线性常微分方程,返 回
14、,与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解。,变化规律由电路参数和结构决定。,的通解,的特解,下 页,上 页,返 回,全解,uC(0+)=A+US=0,A=US,由初始条件 uC(0+)=0 定积分常数 A,下 页,上 页,从以上式子可以得出,返 回,电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成：,连续函数,跃变,稳态分量（强制分量）,瞬态分量（自由分量）,下 页,上 页,表明,+,返 回,响应变化的快慢，由时间常数RC决定；大，充电慢，小充电就快。,响应与外加激励成线性关系。,能量关系：,电容储存能量,电源提供能量,电阻消耗能量,电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成
15、电场能量储存在电容中。,下 页,上 页,表明,返 回,例3-1,t=0时,开关S闭合，已知 uC(0)=0，求(1)电容电压和电流；(2)uC80V时的充电时间t。,解,(1)这是一个RC电路零状态响应问题，有：,(2)设经过t1秒，uC80V,下 页,上 页,返 回,2.RL电路的零状态响应,已知iL(0)=0，电路方程为,下 页,上 页,返 回,下 页,上 页,返 回,例3-2,t=0时,开关S打开，求t 0后iL、uL的变化规律。,解,这是RL电路零状态响应问题，先化简电路，有,下 页,上 页,返 回,例3-3,t=0开关S打开，求t 0后iL、uL及电流源的电压。,解,这是RL电路零状
16、态响应问题，先化简电路，有,下 页,上 页,返 回,7-4 一阶电路的全响应,电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。,以RC电路为例，电路微分方程：,1.全响应,全响应,下 页,上 页,解答为 uC(t)=uC+uC,=RC,返 回,uC(0)=U0,uC(0+)=A+US=U0,A=U0-US,由初始值定A,下 页,上 页,强制分量(稳态解),自由分量(瞬态解),返 回,2.全响应的两种分解方式,全响应=强制分量(稳态解)+自由分量(瞬态解),着眼于电路的两种工作状态,物理概念清晰,下 页,上 页,返 回,全响应=零状态响应+零输入响应,着眼于因果关系,便于叠加计算
17、,下 页,上 页,零输入响应,零状态响应,返 回,下 页,上 页,返 回,例4-1,t=0 时,开关S打开，求t 0后的iL、uL。,解,这是RL电路全响应问题，有,零输入响应：,零状态响应：,全响应：,下 页,上 页,返 回,或求出稳态分量,全响应,代入初值有,62A,A=4,例4-2,t=0时,开关S闭合，求t 0后的iC、uC及电流源两端的电压（uC(0)=1V，C=1F）。,解,这是RC电路全响应问题，有,下 页,上 页,稳态分量：,返 回,下 页,上 页,全响应：,返 回,3.三要素法分析一阶电路,一阶电路的数学模型是一阶线性微分方程：,令 t=0+,其解答一般形式为：,下 页,上
18、页,特解,返 回,分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题。,用0+等效电路求解,用t的稳态电路求解,下 页,上 页,直流激励时：,注意,返 回,例4-3,已知：t=0 时合开关，求换路后的uC(t)。,解,下 页,上 页,返 回,例4-4,t=0时,开关闭合，求t 0后的iL、i1、i2。,解法1,三要素为,下 页,上 页,三要素公式,返 回,下 页,上 页,返 回,三要素为,下 页,上 页,返 回,解法2,例4-5,已知：t=0时开关由12，求换路后的uC(t)。,解,三要素为,下 页,上 页,返 回,下 页,上 页,例4-6,已知：t=0时开关闭合，求换路后的电流i(t)。,解,三要素为,返 回,下 页,上 页,返 回,已知：电感无初始储能t=0 时合S1,t=0.2s时合S2，求两次换路后的电感电流i(t)。,0 t 0.2s,解,下 页,上 页,例4-7,返 回,t 0.2s,下 页,上 页,返 回,(0 t 0.2s),(t 0.2s),下 页,上 页,返 回,
