《高考数学总复习精品课件（苏教版）：第五单元第五节 两角和与差的三角函数及二倍角的三角函数.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学总复习精品课件（苏教版）：第五单元第五节 两角和与差的三角函数及二倍角的三角函数.ppt（38页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、第五节 两角和与差的三角函数及二倍角的三角函数,基础梳理,1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式C(-):cos(-)=cos cos+sin sin;C(+):cos(+)=cos cos-sin sin;S(+):sin(+)=sin cos+cos sin;S(-):sin(-)=sin cos-cos sin;,2.二倍角的正弦、余弦、正切公式S2:sin 2=2sin cos;C2:cos 2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2;3.形如asin+bcos 的化简asin+bcos=sin(+),其中cos=,的终边所在象限由a、b的值来确定.,题型一 化简求值,【例1
2、】求2sin 50+sin 10(1+tan 10)的值.,分析 50、10、80都不是特殊角，但注意到它们的和60、90都是特殊角，因此可考虑用和角公式求其值；另外含有正切函数，切化弦后出现分式，可通过约分以去掉非特殊角.,解 原式=（2sin 50+sin 10）sin 80=2sin 50+2sin 10 cos 10=2 sin 50cos 10+sin 10cos(60-10)=2 sin(50+10)=.,(2)根据本题点拨采用“切化弦”是解决本题的关健.它为逆用差角公式与和角公式铺平了道路.在三角函数式化简或求值过程中,还要注意利用和、差角的三角函数公式,它们可将三角函数式化为一
3、个角的三角函数式，为化简或求值提供方便.,学后反思(1)解决这类三角求值问题的一般规律是:恰当、准确地应用诱导公式、三角函数公式,合理地进行角的变换,使其转化为特殊角的三角函数值的求解问题.,举一反三1.求sin 50(1+tan 10)的值.,解析:原式,题型二 给值求角,【例2】已知、为锐角，向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),c=.若ab=,ac=,求角2-的值.,分析 由ab=,ac=及a,b,c的坐标，可求出关于、的三角函数值，进而求出角.,解（1）ab=(cos,sin)(cos,sin)=cos cos+sin sin=cos(-)=,ac=(cos,sin)=c
4、os-sin=.0,0,-.由得-=,由得=.又、为锐角，=.从而2-=.,学后反思 解决给值求角问题一般分如下三个步骤：（1）求角的某一个三角函数值；（2）确定角所在的范围；（3）确定所求角的值.,举一反三2.已知tan=,tan=,并且、均为锐角，求+2.解析：tan=1,tan=1,且、均为锐角，0,0+2.又,题型三 给值求值,【例2】设cos(-)=-,cos(+)=,-,+,求cos 2,cos 2.,分析 本题“2”角与条件中出现的两个整体角+与-之间恰有关系(+)+(-)=2,(+)-(-)=2,使问题迎刃而解.诸如此类的整体还有=(+)-,2=(+)-(-),应注意在解题中的
5、运用.,解 由cos(-)=-,-,得sin(-)=.同理，可得sin(+)=-.cos 2=cos(+)+(-)=cos(+)cos(-)-sin(+)sin(-)=.同理可得,cos 2=-.,学后反思 给值求值，即由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于将“目标角”变换成已知角.若角所在的象限没有确定，则应分情况讨论.应注意公式的运用、逆用、变形运用，掌握拆角、拼角、配角等技巧.,举一反三3.已知 解析：,题型四 实际应用,【例3】(14分)已知向量m=(sin B,1-cos B),且与向量n=(2,0)所成角为，其中A、B、C是ABC的内角.（1）求角B的大小；
