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1、文章编号 :1000 - 582x (1999) 0320117205132Bit 多速正六边形格子气自动机模型郑忠 , 高 小 强 , 石 万 元 , 徐 楚 韶(重庆大学 材料科学与工程学院 ,重庆 400044)摘要 : 建立了具完全对称性的多速正六边形格子气自动机模型 ,通过对典型绕流问题的计算模拟 ,证明了模型的正确性和有效性 。关键词 : 流体流动 ; 数值模拟 ; 柱体 / 格子气自动机中图分类号 : O 242 ; O 357 . 1 ; O368文献标识码 :A近年以流体分子运动论为背景发展起来的格子气自动机 (Lattice gas automation ,缩写为L GA)
2、 方法 ,与传统基于流体连续介质描述的计算流体力学数值离散化方法截然不同 。它是 建立在一种简单的微观世界之上 ,不仅其存在的空间和时间是离散的 ,更重要的是流体也离 散成大量只有单位质量而无体积的微观粒子 ,粒子运动遵守力学守恒定律 ,同时服从统计规 律 。其宏观平均行为符合宏观的微分方程 。因此格子气自动机模型的实现和运行机制实现 了用简单的微观局域作用规则及完全并行的 Boole 运算规则来表现宏观流动的复杂行为及 其时间演化 。它不仅符合并体现了真实世界的计算原则 ,而且既能描述流体的宏观流动特 征 ,又能得出流动的微观细节 。这种“自下而上”的建模方法尤其适用于对传统方法难于处 理的
3、复杂几何边界流动问题的描述 。自 1972 年第一个基于正方形网格划分的 HPP1 模型提出以来 ,格子气自动机模型已有了很大的发展 ,最著名的是基于正三角形网格划分的 FHP 模型2 。以后又出现了多速格子 气模型 ,但已有的多速模型主要是通过将二维空间网格划分成正方形3 或矩形4 ,以使流体 粒子在同一时间步长内沿不同运动方向 (如对角线与直角边) 运动的距离不同来实现多速 , 并且正方形网格只对一些简单情形有效 ,且模型运行的关键 碰撞规则复杂 ;而矩形网格 可分解成两个斜六边形网格 ,再借助映射将其转化为正六边形网格 ,从而采用 FHP 模型的 有关规则 ,但这种处理方法在一定程度上增
4、加了空间计算的复杂性和计算量 。因此笔者建 立了一种新的多速模型 ,基于不同能量流体粒子在空间的运动状况不同 、运动距离不等的特 点 ,通过引入不同能量的高低能流体粒子在同一时间步长运动的空间等步长的步数不同 ,并设计相应的碰撞规则 ,来实现模型的多速 。具体模型建立如下 。1 网格划分与碰撞规则设计 收稿日期 :1998207206基金项目 :国家自然科学基金资助项目 (59604008)作者简介 :郑忠 (1963 - ) ,女 ,浙江人 ,重庆大学副教授 ,硕士 ,从事复杂过程模拟 、热能工程及系统工1. 1流动区域的网格划分多速正六边形格子气模型 ,采用与 FHP 模型 一致的三角形网
5、格 ,如图 1 所示 ,图中网格线的交 点为节点 ,每个节点位置的粒子可以沿六条网格 线向六个完全对称的方向运动 ,但分布在网格节 点上的流体粒子 沿 网 格 线 运 动 的 速 度 可 以 不 同 (如静止不动或在单位时步运动一格 、两格) ,即有静止粒子 、1 速粒子和 2 速粒子 ,某时刻一个节点图 1 13 Bit 模型的网格划分有多个粒子时 ,按预先设计的碰撞规则发生碰撞 ,流体粒子不断地移动 、碰撞 ,并随时间演化 ,构成了格子气模型的运行 。流体粒子无论是移动还是碰撞 ,在整个模拟空间中均是同步 进行 ,即符合并行计算原则 。流场是由流动空间节点上微观流体粒子 (通常设所有粒子均
6、为单位质量) 状态在运行过 程中所表现出来的宏观统计规律 ,网格节点的状态可按粒子运动方向采用二进制数的方式来 表示 。假设用 s ( x , t) 表示节点 x 在时刻 t 的状态 ,即 : = 0 ,1 ,2 , , bs ( x , t )= n ( x , t ) ;(1)其中 , n ( x , t) 为 Boole 变量 ,表示 t 时刻 x 节点以速度 e 运动的粒子数是否占有的情况 ,对应于 n = 1 或 0 , e = c co s (2/ 6) ,sin (2/ 6) ( = 1 , ,6 ; c = 0 ,1 ,2 表示三种不同速 度大小的粒子) . b 为节点具有的可
7、以存在粒子的方向数 (如图 2 所示) 。图中 0 代表静止粒子 所处位置 ,1 6 代表 1 速粒子的运动方向 ,7 12 代表 2 速粒子的运动方向 ,可以将图中节 点 0 12 个粒子可能运动方向按低位到高位的编码规则表示成 s ( x , t ) = 0000010101000 的13 位布尔数 。正是这种按位存贮节点信息的方式 , 因此又把多速正六边形格子气自动机模型简称为 132Bit 格子气自动机模型 。图 2 多速正六边形格子气模型的节点状态编码及数字表示1. 2碰撞规则设计运动到同一个节点的粒子将会发生碰撞 ,碰撞之后 ,粒子的运动方向和状态都有可能改 变 ,其改变方式由碰撞
