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1、独立性检验的基本思想教学设计 东莞六中 朱广智一、内容与内容解析独立性检验为新课标教材中新增加的内容.虽然本节是新增内容，理论比较复杂，教学时间也不长(1-2课时)，但由于它贴近实际生活，在整个高中数学中，地位不可小视.在近几年各省新课标高考试题中，本节内容屡屡出现，有客观题与主观题，主观题常与概率（概率、期望）和统计（抽样方法、直方图、茎叶图、条形图、数字特征、频率分布表）等整合起来，其重要性可见一斑.该内容是数学3(必修)中的统计知识的进一步应用，并与本册课本前面的回归分析一节同属统计中的实际应用，此外还涉及到第二章中讲到的“反证法”类似的思想.独立性检验的基本思想及其初步应用22列联表临
2、界值问题背景分析统计量允许犯错误的概率的上界分类变量在“犯错误概率不超过”前提下，两分类变量有/无关观测值等高条形图分类变量间的关系独立性检验本小节的知识内容如下图。 “独立性检验”是在考察两个分类变量之间是否具有相关性的背景下提出的，因此教材上首先提到了分类变量的概念，并给出了考察两个分类变量之间是否相关的一种简单的思路，即借助频率、等高条形图的方法，随后引出相对更精确的解决办法独立性检验。独立性检验的思想，建立在统计思想、假设检验思想(小概率事件在一次试验中几乎不可能发生)等基础之上，通常按照如下步骤对数据进行处理：明确问题确定犯错误概率的上界及的临界值收集数据整理数据制列联表计算统计量的
3、观测值比较观测值与临界值并给出结论.本节的重点内容是通过实例让学生体会独立性检验的基本思想，掌握独立性检验的一般步骤.二、目标与目标解析本节课的教学目标有：1.理解分类变量(也称属性变量或定性变量)的含义，体会两个分类变量之间可能具有相关性；2.通过对典型案例（吸烟和患肺癌有关吗?）的探究，了解独立性检验（只要求22列联表）的基本思想、方法、步骤。3.鼓励学生体验用多种方法(频率比较、等高条形图法与独立性检验法)解决同一问题，并对各种方法进行比较。4.让学生对统计方法有更深刻的认识，体会统计方法应用的广泛性，进一步体会科学的严谨性.体会数学源于生活，服务于生活。其中第2条是重点目标，也是课程标
4、准中明确指出的教学要求之一.独立性检验思想的理解也是难点。三、教学问题诊断分析 目前学生已具有一些统计知识，在大量重复的随机试验中，用频率代替概率学生并不陌生。用随机样本估计总体的方式也已适应。因此课本的前面部分问题不大。在本课前学生已多次接触到反证法，对反证法的步骤也很熟悉，这些都是上好本课有利的因素。在独立性检验中，教科书通过典型案例“吸烟是否与患肺癌有关系”的研究，介绍了独立性检验的基本思想、方法和初步应用。独立性检验的步骤是固定的，学生不难掌握，但独立性检验的思想对学生来说是一个难点，如何突破这一难点是本节课成功与否的关键。我采用四环节，两步走，四关键点突破。借助反证法，结合实例，用熟
5、悉的思想去渗透本课独立性检验的思想方法；实例讲解完后再次梳理实例中包涵的独立性检验的思想方法，并与反证法对比，体会异同；由特殊过渡到一般，归纳独立性检验思想方法的具体做法，建构检验思想方法。另外由频率、等高条形图直观判断能得到了结论，为什么还要用独立性检验来判断；如何推导，怎样理解“犯错误的概率不会超过0. 01”等等，这些在教学中都是应注意的地方。四、教学支持条件分析由于本节内容较散，理论部分较难，故需教师精心设计学案，提前发放给学生，以提高学生的预习效率，培养自学能力.根据本课特点教学采用“问题串”为主，“讲授式”为辅的教学模式。师生合作，共同探究，有利于理解独立性检验思想这一难点。制列联
