二次函数应用题有答案.doc

《二次函数应用题有答案.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二次函数应用题有答案.doc（12页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、二次函数应用题 一、引言 数学源于实际，数学的发展主要依赖于生产实践。从数学应用的角度来处理数学、阐释数学、呈现数学，可以提高理论知识的可利用水平，增强理论知识可辨别性程度。数学概念多是由实际问题抽象而来的，大多数都有实际背景。尽管应用的广泛性是数学的一大特征，但常常被数学教材的严谨性和抽象性所掩盖，导致学生应用数学的意识薄弱，应用能力不强。数学的“语言”供世界各民族所共有，是迄今为止惟一的世界通用的语言，是一种科学的语言。科学数学化，社会数学化的过程，乃是数学语言的运用过程；科学成果也是用数学语言表述的，正如伽利略所说“自然界的伟大的书是用数学语言写成的”。从而端正并加深对数学的认识，激发我

2、们应用数学的自觉性、主动性。 二、例题 例1、一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈。已知篮圈中心到地面的距离为3.05米。(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式；(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ 简解：(1)由于抛物线的顶点是 (0，3.5)，故可设其解析式为y=ax2+3.5。又由于抛物线过(1.5，3.05)，于是求得a=-0.2。抛物线的解析式为y=-0.2x2+3.5。(2)当x=-2.5时，y=2.25。球出

3、手时，他距地面高度是2.25-1.8-0.25=0.20(米)。 评析：运用投球时球的运动轨迹、弹道轨迹、跳水时人体的运动轨迹，抛物线形桥孔等设计的二次函数应用问题屡见不鲜。解这类问题一般分为以下四个步骤：(1)建立适当的直角坐标系(若题目中给出，不用重建)；(2)根据给定的条件，找出抛物线上已知的点，并写出坐标；(3)利用已知点的坐标，求出抛物线的解析式。当已知三个点的坐标时，可用一般式y=ax2+bx+c求其解析式；当已知顶点坐标为(k，h)和另外一点的坐标时，可用顶点式y=a(x-k)2+h求其解析式；当已知抛物线与x轴的两个交点坐标分别为(x1，0)、(x2，0)时，可用双根式y=a(

4、x-x1)(x-x2)求其解析式；(4)利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，从而使问题获解。 例2、某商场购进一批单价为16元的日用品，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y(件)是价格x(元/件)的一次函数 (1)试求y与x之间的关系式； (2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？ 解：(1)依题意设y=kx+b，则有 所以y=-30x+960(16x32) (2)每月获得利润P=(-30x+960)(x-16) =30(-x+32

5、)(x-16) =30(+48x-512) =-30+1920 所以当x=24时，P有最大值，最大值为1920 答：当价格为24元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为1920元 注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值 例3、在体育测试时，初三的一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如图所示，如果这个男同学的出手处A点的坐标(0，2)，铅球路线的最高处B点的坐标为(6，5) (1)求这个二次函数的解析式； (2)该男同学把铅球推出去多远？(精确到

6、0.01米， ) 解：(1) 设二次函数的解析式为 ，顶点坐标为 (6，5) A(0，2)在抛物线上 (2) 当时， (不合题意，舍去) （米） 答：该同学把铅球抛出13.75米. 例4、某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知：这种服装每天的销售量（件），与每件的销售价 （元/件）可看成是一次函数关系： 1.写出商场卖这种服装每天的销售利润 与每件的销售价之间的函数关系式（每天的销售利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差）； 2.通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适；最大销售利润为多少？ 分析：商场的利润是由每件商品的利润

7、乘每天的销售的数量所决定。 在这个问题中，每件服装的利润为（），而销售的件数是（+204），那么就能得到一个与之间的函数关系，这个函数是二次函数. 要求销售的最大利润，就是要求这个二次函数的最大值. 解：（1）由题意，销售利润与每件的销售价之间的函数关系为 =（42）（3204），即=32+8568 （2）配方，得 =3（55）2+507 当每件的销售价为55元时，可取得最大利润，每天最大销售利润为507元. 例5、某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）.在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员