6、（2）求sin A+sin C的取值范围.,分析（1）先利用向量的夹角公式求出角B的余弦值，进而求B的大小.（2）利用三角形的内角和定理将原式表示为一个角的三角函数的运算.,解(1)m=(sin B,1-cos B),与向量n=(2,0)所成角为,cos=,22-cos B-1=0,cos B=-或cos B=1(舍去)，B=.8,(2)由(1)可得A+C=,sin A+sin C=sin A+sin（-A）=sin A+cos A=sin（A+）.100A,A+,sin（A+）,sin A+sin C.14,学后反思 新课标对三角恒等变换的要求：“经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过
7、程，进一步体会向量方法的作用”.向量是公式推导的基础与工具，那么，考查向量与三角恒等变换的综合题必然成为高考合理的动向.这种综合题是高考中的中档题，向量的作用是用坐标运算来构造成一个三角函数，关键是把得到的三角函数式进行三角恒等变形，得到函数f(x)=Asin(x+)+b,从而求周期、最值、单调性等问题.,举一反三4.如图所示，A、B是单位圆O上的点，且B在第二象限，C是圆与x轴正半轴的交点，A点的坐标为,AOB为正三角形.(1)求sinCOA;(2)求cosCOB.,解析:(1)因为A点的坐标为,根据三角函数的定义，sinCOA=(2)因为AOB为正三角形，所以AOB=60.又sinCOA=
8、,cosCOA=所以cosCOB=cos(COA+60)=cosCOAcos 60-.,【例】已知在ABC中，sin(A+B)=,cos B=-,求cos A的值.错解 方法一：sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,又,易错警示,错解分析方法一应用两角和公式与已知函数值，把问题转化为关于cos A的一元二次方程再求解，方程虽不简捷却是可行的，然而，由于对ABC中内角的三角函数值的诸多限制认识不足，对最后的解答没有检验，从而结论错误.事实上，已知cos B0,表明了B是钝角，由A+B+C=知,A为锐角，不合题意，应舍去.,正解 在ABC中，由cos B=-,得.,考点演练
9、,10.若f()=，求f（）.,解析:f()=.f（）=8.,11.已知,(0,)，求的值.,解析：由已知条件得.即 sin-=0,解得sin=或sin=0.由0知sin=,从而=或=.,12.(2008江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角、，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点.已知A、B的横坐标分别为.（1）求tan(+)的值；（2）求+2的值.,解析：由条件得,（2）,第一节 导数的概念及运算,基础梳理,数量化,视觉化,1.函数f(x)在区间x1,x2上的平均变化率(1)函数f(x)在区间x1,x2上的平均变化率为,(2)平均变化率是曲线陡峭程度的“”，或者说
10、，曲线陡峭程度是平均变化率的“”.2.函数f(x)在x=x0处的导数（1）定义设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义，若x无限趋近于0时，比值 无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x=x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x=x0处的导数，记作.,(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点.处的.相应地，切线方程为.,3.函数f(x)的导函数若f(x)对于区间(a,b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的 而，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作.,切线的斜率,变化,变化,f(x).,4.基本初等函数的导数
11、公式,f(x)=.,f(x)=.,k,0,1,2x,cos x,sinx,5.导数运算法则(1)f(x)g(x)=;(2)Cf(x)=(C为常数);(3)f(x)g(x)=;,f(x)g(x),Cf(x),f(x)g(x)+f(x)g(x),典例分析,题型一 利用导数的定义求导数【例1】用导数定义求y=x2在x=1处的导数值.分析 利用导数的定义,按求导数的步骤求解.解当x无限趋近于0时，趋近于2,y|x=1=2.学后反思 利用导数的定义求在一点x0的导数的关键是对yx进行灵活变形，若求f(x)在开区间(a,b)内的导数，只需将x0看成是(a,b)内的任意点x,即可求得f(x).,举一反三1.