6、表、画等高条形图可利用多媒体演示加强直观性，一些繁杂的步骤或重要的语句可利用投影仪加强实效性。五、教学过程设计5.1自主学习、基础导学：请同学们在导学提纲的引导下反复阅读教材，完成下面填空题 分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的_,像这样的变量称为分类变量. 列联表：列出的两个分类变量的 _,称为列联表. 一般我们只研究每个分类变量只取两个值，这样的列联表称为列联表.如下例中吸烟与患肺癌的列联表：不患肺癌患肺癌总计不吸烟7775427817吸烟2099492148总计9874919965.等高条形图等高条形图与表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否_,常用等高条形图展示列联表数据的_
7、.观察等高条形图发现_和_相差很大，就判断两个分类变量之间有关系。设计意图：简单的知识点可由学生自学完成，导学可培养学生认真阅读教材、定向获取知识的习惯问题1、 你能举例说明什么是分类变量吗? 与函数和回归分析中涉及到的变量有何不同?设问意图：学生从此开始见识数学中的变量不只有取实数的数值变量，还有可以不取实数的分类变量，且并非函数。分类变量的取值一定是离散的，而且不同的取值仅表示个体所属的类别，如性别变量，只取男、女两个值，商品的等级变量只取一级、二级、三级，等等. 分类变量的取值有时可用数字来表示，但这时的数字除了分类以外没有其他的含义. 如用“0”表示“男”，用“1”表示“女”。课前可让
8、学生根据教材举例、理解，课堂上教师可以不用重述教材的讲法了，这样，就可省下时间研究学生较难懂的问题。问题2 你能简要概括一下本节主要研究什么吗?设问意图:激发学生认真阅读教材，从整体上把握独立性检验，纠正被动学习方式，逐步培养学生阅读理解、概括总结的自学能力和习惯5.2 创设情境，合作探究背景：5月31日是世界无烟日。有关医学研究表明，许多疾病，例如：心脏病、癌症、脑血管病、肺病等都与吸烟有关，吸烟已成为继高血压之后的第二号全球杀手。这些疾病与吸烟有关的结论是怎样得出来的呢？它的可信度又是多少呢？问题探究：为研究吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965 人，得到的结果如下表(
9、2 2 列联表) :不患肺癌患肺癌总计不吸烟7775427817吸烟2099492148总计9874919965请问吸烟是否对患肺癌有影响?问题3、 上述问题中涉及到了哪两个分类变量?你能否从数学的角度理解“吸烟是否对患肺癌有影响”?设问意图: 读懂题意是解答问题的前提 学生初次遇到这样的问题，当然比较生疏，需要老师的引导，因此，先要让学生弄清其中的分类变量，并将问题“数学化”，分析列联表中的数据，学习教材的研究方法问题4、 请根据上述2 2 列联表，在不吸烟样本和吸烟样本中，分别计算患肺癌的频率，并画出等高条形图不吸烟样本中患肺癌的频率为：吸烟样本中患肺癌的频率为： 从计算中能看出：吸烟与不
10、吸烟，患病的可能性的大小是有明显差异。等高条形图以下通过图形直观反映相关数据的总体状况：常用等高条形图展示列联表数据的频率特征。患病比例不患病比例比较图中两个深色条的高可以发现，在吸烟样本中患肺癌的频率要高一些，因此直观上可以认为吸烟更容易引发肺癌。设问意图: 教材已经给出了不吸烟样本和吸烟样本中患肺癌的频率，但如果让学生亲自“动一动”、想一想，印象会更深刻，理解会更到位; 学生可能不太理解等高条形图，这么设问可激发学生阅读教材或查找资料，直至弄懂问题5、 借助上述频率或等高条形图判断吸烟与患肺癌有关各有什么优点或缺点?设问意图: 学生阅读教材后就应该知道怎样用这两种方法进行判断，此问意在引导
11、学生分析等高条形图的作用，培养学生“数形结合”的意识，并能在具体的应用中作出恰当的选择问题6、 怎样描述判断吸烟与患肺癌有关的可靠性?设问意图: 描述判断两个分类变量有关的可靠性是独立性检验的关键所在，由于随机样本都不能代替总体，因此，根据样本对总体所作的推断可能会出错，这样一来，就存在求判断出错的概率问题，但学生不可能探究其求法，只能引导学生阅读教材，理解其合理性 教师在讲解评析时，应特别注重“假设: 吸烟与患肺癌没有关系”是怎样转化为ad bc，说明它与统计量 的联系，判断 的观测值大小的标准是什么，这个标准又是怎么确定的，怎样理解“犯错误的概率不会超过0. 01 ”，等等5.3、领会思想
