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1、第五章 动态规划（DP）,把决策问题按时间（即阶段）或空间（即层次）划分为若干相互联系的阶段或层次，对每一个阶段或层次都要作决策的问题，称为多阶段决策问题。,1、多阶段决策问题：,2、动态规划（方法）:,解决多阶段决策问题的辅助方法。,（美国数学家理查德 贝尔曼提出）,可用于:,最优路径问题、,资源分配问题、,生产计划与库存、,投资问题、,装载问题、,排序问题、,及生产过程的最优控制等。,3、动态规划模型分类,根据决策过程的时间参数,根据决策过程的演变,分为：离散性 连续性（时间的函数）,分为：确定性（这一阶段到下一阶段确定）随机性（这一阶段到下一阶段确定）,则有离散确定型、离散随机型、连续确
2、定型、连续随机型,本章主要研究离散确定型。,第一节 多阶段决策问题的结构,一、问题的提出：,销售策略问题,建材商店购进某种屋面防水材料1000千克准备销售。,根据市场情况分析，这批材料可以在4个月内销售完。,由于每个月的市场需求不同，各月材料的零售价格也不同。,经对市场预测，未来4个月的市场价格、没有销售的材料因资金积压和管理费均可折摊成每月的库存费用，如下表。,问：该材料店经理应该如何制定销售计划，才能使这批材料获取的销售利润最大？,设第j月，库存量，销售量，销售利润,材料售价及存储费用表,则，其整个销售过程为：,目标为：,2、生产与存贮问题,某工厂每月需供应市场一定数量的产品，并将所有余产
3、品存入仓库。,一般某月适当增加产量可降低生产成本，但超产部分存入仓库会增加库存费用。,要求确定一个逐月的生产计划，在满足需求条件下，使一年的生产与存贮费用之和最小。,（每个月为一个阶段，一年分为12个阶段逐次决策）,3、投资决策问题,某公司有资金Q万元，在今后5年内考虑给A、B、C、D4个项目投资。,这些项目投资的回收期限、回报率均不相同，,问该公司应如何确定这些项目每年的投资额，,使到第5年未拥有资金的本利总额最大。（5个阶段）,4、设备更新问题,企业在使用设备时，都要考虑设备的更新问题，,因为设备越陈旧所需的维修费用越多，但购买新设备则要一次性支出较大的费用。,现某企业要决定一台设备未来8
4、年的更新计划，,已预测了第j年购买设备的价格为Kj，,设Gj 为设备经过j年后的残值,Cj为设备连续使用j-1年后在第j年的维修费（j=1,2,，8）,问应在哪些年更新设备可使总费用最小?,（8个阶段决策，是继续使用？还是购买新设备？）,5、多阶段决策问题的特点：,多个决策阶段是顺序相连，组成一种序列决策系统；,对每个阶段都要进行决策，且前一阶段决策对后一阶段的决策会产生影响。反之，后一阶段的决策对前一阶段决策不产生影响。这一特征：“无后效性”、“健忘性”。,策略是各阶段决策序列.而最佳策略不一定由各阶段的最佳决策所组成.,二、动态规划的基本概念及多阶段决策问题的结构,动态规划要解决的问题是对
5、多阶段决策系统进行优化的问题。,则首先要将实际问题写成动态规划模型，此时要用到以下概念。,阶段、状态、决策和策略、状态转移（变换）、指标函数,将系统根据时间、空间的演变过程，划分为几个相互联系的部分，以便按次序去求每个过程的解，此过程称为阶段或级。,1、阶段：,常用标号：j=1,2,n表示。,这样可以把全过程优化问题转化为的阶段优化问题。,这些阶段这并不是独立的，而是互相嵌入的。,（即后面阶段对前面不产生影响，前面阶段对后面阶段的发展产生影响。）,阶段特征：,必须有顺序性。,每个阶段的决策，使阶段演变。,应具有无后效性。,2、状态,各个阶段开始时的客观条件（属性）叫做状态。,描述各阶段状态的变
