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1、基金使用计划,问题重述,某校基金会有一笔数额为M元的基金，打算将其存入银行或购买国库券。当前银行存款及各期国库券的利率见下表。假设国库券每年至少发行一次，发行时间不定。取款政策参考银行的现行政策。校基金会计划在n年内每年用部分本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额大致相同，且在n年末仍保留原基金数额。校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金额。请你帮助校基金会在如下的情况下设计出基金的最合理的使用方案，并且对于给出具体结果：1、只存款不购国库券；2、可存款也可购国库券。3、学校在基金到位后的第年要举行百年校庆，基金会希望这一年的奖金比其它年度多。,问题分析,拥有基金M=5000万元.基
2、金使用有分存款和购买国库券，其中国库券发放时间未知，但每年定发放每年发放的奖金额度基本相同计划年数n=10年要求10年后基金数M保留原额度求最佳基金使用方案,模型假设,1、5000万基金在年初一次到位，并开始规划第一年方向，奖金只在年末发放.2、每年的奖金数目相同.3、假设这10年内，银行存款以及国库券利息不变.4、假设利息到位后立即规划投资，中间没有间隔.,符号说明,xij 表示第i年进行j年期投资的数额Ri 表示i年期投资的利率Aij 表示第i年作j年期投资的基金的税后总利率加1（即x*A代表了本息和）Z 表示每年发放的奖金额度M 表示基金总数，即5000（万元）,1、只存款不购国库券,可
3、以知道，存入银行的钱，定期的利率高于活期，且定期越久利率越高，故要尽量把钱存入时间较长的定期中.因为假设年初得到钱，年末发放奖金，所以投资是以年为单位计算的，那么计算中就可以抛弃利率较低的活期存款与半年期存款.我们根据每一年基金的收支情况，列出线性方程组，并用lingo软件求其的最优解.,第一年（拿到5000万基金的时刻，i用下标0表示）M=x01+x02+x03+x05;第一年结束后，可用以使用的基金额度为x01*A01(即第一年1年期存款的钱)，除去奖金额度Z，故第二年的存款方程可表示为X01*A01-Z=x11+x12+x13+x15;同理可以列出第三年的方程X02*A02+x11*A1
4、1-Z=x21+x22+x23+x25;.以此推到第九年的方程为X45*A45+x63*A63+x72*A72+x81*A81-Z=x91;第十年的方程为X55*A55+x73*A73+x82*A82+x91*A91-Z=M,由题目得,将Aij与M的取值代入方程组中，得到x01+x02+x03+x05=5000;1.018*x01-x11-x12-x13-x15-z=0;1.03926*x02+1.018*x11-x21-x22-x23-x25-z=0;1.06621*x03+1.03926*x12+1.018*x21-x31-x32-x33-x35-z=0;1.06621*x13+1.039
5、26*x22+1.018*x31-x41-x42-x43-x45-z=0;1.12063*x05+1.06621*x23+1.03926*x32+1.018*x41-x51-x52-x53-x55-z=0;1.12063*x15+1.06621*x33+1.03926*x42+1.018*x51-x61-x62-x63-z=0;1.12063*x25+1.06621*x43*1.03926*x52+1.018*x61-x71-x72-x73-z=0;1.12063*x35+1.06621*x53+1.03926*x62+1.018*x71-x81-x82-z=0;1.12063*x45+1.0
6、6621*x63+1.03926*x72+1.018*x81-x91-z=0;1.12063*x55+1.06621*x73+1.03926*x82+1.018*x91-z=5000;,利用lingo软件求该线性方程组的最优解，得到每年的奖金额度Z=114.61万元.同时，lingo还给出了具体的投资方案，如下：,2、可存款也可购国库券,题目提到国库券发放时间不定，但每年必发放一次，且国库券的利率比存款大很多，应该网国库券方向投资，故，根据这些条件将本题分为3种情况.,情况一（普遍情况）,假设国库券在每年除了年初与年中外的任一时刻开始发放.例如在3月份发放.则我们可以先存3个月的活期，然后买国
7、库券，在国库券兑换的那年的3月份把钱再进行3个月的活期存款与半年期的定期存款，所有时间发行国库券都可以依据此方法，看成存存了半年活期，半年定期，和购买了一次国库券（不考虑国库券的利息）.故，可以依据此种思想，重新写出一张投资方向的表格.其中二年期的国库券看成一次以三年为一周期的存款（两年券，半年活期，半年半年期），同理三年期、五年期的国库券可以看成是分别以四年、六年为周期的投资.通过计算得出每一周期最佳的投资方向作出新的投资利率表.,按照问题一中的相同想法列出方程组如下：x01+x02+x03+x04+x05+x06=5000;1.018*x01-z=x11+x12+x13+x14+x15+x