8、规则所确定 ,碰撞规则决定节点粒子碰撞后的运动状态 。碰撞规则的 设计必须遵循守恒定律 ,即碰撞过程必须保证节点粒子质量 、动量以及总能量守恒 。另外 ,格 子气模型的运行还应服从 Pauli 不相容原理 。典型的碰撞规则如下 :1) 二体碰撞 (图 2) ; 2) 同类粒子三体碰撞 (图 3) ; 3) 不同类粒子的三体碰撞 (图 4) 1第 22 卷第 3 期郑 忠 等 : 132Bit 多速正六边形格子气自动机模型119( a)( b)1 速或 2 速粒子与静止粒子的碰撞规则两个同类粒子的对心碰撞规则图 3 二体碰撞规则图 4 三个同类粒子的“梅花型”碰撞规则图 5 一个 2 速粒子与两
9、个 1 速粒子的碰撞规则它们从上游边界流进来 ,设上游边界和下游边界在 t 时刻分布的粒子数分别用 n上 ( t ) 和 n下( t) 表示 ,则该方法的数学表达式为 :n上 ( t + 1) = n下 ( t)(2)模型的宏观平均行为与宏观物理量的统计粒子数分布 n ( x , t) 的系综平均就称为分布函数 f ( x , t ) ,由粒子数分布2n 的系综平均 ,再根据 n 弱关联的 Boltzmann 假设 ,可以得到以 f 表示的 Boltzmann 方程 ,并且格子气系统要满足 Fermi2Dirac 平衡分布 ,而基于粒子间碰撞的守恒定律可以导出流体力学矩方程 ,运 用 Chap
10、man2Enskog 展开和多尺度技术可以导出格子气模型的宏观流体力学方程4 ,经尺度 变换可得到流体流动的 Navier2Stokes 方程 。这种为收敛到 N2S 方程的理论分析方法以及模型网格划分数量的限制 ,将导致格子气自动机模型仅适用于低 Re 数和低 Mach 数的流动情况 。 2 粒子密度 、速度以及比内能等宏观物理量可由单粒子密度分布函数 f ( x , t) 来定义。x 处 t 时刻具有动能 e 的粒子数 n ( x , t) , 因此用在实际模拟中 ,所能知道的只是某节点 4 n ( x , t ) 来代替 f ( x , t ),于是 :流体密度 :( x , t ) =
11、n ( x , t )(3)宏观速度 u :u ( x , t)en ( x , t)(4)= 1比内能 :( x , t )=n ( x , t ) 2 ( e -u) ( e -u)(5)雷诺数 Re 及有关参数按格子气流体计算方法进行 ,运动粘度 或( = ) 可 用 Bolt2zmann 近似分析法得到6 ,具体可借鉴 FHP 模型的相应公式4 ,并考虑 132BitL GA 模型有 012 个粒子运动方向的实际条件进行计算或由数值实验确定5 。对一定时间步长和空间 步长的相应物理量进行统计平均 ,可获得具统计意义的宏观格子气模拟结果 。132Bit L GA 模型对二维柱体绕流的模拟
12、为考察所建立的 132Bit L GA 模型的正确性和对流体流动模拟的有效性 ,下面以几种典 型的二维柱体绕流问题的模拟为例 ,通过与著名 FHP 格子气模型的模拟结果 ,以及与有关33. 1与 FHP 模型模拟结果的比较已有的研究证明了 FHP 模型不仅能够正确模拟许多种类的流体流动 ,而且其理论推导 结果也与 N2S 方程相符合 。而我们将 FHP 模型推广得到的 132BitL GA 模型 ,它们的原理相同 ,遵循同样的守恒定律 ,二者的根本区别是后者可以有速度为 2 的粒子 ,而前者却没有 。既然如此 ,问题就归结为 2 速粒子的引入是否正确 。因此 ,我们可以采用如下方法 : 暂时不
13、考虑温度的影响 ,只对流场情况进行数值实验并加以分析 ,即如果去掉 2 速粒子 ( 只有 1 速 粒子和静止粒子 ,即为 FHP 模型) 所模拟的结果正确 ,且与含有 2 速粒子情况下所模拟流场 一致 ,那么 ,我们就认为所建立的 132BitL GA 模型正确 。大量的数值对比实验证明了这一 点 。典型的结果如图 6 、图 7 所示 。图 2 货币识别软件流程图 6 FHP 模型模拟结果128 64 格子 , 迭代 400 时步 , 统计时步 50 ,统计 空间 4 4 ,粒子密度 ( = 1. 2 粒子格点 ,速度放大 倍数 1. 0 ,上下板为绝热边界 , 仅 1 速和静止粒子 ,u =
14、 0. 372 单位格子长度时步 ,Re = 39. 4图 7 132BitL GA 模型模拟结果128 64 格子 , 迭代 400 时步 , 统计时步 50 ,统计 空间 4 4 ,粒子密度 ( = 1. 2 粒子格点 ,速度放大 倍数 1. 0 ,上下板绝热边界 ,有静止 、1 速和 2 速粒子 ,u = 0. 41 单位格子长度时步 , Re = 43. 63. 2与传统数值方法模拟结果的比较尽管人们对 FHP 格子气自动机模型进行了大量深入的研究 ,但仍处于探索阶段 。而传统的计算流体力学已经发展成为一门较为成熟的学科 ,流体力学数值模拟传统的有限差分 、有限元 、边界元等方法也较为