6、量，称为状态变量。,每阶段可有多个状态变量，状态变量集(向量)表示。,前例：库存量 xj，每年投资资金，设备已用的年限某阶段有几条路，,状态空间：状态变量取值的集合，可以离散的，也可以为连续的。,状态变量的维数：即为各阶段决策问题的维数。,2、如果所选定的变量不具备无后效性，就不能作为状态变量来构造动态规划模型。,状态变量应具有的性质：,1、当某阶段状态给定以后，在这阶段以后过程的发展不受这段以前各段状态的影响。,也就是说，当前的状态是过去历史的一个完整总结。过程的过去历史只能通过当前状态去影响它未来的发展。（称为无后效性）,3.决策和策略,当各阶段的状态取定以后，就可以做出不同的决策（或选择
7、），从而确定下一阶段状态。,这种在系统的各级阶段中，人们为控制系统的运行发展过程所采的一种行为，称为决策。,表示决策的变量，称为决策变量。,uj(xj)：j阶段当状态为xj时的决策变量。,各阶段决策确定后，整个系统的决策序列就构成一个策略。,使整个问题达到最优效果的策略就是最优策略。,4.状态转移方程（传递函数）,动态规划中本阶段的状态往往是 上一阶段和上一阶段决策的结果。,如果给定了第j阶段的状态xj，决策uj，则j+1阶段的状态xj+1也就完全确定，,可用关系式表达：xj+1=T(xj,uj(xj),若T为确定性，则为确定性动态问题；若T为随机性，则为随机性动态问题,5.效益函数（损失函数
8、）,在状态xj，采取uj(xj)决策后，所付出或收益的部分,它取决于系统的状态与决策。,dj（xj，uj）阶段效益函数,6.指标函数,评价策略优劣的数量标准。,动态规划解决多阶段决策问题的基本方法,(1)思路:,对于一个n段决策过程,从1到n阶段，称为原过程。,对任意给定的j阶段，从第j阶段到第n阶段的过程 称为原过程的后部子过程。,（2）,将全过程阶段决策问题，转化为n个后部子过程决策问题。,这些子系统是采用能够逐步嵌入，阶段数逐步增加而形成的。,每个子问题都有共同的终止状态和不同的起始状态。,每个子问题都有自己的子策略集合，即：,若j=1:v1,n(x1)为全过程策略,Vj,n(xj)=u
9、j(xj),uj+1(xj+1),un,即求 opt fj(xj,vj,n)(j=1,2,n),以j阶段为起始状态的指标函数，常用fj(xj,vj,n)来表示。,动态规划问题是：在一定的约束条件下，求指标函数的最优化问题，,（3）,各阶段的最优指标函数值为fj*(xj)=opt fj(xj,vj,n)(j=1,2,n),（4）,c.对变量fj+1(xj+1,vj+1,n)来说，严格单调,（5）,确定指标函数须具有的条件：,a.后部子过程或原过程的决策序列的数量函数,b.满足递推关系fj(xj,vj,n)=xj,uj,fj+1(xj+1,vj+1,n),（6）,经常采用的两种指标函数,a.总效益
10、函数：,fj(xj,vj n)=,b.累积效益函数：,fj(xj,vj n)=,第二节 动态规划方法,一、最优化原理,1.贝尔曼最优化原理,作为整个过程的最优化策略，具有这样的性质，,即无论过去的状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，余下的诸决策必须构成最优决策。,（3）动态规划方法是既把当前一段与未来各段分开，又把当前效益和未来效益结合起来考虑的一种最优化方法。因此，每段的最优决策选取是从全局考虑的，与该段的最优选择一般不同。,（2）求解时从边界条件开始，逆（顺）过程行进方向，逐段递推寻优。每一个子问题求解时，都要使用它前面已求出的子问题的最优结果。最后一个子问题的最优解，就是整个问
11、题的最优解。,2.动态规划方法的基本思想,（1）对全过程的多阶段决策系统的最优化，可以转化为若干个子系统的最优化子系统：从当前阶段直至最终阶段的若干阶段组成后部子过程。,（4）最优化原理的数学表达式：即为动态规划的基本方程：是递推逐段求解 fk*(xk)=optdk(xk,uk)+fk+1*(xk+1)fn+1*(xn+1)=0,二、动态规划方法的步骤,第一步：建模：确定阶段、状态变量、决策变量、传递函数、效益函数、指标函数,第二步：逆算法求子问题。建立动态规划的泛函方程。求解：表格枚举法、线性规划微分法、优选法,第三步：确定最优策略。最优决策是状态变量的函数，确定状态，则才确定决策。,例：（