12、已知，利用定义求y,y|x=1.,题型二 利用求导公式求导数【例2】求下列函数的导数.,解析,分析 直接利用导数公式及四则运算法则进行计算.,学后反思 准确记忆求导公式及四则运算法则是解答本题的关键.,解(1)y=()sin x+(sin x)=2xsin x+x2cos x.(2),举一反三2.求函数 的导数.,题型三 导数的物理意义及在物理上的应用【例3】一质点运动的方程为s=8-3t2.(1)求质点在1,1+t这段时间内的平均速度；(2)求质点在t=1的瞬时速度.,解析,分析 第（1）问可利用公式 求解；第（2）问可利用第（1）问的结论求解，也可利用求导公式及四则运算法则求解.,解(1)
13、质点在1,1+t这段时间内的平均速度为(2)方法一（定义法）：质点在t=1时的瞬时速度v=,方法二（求导法）：质点在t时刻的瞬时速度v=s(t)=-6t,当t=1时，v=-6.,学后反思 导数的概念是通过函数的平均变化率、瞬时变化率、物体运动的瞬时速度、曲线的切线等实际背景引入的，所以在了解导数概念的基础上也应了解这些实际背景的意义.对于作变速运动的物体来说，其位移对时间的函数的导数就是其运动的速度对时间的函数，速度对时间的函数的导数就是其运动的加速度对时间的函数，这是导数的物理意义，利用导数的物理意义可以解决一些相关的物理问题,举一反三3.以初速度 作竖直上抛运动的物体，t秒时的高度为,求物
14、体在时刻 时的瞬时速度.,解析：物体在 时刻的瞬时速度为.,题型四 导数的几何意义及在几何上的应用【例4】(14分)已知曲线(1)求曲线在点P（2，4）处的切线方程；(2)求曲线过点P（2，4）的切线方程.,分析(1)点P处的切线以点P为切点,关键是求出切线斜率k=f(2).(2)过点P的切线，点P不一定是切点，需要设出切点坐标.,解（1)y=x2,2在点P（2，4）处的切线的斜率k=y|x=2=4,3曲线在点P（2,4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.4,(2)设曲线 与过点P（2，4）的切线相切于点,则切线的斜率k=y|x=x0=x20.6,切线方程为即点P（2，4
15、）在切线上，即x30-3x20+4=0,x30+x20-4x20+4=0,x20(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,.12故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.14,学后反思（1）解决此类问题一定要分清是“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”.（2）解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标(x0,y0),得出切线方程y-y0=f(x0)(x-x0),然后把已知点代入切线方程求(x0,y0)，进而求出切线方程.,举一反三4.求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离.,解析：设曲线上过点
16、 的切线平行于直线2x-y+3=0,即斜率是2，则.解得,即点P(1,0),点P到直线2x-y+3=0的距离为,曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是.,题型五 复合函数的导数【例5】求下列函数的导数.,分析 先确定中间变量转化为常见函数，再根据复合函数的求导法则求导.也可直接用复合函数求导法则运算.,解,学后反思 求复合函数的导数，关键是理解复合过程，选定中间变量，弄清是谁对谁求导，其一般步骤是:(1)分清复合关系，适当选定中间变量，正确分解复合关系（简称分解复合关系）；（2）分层求导，弄清每一步中哪个变量对哪个变量求导数（简称分层求导）.即：分解（复合关系）求导（
17、导数相乘）,举一反三5.求下列函数的导数。,解析：,易错警示,【例】已知曲线 上的点P（0,0）,求过点P(0,0)的切线方程.错解 在点x=0处不可导，因此过P点的切线不存在.错解分析 本题的解法忽视了曲线在某点处的切线的定义.在点P处的切线是指曲线在点P附近取点Q，当点Q趋近于点P时，割线PQ的极限位置的直线就是过点P的切线，因此过点P的切线存在，为y轴（如下图所示）.,正解 如右图，按切线的定义，当x0时割线PQ的极限位置为y轴（此时斜率不存在），因此，过点P的切线方程为x=0.,考点演练,10.已知函数 的图象都过点P(2,0),且在点P处有相同的切线.求实数a,b,c的值.,解析：f
18、(x)过点（2,0）,解得a=-8,同理，g(2)=4b+c=0.f(x)=6x2-8,在点P处切线斜率.又g(x)=2bx,2b2=16,b=4,c=-4b=-16.综上，a=-8,b=4,c=-16.,11.设函数f(x)满足，a,b,c为常数，|a|b|，求f(x),解析:将 中的x换成，可得将其代入已知条件中得,12.(2008宁夏)设函数(a,bZ),曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y=3.(1)求f(x)的解析式；（2）证明函数y=f(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；（3）证明曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形面积为定值，并求出此定值.,解析:(1)f(x)=.于是,解得,(2)证明:已知函数 都是奇函数，函数 也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形.由 可知f(x)的图象是由g(x)的图象沿x轴正方向向右平移1个单位，再沿y轴正方向向上平移1个单位得到的.故函数f(x)的图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形.,（3）证明：在曲线上任取一点,由 知，过此点的切线方程为.令x=1,得,切线与直线x=1的交点为.令y=x,得,切线与直线y=x的交点为.直线x=1与y=x交点为(1,1).从而所围三角形面积为所以所围三角形的面积为定值2.,