15、完善 ,特别是有限差分法 ,它们都已经成功 、有效地应用于工程实际 ,解决了大量的流动问题 。图 8 132BitL GA 模型模拟的方柱绕流128 64 格子 ,粒子密度 = 1. 0 粒子格点 ,上下 板绝热边界 ,迭代 400 时步 ,统计时步 50 , u = 0.55 ,单位格子长度时步 , Re = 57. 4图 9 132BitL GA 模型模拟三园柱绕流128 64 格子 ,迭代 400 时步 ,统计时步 50 。粒子 密度 = 1. 5 粒子格点 , 上下板为绝热边界 。 u= 0. 30 单位格子长度时步 , Re = 25. 8第 22 卷第 3 期郑 忠 等 : 132
16、Bit 多速正六边形格子气自动机模型1217 中仿真迭代法) 以及图 8 的三圆柱绕流 (对应于文献 8 中边界元法多体绕流) 的 132BitL2GA 模型模拟计算流场 。由以上模拟结果图例可以看出 : 在条件基本相同的情况下 ,多速模型与 FHP 模型模拟 所得流场分布规律一致 ;与传统数值模拟结果相比 ,132Bit 格子气自动机模型能够正确模拟 各种流体流动 ,而且方法更简便易行 ,模型通用性较强 。模拟可以统计出速度 、雷诺数 Re 等宏观参数 。各种初始条件 、边界条件的调整容易 。模拟所获得的信息详细 、直观 。4结论建立的具完全对称性的 132Bit 多速正六边形格子气自动机模
17、型 ,其方法简便易行 ,通用性较强 ,可有效模拟典型绕流等复杂边界流动问题 。模拟结果不仅可描述流体的宏观流动 特征 ,同时又能得出流动的微观细节 。参考文献HARDYJ ,POMEAU Y. Thermodynamics and hydrodynamics for a model fluidJ . J . Math. Phys. ,1972 ,13 ,10421051FRISCH U , HASSLACHER B , POMEAU Y. Lattice2gas automata for the Navier2Stokes equation J . Phys. Rev. Lett . ,198
18、6 ,56 ,15051508CHEN S ,L EE M ,ZAO K H et al . A Lattice gas model with temperature J . Physica D , 1989 ,37 ,42 59李元香 ,康立山 ,陈毓屏 . 格子气自动机 M . 北京 :清华大学出版社 ,1994. 5265 ,169ROTHMAN D H. Cellular2automaton fluids :A model for flow in porous media J , Geophysics ,1988 , 53 (4) :509518FRISCH U ,dHUMIERES
19、D , HASSLACHER B et al . Lattice Hydrodynamics in Two and Three Dimensions J . Complex Systems , 1987 , 1 :649707MCHUGN P R ,RAMSHAW J D. Damped artifical compressibility iteration scheme for implicit calculations of un2steady impressible flow , International journal for numerical methods in fluidsJ
20、 ,1995 ,21 :141 153杨德全 ,韩庆书 . 二维粘性流动的边界元方法 . 水动力学研究与进展 J . A 辑 ,1995 (1) ,202712345678The 132 Bit Lattice Gas Automata Model withPolyvelocity and Regular Hexagonal GridGAO Xiao2qiangS HI Wan2yuanXU Chu2shaoZHEN G Zhong( College of Material Science and Engineering ,Chongqing University ,Chongqing 400
21、044 ,China)ABSTRACT : The 132 bit lattice gas automata model with polyvelocity and regular hexagonal gridhas been introduced. By simulating typical flow pass cylinder , the correctness and validity of the model have been verified.KEYWO RDS :fluid motion ; numerical modelling ; cylindrical bodies lattice gas automata(责任编辑 吕赛英)