12、连续变量的解法）销售策略问题,设第j月，销售量，库存量，销售利润,子系统一：4月 Max f4=d4=6u4-2x4 s.t x4=0 0u4x3 u*4=x3,f*4=6x3,子系统二：3、4月Max f3=d3+f*4=5u3-1.5x3+6x3=4.5x3+5u3=4.5x2+0.5u3 s.t x3=x2-u3 0u3x2 u*3=x2,f*3=5x2,子系统三：2、3、4月 Max f2=d2+f*3=4u2+4.5x2=4u2+4.5x1-4.5u3=4.5x1-0.5u2 s.t x2=x1-u2 0u2x1 u*2=0,f*2=4.5x1,子系统四：1、2、3、4月 Max f
13、1=d1+f*2=3u1-x1+4.5x1=3u1+3.5x1=-0.5u1+3500 s.t x1=1000-u1 0u11000 u*1=0,f*1=3500,最后策略为：u*1=0 u*2=0 u*3=1000 u*4=0 x*1=1000 x*2=1000 x*3=0 x*4=0,v1,4=(0,0,1000,0),f=f*1=3500,最短路线问题（分段穷举法）给定一个线路图，要从A地向F地铺设一条输油管道，各点间连线上的数字表示距离，问应选择什么样的路线，可使总距离最短。,4,5,2,3,6,8,7,7,5,8,4,A,B2,B1,C1,C2,C3,C4,E1,D2,D3,D1,E
14、2,F,5,3,4,8,4,3,5,6,2,1,3,4,3,1、阶段 A B C D E F2、状态 第一阶段：x1=A 第二阶段：x2=B1,B2 x2为状态集合，可有个状态 第三阶段：x3=C1,C2,C3,C4 第四阶段：x4=D1,D2,D3 第五阶段：x5=E1,E2,3、决策：因状态不同，决策也不同，构成决策集合4、状态转移方程 xk+1=uk(xk)5、效益函数 d(xk,uk)：由状态xk出发，采用决策 uk到下一阶段xk+1时的两点距离6、指标函数：距离最优 min f,对此问题采用分段穷举法1、可用顺序解法：适用于初始状态给定的问题（A出发点给定）也可用逆序解法：适用于终止
15、状态给定的问题（F目的点给定）5阶段 E,4、5 阶段,F f5*(E1)=4 f5*(E2)=3,3、4、5阶段2、3、4、5阶段,1、2、3、4、5阶段,第三节 动态规划模型的建立与求解,一、动态规划模型的建立1.动态规划是一种辅助的决策方法，并与有关的优化算法相结合起来求解决策问题的最优解。如何建立动态规划模型呢？建立动态规划的模型就是分析问题并建立问题的动态规划基本方程。成功应用动态规划方法的关键在于识别问题的多阶段特征，将问题分解成为可用递推关系或联系起来的若干子问题，或者说正确的建立具体问题的基本方程，这需要经验与技巧。而正确建立基本递推关系方程的关键在于正确选择状态变量，保证各阶
16、段的状态变量其有 递推的状态转移关系 xk+1=T(xk,uk),2.与时间无明显关系的静态最优化问题，可列出静态模型。为了应用动态规划方法求解，可以人为的赋予它“时段”概念，将投资项目排序：（投资问题中，一般可使用的资金为状态变量）确定阶段、状态变量、决策变量、状态转移方程、指标函数等（可从状态转移图写）P212 例7：建立动态规划模型的要点 阶段、状态变量、决策变量(状态方程)、指标函数,二、逆序解法与顺序解法动态规划的求解有两种基本方法：逆序解法（后向动态规划方法）顺序解法（前向动态规划方法）逆序解法：寻优的方向与多阶段决策过程的实际行进 方向相反，从最后一段开始计算，逐段前 推，求得全