12、，知识建构问题7 根据你的阅读和理解，独立性检验的含义和原理( 或称独立性检验的基本思想) 分别是什么?它与反证法原理有何异同?设问意图: 在教材里“躺着”的知识和方法，只有当学生理解了，才能变成学生自己的、“鲜活”的数学。在已往的教学实践中，学生难以理解独立性检验的基本思想，要想让学生在短短的40 分钟内就理解透彻，是不可能的，因此，该问意在要求学生课前应反复阅读、“深入”理解，教师在课堂上要抓住这一难点，尽量用“浅出”的教授法让学生明白概念构建：利用随机变量来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验新旧知识对比：反证法原理在假设下，如果推出一个矛盾，
13、就证明了不成立独立性检验原理在假设下，如果推出一个与相矛盾的小概率事件，就证明了不成立5.4、归纳提高，知识小结问题8 你能从上述探究过程中总结出一种直观判断两个分类变量有关的方法或思路吗? 直观判断有什么不足?这种不足可用什么来弥补?设问意图: 意在让学生回过头来小结一下，根据样本数据对两个分类变量是否有关作出直观判断后，怎样利用统计量 计算这种判断犯错误的概率是否达到小概率事件的概率，让学生更加明白独立性检验的基本思想问题9 通过前面的学习和研究，你能总结用独立性检验判断两个分类变量有关的具体做法是怎样的吗?设问意图: 在前面的阅读理解中，学生可能理解了判断两个分类变量有关的基本思想，其中
14、的关键是如何确定判断的标准 教材在第13 页上已经给出了三个基本步骤，对学生而言是很生疏的，但只要学生理解独立性检验的基本思想，在解答具体问题时就会顺理成章 因此要求学生学习数学时，应理解其本质含义，不应停留于表象或教条学生归纳小结：独立性检验的具体做法是:( 1) 根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”的上界，然后查表确定临界值( 2) 利用公式，计算随机变量 的观测值k;( 3) 如果k ，就判断“X 与Y 有关系”，这样推断犯错误的概率不超过; 否则，就认为在犯错误的概率不超过 的前提下不能推断“X 与Y 有关系”，或者在样本数据中没有发现足够证明支持结论“X 与Y 有关系
15、”。六目标检测设计自我测评（限时5分钟）1可以直观地判断两个分类变量是否有关系的是（ ）A散点图 B等高条形图C独立性检验的思想 D以上都不对2.下表是一个22列联表：y1y2总计x1a2173x222527总计b46则表中a，b处的值分别为()A94, 96 B52, 50C52, 54D54, 523.下列说法正确是（）A 越小,说明X与Y关系越弱B 越大,说明X与Y关系越强C越大,说明X与Y之间的关系越强D越接近0,说明X与Y之间的关系越强4对于分类变量X与Y的随机变量的观测值k，下列说法正确的是()Ak越大，推断“X与Y有关系”，犯错误的概率越大Bk越小，推断“X与Y有关系”，犯错误的概率越大Ck越接近于0，推断“X与Y无关”，犯错误的概率越大Dk越大，推断“X与Y无关”，犯错误的概率越小5利用独立性检验来考虑两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅临界值表来确定“X与Y有关系”的可信度，如果k5.024，那么就推断“X和Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过()A0.25 B0.75 C0.025 D0.975设计意图：第1题是考查学生等高条形图的作用。第2题是考查学生列联表的结构和各值之间的数量关系。第3题是考查学生对两个分类变量无关，则很小的理解。第4题是考查学生对的观测值k的大小与可信度的关系。第5题是考查学生对可信度的表述与临界值表的使用。