8、在空中的最高处距水面米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误. （1）求这条抛物线的解析式； （2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为米，问此次跳水会不会失误？ 并通过计算说明理由 分析：（1）在给出的直角坐标系中，要确定抛物线的解析式，就要确定抛物线上三个点的坐标，如起跳点O（0，0），入水点（2，10），最高点的纵点标为. （2）求出抛物线的解析式后，要判断此次跳水会不会失误，就是要看当该运动员在距池边水平距离为米.时，该运动员是不是距水

9、面高度为5米. 解：（1）在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为B，抛物线的解析式为 . 由题意，知O（0，0），B（2，10），且顶点A的纵坐标为. 解得或 抛物线对称轴在轴右侧， 又抛物线开口向下，a0,b0 抛物线的解析式为 （2）当运动员在空中距池边的水平距离为米时， 即 时， 此时运动员距水面的高为 因此，此次跳水会失误. 例6、某服装经销商甲，库存有进价每套400元的A品牌服装1200套，正常销售时每套600元，每月可卖出100套，一年内刚好卖完，现在市场上流行B品牌服装，此品牌服装进价每套200元，售出价每套500元，每月可买出120套（两套服装的市场行情互不影响）。目前有

10、一可进B品牌的机会，若这一机会错过，估计一年内进不到这种服装，可是，经销商手头无流动资金可用，只有低价转让A品牌服装，经与经销商乙协商，达成协议，转让价格（元/套）与转让数量（套）有如下关系： 转让数量（套） 120011001000900800700600500400300200100 价格（元/套） 240250 260 270 280290 300310 320330 340350 方案1：不转让A品牌服装，也不经销B品牌服装； 方案2：全部转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装后，经销B品牌服装； 方案3：部份转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装后，经销B品牌服装，同时经销A

11、品牌服装。 问：经销商甲选择方案1与方案2一年内分别获得利润各多少元？ 经销商甲选择哪种方案可以使自己一年内获得最大利润？若选用方案3，请问他转让给经销商乙的A品牌服装的数量是多少（精确到百套）？此时他在一年内共得利润多少元？ 解：经销商甲的进货成本是=480000（元） 若选方案1，则获利1200600-480000=240000（元） 若选方案2，得转让款1200240=288000元，可进购B品牌服装套，一年内刚好卖空可获利1440500-480000=240000（元）。 设转让A品牌服装x套，则转让价格是每套元，可进购B品牌服装套，全部售出B品牌服装后得款元，此时还剩A品牌服装（12

12、00-x）套，全部售出A品牌服装后得款600（1200-x）元，共获利，故当x=600套时，可的最大利润330000元。 在上一问题中，我们结合身边的生活发现案例，建立数学模型，运用二次函数求最值的思想解之。得到了理论上的最优解。这正说明了数学正广泛地运用于经济生活。 三、练习题： 1、某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量（件）与每件的销售价（元）满足一次函数： （1）写出商场卖这种商品每天的销售利润与每件的销售价间的函数数关系式. （2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？ 2、如图，一边靠学校院墙，其它三边用

13、40米长的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形的边米，面积为平方米. （1）求：与之间的函数关系式，并求当米2时，的值； （2）设矩形的边米，如果满足关系式 即矩形成黄金矩形，求此黄金矩形的长和宽. 练习1答案： 当定价为42元时，最大销售利润为432元. 练习2答案：（1） 当 时， （2）当 则 又 由、解得 ， 其中20不合题意，舍去， 当矩形成黄金矩形时，宽为，长为. 3、某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，抛物线形状如图所示，如图建立直角坐标系

14、，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是. 请回答下列问题： 1.柱子OA的高度为多少米？ 2.喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？ 3.若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能喷出的水流不至于落在池外？ 练习3答案： （1）OA高度为米. （2）当时，即水流距水平面的最大高为米. （3） 其中不合题意， 答：水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不至于落在池外. 二次函数复习题（一）详细解答1已知二次函数有最小值 1，则a与b之间的大小关系是 （ ）Aab Ba=b Cab D不能确定解：二次函数有最小值，说明a0，且在x=1时取得最小值1，即b= 1，所以a0 1=b，所以选C。