17、过程的最优策略。顺序解法：寻优方向同于过程的行进方向，计算是从 第一段开始逐段向后递推，计算后一阶段 要用到前一阶段的最优结果，最后一段计 算的结果就是全过程的最优结果。,顺序解法与逆序解法本质上并无区别。一般地说，当初始状态给定时可用逆序解法，当终止状态给定时可用顺序解法；若问题给定了一 个初始状态，一个终止状态，则两种方法均可使用；若初始状态虽已给定，终点状态有多个，须比较到 达不同终点状态的各个路径及最优指标函数值，以 选取总效益最佳的终点状态时，使用顺序解法比较 简便。,两种解法的区别：1.状态转移方程：逆 xk+1=T(xk,uk)顺 xk=T(xk+1,uk+1)2.指标函数定义：
18、逆 fk(xk):k阶段到终点的后部z过程的 最优效益值 顺 fk(xk+1):第k阶段到起点的前部z过 程的最优效益值3.基本方程形式,逆x1 xk xk+1 xn+1 顺 x1 x2 xk xk+1 Xn+1,三、基本方程分段求解时的几种常用算法 动态规划模型建立后，对基本方程分段求解，不像线性规划或非线性规划那样有固定解法，必须根据具体问题的特点，结合数学技巧灵活求解。1.离散变量的分段穷举法 状态变量与决策变量若被只限定只能取离散值，则可采用分段穷举法。由于每段的状态变量和决策变量离散取值个数较少，所以动态规划的穷举法要比一般的穷举法有效。用分段穷举法求最优指标函数值时，最重要的是正确
19、确定每段状态变量取值范围和允许决策集合的范围。最优路线 2.连续变量的解法,第四节 动态规划在经济管理中的应用,除了前面讲到的资源分配、最优路径问题外，动态规划在经济管理中还有许多应用，下面举一些典型例子来说明这方面的应用。,一、背包问题（分配问题）1.背包问题的一般提法：一位旅行者携带背包去登山，已知他所能承受的背包重量限度为a千克，现有n种物品可供他选择装入背包，第i种物品的单位重量为ai千克，其价值（可以表明为本物品对登山的重要性的数量指标）是携带数量xi的函数ci(xi)(i=1,2,n)。问旅行者应如何选者携带各种物品的件数，以使总价值最大？背包问题等同于车、船、飞机、潜艇、人造卫星
20、等工具的最优装载问题，还可用于解决机床加工中零件最优加工、下料问题，投资决策等，有广泛实用意义。,2.建立模型：设Xi为装入第i种物品的件数，可归结为如下形式的整数规划模型。,3.动态规划逆序解法建模求解阶段k：将可装入物品按1、2、n排序，每一阶段装入一种物品，共划分n阶段，k=1 n。状态变量xk：第k段，背包中允许装入的总重量决策变量uk：第k段，装入第k种物品的件数状态转移：状态转移方程：xk+1=xk-akuk5）决策集合：6)指标函数：,例：有一辆最大货运量为10吨的卡车，用于装载3种货物，每种货物单位重量及相应单位价值如下表，应如何装载可使总价值最大？,分段穷举法（离散、计算机实
21、现）第三阶段：x3取值范围010，f3*=c3u3,第2、3阶段：x2取值范围010，f2*=c2u2+f3*,当x1=10时，max f*=13,u1*=0 递推得u2*=1,u3*=2若再加个约束条件，如总体积不能超过一定数量，则状态变量是二维的背包问题，其解法与一维相似。,二、生产经营问题 在生产和经营管理中经常遇到如何合理安排生产计划，采购计划以及仓库的存货计和销售计划，使总效益最高的问题。1、生产与存贮问题，清P199生产与库存问题 教材P1072、采购与销售问题 销售策略问题3、限期采购问题（随机型）,例：某部门欲采购一批原料，原料价格在五周内可能有所变动，已预测得该种原料今后五周
22、内不同单价的概率如下表，试确定该部门在五周内购进这批原料的最优策略，使采购价值的期望值最小。本例与前面所讨论的确定型问题不同，状态的转移不能完全确定，而按某种已知的概率分布取值，即属于随机型动态规划问题阶段，按采购期限分为5段，k1，2，3，4，5；状态变量xk，第k周的原料的实际价格，决策变量uk，第k周如采取采购则uk1，若不采购uk0,三、设备更新问题 企业中经常会遇到因设备陈旧或损坏需要更新的问题。从经济上分析，一台设备应该使用多少年更新最合算，这就是设备更新问题。一般来说，一台设备在比较新时，年运转量大，经济收入高，故障少，维修费用少。但随着使用年限的增加，年运转量减少因而收入减少，