8、16;1.03926*x02+1.018*x11-z=x21+x22+x23+x24+x25+x26;1.06461*x03+1.03926*x12+1.018*x21-z=x31+x32+x33+x34+x35+x36;1.10252*x04+1.06461*x13+1.03926*x22+1.018*x31-z=x41+x42+x43+x44+x45+x46;1.12063*x05+1.10252*x14+1.06461*x23+1.03926*x32+1.018*x41-z=x51+x52+x53+x54+x55;1.18145*x06+1.12063*x15+1.10252*x24+1
9、.06461*x33+1.03926*x42+1.018*x51-z=x61+x62+x63+x641.18145*x16+1.12063*x25+1.10252*x34+1.06461*x43+1.03926*x52+1.018*x61-z=x71+x72+x73;1.18145*x26+1.12063*x35+1.10252*x44+1.06461*x53+1.03926*x62+1.018*x71-z=x81+x82;1.18145*x36+1.12063*x45+1.10252*x54+1.06461*x63+1.03926*x72+1.018*x81-z=x91;1.18145*x4
10、6+1.12063*x55+1.10252*x64+1.06461*x73+1.03926*x82+1.018*x91-z=5000;,情况二,国库券的发放是在年中，此为情况一的一种特殊情况.此时可以不必进行半年的活期存款而是进行两次的半年期定期存款.作出新的投资利率表如下：,列出方程组如下：x01+x02+x03+x04+x05+x06=5000;1.018*x01-z=x11+x12+x13+x14+x15+x16;1.03926*x02+1.018*x11-z=x21+x22+x23+x24+x25+x26;1.06921*x03+1.03926*x12+1.018*x21-z=x31+
11、x32+x33+x34+x35+x36;1.10744*x04+1.06921*x13+1.03926*x22+1.018*x31-z=x41+x42+x43+x44+x45+x46;1.12063*x05+1.10744*x14+1.06921*x23+1.03926*x32+1.018*x41-z=x51+x52+x53+x54+x55;1.18668*x06+1.12063*x15+1.10744*x24+1.06921*x33+1.03926*x42+1.018*x51-z=x61+x62+x63+x641.18668*x16+1.12063*x25+1.10744*x34+1.069
12、21*x43+1.03926*x52+1.018*x61-z=x71+x72+x73;1.18668*x26+1.12063*x35+1.10744*x44+1.06921*x53+1.03926*x62+1.018*x71-z=x81+x82;1.18668*x36+1.12063*x45+1.10744*x54+1.06921*x63+1.03926*x72+1.018*x81-z=x91;1.18668*x46+1.12063*x55+1.10744*x64+1.06921*x73+1.03926*x82+1.018*x91-z=5000;,情况三,国库券在每年的年初发放.这也是情况一的
13、一种特殊情况，但是可以通过改变问题1的利率表，即问题1中2,3,5年期的存款投资改变为2,3,5年期的国库券投资.具体利率表如下：,列出方程组：x01+x02+x03+x05=5000;1.018*x01-x11-x12-x13-x15-z=0;1.05165*x02+1.018*x11-x21-x22-x23-x25-z=0;1.08923*x03+1.05165*x12+1.018*x21-x31-x32-x33-x35-z=0;1.08923*x13+1.05165*x22+1.018*x31-x41-x42-x43-x45-z=0;1.16717*x05+1.08923*x23+1.0
14、5165*x32+1.018*x41-x51-x52-x53-x55-z=0;1.16717*x15+1.08923*x33+1.05165*x42+1.018*x51-x61-x62-x63-z=0;1.16717*x25+1.08923*x43*1.05165*x52+1.018*x61-x71-x72-x73-z=0;1.16717*x35+1.08923*x53+1.05165*x62+1.018*x71-x81-x82-z=0;1.16717*x45+1.08923*x63+1.05165*x72+1.018*x81-x91-z=0;1.16717*x55+1.08923*x73+1.05165*x82+1.018*x91-z=5000;,3、学校在基金到位后的第年要举行百年校庆，基金会希望这一年的奖金比其它年度多。,问题三是说第三年的奖金要比别的时候多20%，然后其他都没有变，所以可以继续沿用问题二的模型，只是把问题二中第三年的奖金Z改为1.2*Z，问题三即解.,参考文献,1李少猛,赵玉庆,徐品,基金最佳使用计划J,工程数学学报,第19卷,2002,2,1131202基金使用计划Z,2014,8,28http:/,
