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1、9.1 二次型和对称矩阵,定义1：设 是一个数域，上 元二次齐次多项式叫做 上一个 元二次型，简称二次型。,例1、判断下列各式是否为二次型：,（1）式可写成以下形式：,令，利用矩阵乘 法，则（2）可写成：,其中 为对称矩阵，称 为二次型 的系数矩阵，简称为 的矩阵，并把矩阵 的秩称为二次型 的秩。,例2、写出下列二次型的矩阵:,例3、写出下列方阵对应的二次型：,如果对二次型（3）的变量实施如下变换：，那么就得到一个关于 的二次型。（4）式称为变量的线性变换。,令 是（4）的系数所构成的矩阵，则（4）可以写为,将 和 代入（3），得 矩阵 称为线性变换（4）的矩阵。如果 是非奇异（可逆）的，就称
2、（4）是一个非奇异线性变换（非退化线性替换或满秩线性代换）。,因为A是对称矩阵，所以所以 也是对称矩阵。于是有：,定理9.1.1：设 是数域 上的一个以A为矩阵的 元二次型。对它的变量施行一次以P为矩阵的线性变换后得到的二次型的矩阵为。,例4、求对二次型的变量施行线性变换后得到的二次型。,推论9.1.2：一个二次型的秩在变量的非奇异线性变换之下保持不变。,定义2：设 是数域 上的两个 阶矩阵。如果存在 上的一个 阶非奇异（可逆）矩阵，使得,则称 与 合同。,矩阵合同的性质：,1）自反性：任意矩阵 都与自身合 同。,2）对称性：若 与 合同，则 与 也合同。,3）传递性：若 与 合同，与合同，则
3、 与 合同。,结论：合同矩阵的秩相等，且与一个对称矩阵合同的矩阵也对称。,定义:若 上一个二次型可通过非奇异线性变换变为 上的另一个二次型，则这两个二次型等价。,定理9.1.3：数域 上两个二次型等价 它们的矩阵合同。等价的二次型的秩相同。,定理9.1.4：设 是数域 上的一个 阶对称矩阵，则总存在 上的一个 阶非奇异矩阵，使得。即：上每一个 阶对称矩阵都与一个对角形矩阵合同。,为对称矩阵，求一个可逆矩阵，使得 是对角形的方法：.,例5、设，求一个可逆矩阵，使得 是对角形。,定理9.1.5：数域 上每一个 元二次型，可通过变量的非奇异线性变换化为：（标准形或对角形）其中，。,例6、用非退化线性替换将二次型化为标准形。,补充作业：用非奇异线性变换将下列二次型化为标准形：。,