23、故障多，维修费用增加，如果更新可提高不同决策的优劣，常常要在一个较长的时间内考虑更新决策问题。,1、设备更新问题一般提法：在已知一台设备的效益函数r(t)，维修费用函数p(t)，更新费用函数c(t)条件下，要求在n年内的每年年初做出决策：是继续使用旧设备，还是更换一台新的，使n年总效益最大。rk(t)：在第k年设备已使用过t年（或称役龄为t年），再 使用1年时的效益。pk(t)：在第k年设备役龄为t年，再使用1年时的维修费用。ck(t)：在第k年卖掉一台役龄为t年设备，买进一台新设备 的更新净费用。,2、建立动态规划模型阶段k：表示计划使用该设备的年限数。状态变量xk：第k年初，设备已使用过的
24、年数，即役龄。决策变量uk:是决定第k年初更新，还是保留旧设备。状态转移方程:阶段指标(效益函数)：指标函数：fk(xk)=maxd(xk,uk)+fk+1(xk+1)fn+1(xn+1)=0 rk(xk)-pk(xk)+fk+1(xk+1)当uk=k rk(0)-pk(0)-ck(xk)+fk+1(1)当uk=R,即：fk(xk)=max,为折扣因子(0 1),表示一年以后的单位收入价值相当于现年的单位。,例：设某台新设备的年效益及年均维修费，更新净费用如表示确定今后5年内的更新策略，使总收益最大。（设=1）,解：五个阶段1）当k=5时 r5(x5)-p5(x5)当u5=k rk(0)-p5
25、(0)-c5(x5)当u5=Rx5可取1，2，3，4 r5(1)-p5(1)u5=k rk(0)-p5(0)-c5(1)u5=R 4-0.5 5-0.5-2.2 3.75-2 5-0.5-2.5 3-2.5 5-0.5-3,f5(x5)=max,*,f5(1)=max,=max,f5(2)=max,*,=2.5,u5(2)=k,*,f5(3)=max,f5(4)=max,*,*,=2,u5(3)=R,=1.5,u5(2)=R,*,*,4.5-1 u5=k,5-0.5-1.5 u5=R,=3.5,u*5(1)=k,2)当k=4,第四、五年阶段 r4(x4)-p4(x4)+f5(x4+1)当u4=
26、k r4(0)-p4(0)-c5(1)+f5(1)当u4=Rx4可取1，2，3 4.5-1+2.5 5-0.5-1.5+3.5 4-1.5+2 5-0.5-1.5+3.5 3.75-2+1.5 5-0.5-2.5+3.5,f4(x4)=max,f4(2)=max,f4(3)=max,f4(1)=max,=3.5,u4(3)=R,=5.8,u4(2)=R,=6.5,u4(1)=k,3)当k=3,第三、四、五年阶段 r3(x3)-p3(x3)+f4(x3+1)当u3=k r3(0)-p3(0)-c3(x3)+f4(1)当u3=Rx3可取1,2 4.5-1+5.8 5-0.5-1.5+6.5 4-1
27、.5+5.5 5-0.5-2.2+6.5,f3(x3)=max,f3(1)=max,f3(2)=max,=9.5,u3(1)=R,=8.8,u3(1)=R,*,*,4)当k=2 r2(x2)-p2(x2)+f3(x2+1)当u2=k r2(0)-p2(0)-c2(x2)+f3(1)当u2=R x2可取1 4.5-1+8.8 5-0.5-1.5+9.5,f2(x2)=max,f2(1)=max,=12.5,u2(1)=R,5)当k=1 r1(x1)-p1(x1)+f2(x1+1)当 u1=k r1(0)-p1(0)-c1(x1)+f2(1)当 u1=Rx1只能取1 5-0.5+12.5 5-0.