15、2求下列函数的最大值或最小值（1）； （2）解：（1），所以当x= 1时，取得最大值1（2），所以当x=时，取得最小值。3已知二次函数的最小值为1，求m的值 解：，当x=3时取得最小值m9=1，所以m=10。4. 如图，在RtABC中，C=90，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上，分别作DEAC，DFBC，垂足分别为E、F，得四边形DECF，设DE=x，DF=y（1）用含y的代数式表示AE；（2）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；（3）设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数关系，并求出S的最大值解：（1）AE+EC=AC，而EC=DF=y，所以AE=ACy=8y（2） 其

16、中（3）四边形DECF的面积为DE与DF的乘积，所以S=xy=x（82x）即 ，所以S的最大值为8。5心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系：y值越大，表示接受能力越强（1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？（2）第10分时，学生的接受能力是多少？（3）第几分时，学生的接受能力最强？解：（1）配方得 ，所以对称轴为x=13，而开口又向下，所以在对称轴左边是递增的，对称轴右边是递减的。所以x在0，13时学生的接受能力逐步增强，在13，30时学生的接受能力逐步降低。（2）代入x=10得=59（3）在二次函

17、数顶点处学生的接受能力最强，即在第13分时接受能力最强。6如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃设花圃的宽AB为x m，面积为S m2（1）求S与x的函数关系式；（2）如果要围成面积为45 m2的花圃，AB的长是多少米？（3）能围成面积比45 m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由解：（1）由题意，3x+BC=24，所以 ，而面积S=BCAB=即（2）即S=45，代入得，解得x=5，即AB=5米（3） BC的最大长度为10m，即，x，8对称轴为x=4且开口向下 在，8上函数递减当x=时取得最大值=

18、，所以能围出比45 m2更大的花圃。当AB= 米的时候即取得最大值 m2 7如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，线段EF在对角线AC上，EGAD，FHBC，垂足分别是G、H，且EG+FH=EF（1）求线段EF的长；（2）设EG=x，AGE与CFH的面积和为S，写出S关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出S的最小值解：（1）因为AB=3，BC=4，根据勾股定理得到AC=5，又在AGE和ADC中，即，即。同理，即，即。而EG+FH=EF，即，又AE+FC+EF=AC=5，所以AE+FC=5-EF，所以，解得（2）EG=x，则由得。 AGE的面积=AGGE= 。ADC的面积=FHHC=

19、，所以S=+= 其中。配方得，当x=时取得最小值8在排球赛中，一队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面19米，当球飞行距离为9米时达最大高度55米，已知球场长18米，问这样发球是否会直接把球打出边线？解：如右图所示，A点为发球点，B点为最高点。球运行的轨迹是抛物线，因为其顶点为（9，55）所以设，再由发球点坐标（0，19）代入得，所以解析式为代入C点的纵坐标0，得y20.1218，所以球出边线了。9. 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t

20、个月的利润总和s与t之间的关系）根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？解：（1）设二次函数为代入三点坐标（0，0），（1，-1.5），（2，-2），解得, , ，所以二次函数为（2）代入s=30得，解得t=10所以截止到10月末公司累积利润可达到30万元（3）第8个月所获利润即是前八月利润减去前七月利润即=，所以第8个月公司获利万元。10如图，一位运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，

21、达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05m（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的函数关系式；（2）该运动员身高1.8m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？解：（1）篮球的运行轨迹是抛物线，建立如图所示的坐标系因为顶点是（0，3.5），所以设二次函数的解析式为，又篮圈所在位置为（4-2.5，3.05），代入解析式得，得所以函数解析式为（2）设球的起始位置为（-2.5，y），则=2.25即球在离地面2.25米高的位置，所以运动员跳离地面的高度为2.25-1.8-0.25=0.2即球出手时，运动员跳离地面的高度为0

22、.2米。附加题. 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500kg；销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：(1)当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；(2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式；(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？解：(1) 按每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg。现在单价定为每千克55元，即涨了5元，所以月销售量减少50kg，所以月销售量为500-50=450kg，月销售利润为（55-40）450=6750 元。(2) 设销售单价为每千克x元，则上涨了x-50元，月销售量减少（x-50）10kg，即月销售量为500-10（x-50），所以利润为y=500-10（x-50） （x-40），即(3)月销售利润达到8000元，即，解得x=60或x=80当x=60时，销售量为500-10（60-50）=400，当x=80时，销售量为500-10（80-50）=200而月销售量不超过10000元，即销售量不超过，而400250，所以x=60应舍去，所以销售单价应定于80元。