28、5-0.5+12.5递推算回去，当u1(0)=k时，x1=0 x1+1 当u1=k 知 x2=1,查 f2=(1),得u2(1)=R 1 当u1=R x2+1 当u2=k 知 x3=1,查 f3=(1),得u3(1)=R 1 当u2=R x4=1,u4(1)=R x5=1,u5(1)=k最优策略为K,R,R,R,K 总效益：f=17,f1(x1)=max,f1(0)=max,=17,u1(0)=k,*,x2=,X3=,*,*,*,*,四、货郎担问题货郎担问题一般提法：一个货郎从某城镇出发，经过若干个城镇一次，且仅一次，最后人回到原出发的城镇，问应如何选择行走路线可是总行程最短。这是运筹学的一个
29、著名问题，实际问题很多问题可以归结为这类问题。设v1,v2,vn是一致的n个城镇，vi到vj的距离dij。求从v1 出发，经各城镇一次且仅一次，再返回v1的最短路程。对n个城镇进行排列，有(n-1)！/2种方案，穷举法不现实。下面采用动态规划方法求解。,货郎担问题也是求最短路径问题，但与前面的最短路径问题有很大不同，建立动态规划模型时，虽然也可按城镇数目n将问题分为n个阶段，但状态变量不好选择，不容易满足无后效性。设状态S表示从v1到 vi中间所能经过的城市集合，S实际上是包含除v1与 vi两个点之外其余点的集合，但S中的点的个数要随阶段数改变。（点的个数为阶段数）第K阶段的状态变量（i,S）
30、表示从v1点出发，经过S集合中K个所有点一次，最后到达vi 点。最优指标函数fk(i,S)为从v1点出发，经由k个城镇的S集合到vi的最短距离。决策变量Pk(i,S)表示从v1经k个中间城镇的S集合到vi城镇的最短路线上邻接vi的前一个城镇。则递推关系为：fk(i,s)=minfk-1(j,si)+dij F0(i,=d1i 为空集(k=1,2,n-1;i=2,3 n),例：已知4个城市间距离如表。求从v1出发经其余城市一次且仅一次，最后返回v1的最短路径与距离。解:1）k=0,即中间无经过的城市，s=f0(2,)=d12=6,f0(3,)=d13=7,f0(4,)=d14=9 2)k=1,从
31、v1出发，经过一个城市，到vi的最短距离 f1(2,3)=f0(3,)+d32=7+8=15 f1(2,4)=f0(4,)+d42=9+5=14 f1(3,2)=f0(2,)+d23=6+9=15 f1(3,4)=f0(4,)+d43=9+5=15 f1(4,2)=f0(2,)+d24=6+7=13 f1(4,3)=f0(3,)+d34=7+8=15,1,3,2,4,3)k=2,计算从城市v1出发，中间经过2个城市，到vi的最短距离f2(2,3,4)=minf1(4,3)+d42,f1(3,4)+d32=min15+5,14+8=20 p2(2,3,4)=4 由1出发要经过3、4到2时,先经过
32、3再到4,最后到2f2(3,2,4)=minf1(2,4)+d23,f1(4,2)+d43=min14+9,13+5=18 p2(3,2,4)=4 由1出发要经过2、4到3时，先经过2再到4,最后到3f2(4,2,3)=min15+7,15+8=22 p2(4,2,3)=24)k=3,即从v1出发，中间经过3个城市，再回到v1的最短距离f3(1,2,3,4)=minf2(2,3,4)+d21,f2(3,2,4)+d31,f2(4,2,3)+d41=min20+8,18+5,22+6=23 p3(1,2,3,4)=3,1,3,4,2,1,最短距离：23,当n较大时，用此法解计算量太大，只适合于n
33、 较小的情况,五、某公司资金10万元,若投资于项目 i(i=1,2,3)的投资额为 xi 时,其收益分别为 g1(x1)=4x1,g2(x2)=9x22,g3(x3)=2x32,问应如何分配投资数额才能使总收益最大?,用逆序解法,六、某商店在未来四个月里,利用一个仓库经销某种商品，该仓库的最大容量为1000件，每月中旬订购商品，并于下月初取到订货。据估计：今后四个月这种商品的购价 pk 和售价qk 如表所示。假定商店在1月初开始经销时仓库已存有该种商品500件，每月市场需求不限，问应如何计划每月的订购与销售数量，使这四个月的总利润最大？(不考虑仓库的存储费用。),设状态变量 sk 表示第 k 个月的库存量；决策变量 xk 和 yk 分别表示第 k 个月的订货量和销售量；H=1000为仓库的最大库容，则状态转移图:第 k 个月的状态转移方程：sk+1=sk+xk yk第 k 个月的效益函数：dk(sk，xk，yk)=qk yk pk xk第 k 个月的最优指标函数：,显然，y4*=s4，x4*=0 为最优决策，这时 f4*(s4)=17s4,
