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1、第三单元 “长方体和正方体”知识整理及训练一、长方体和正方体的认识【知识点1】 要素立体图形棱面顶点数量特征数量特征数量特征长方体12互相平行的棱长度相等6相对的面完全相同8同一个顶点引出的三条棱分别叫做长、宽、高特殊长方体12垂直于正方形面的棱长度相等6两个面是正方形，其余四个面是完全相同的长方形8正方体12所有的棱长度都相等6所有面都是正方形且完全相同8一个长方体至少可以有两个面是正方形，最多可以有6各面是正方形，但不会存在3个、4个、5个面是正方形！练习：（1）判断： 长方体的六个面一定是长方形； ( ) 正方体的六个面面积一定相等； ( ) 一个长方体(非正方体) 最多有四个面面积相等
2、； ( ) 相交于一个顶点的三条棱相等的长方体一定是正方体。 ( ) 一个长方体中，可能有4个面是正方形。 （ ） 正方体是特殊的长方体。 （ ） 长方体的三条棱分别叫做长、宽、高。 ( ) 有两个面是正方形的长方体一定是正方体。 ( ) 有三个面是正方形的长方体一定是正方体。 （ ） 正方体的相邻三条棱的交点叫做顶点。 （ ） 有两个相对的面是正方形的长方体，另外四个面的面积是相等的。 （ ） 长方体和正方体最多可以看到3个面。 （ ） 长方体的12条棱中，长、宽、高各有4条。 （ ） 正方体不仅相对的面的面积相等，而且所有相邻的面的面积也都相等。（ ） 长方体（不包括正方体）除了相对的面相
3、等，也可能有两个相邻的面相等。（ ） 一个长方体中最少有4条棱长度相等，最多有8条棱长度相等。（ ）（2） 一个长方体最多有（ ）个面是正方形，最多有（ ）条棱长度相等。（3） 一个长方体的底面是一个正方形，则它的4个侧面是（ ）形。（4） 正方体不仅相对的面相等，而且所有相邻的面（ ），它的六个面都是相等的（ ）形。（5） 把长方体放在桌面上，最多可以看到（ ）个面。最少可以看到（ ）个面。【知识点2】棱长和公式：长方体棱长和=（长+宽+高）4 长+宽+高=棱长和4 正方体棱长和=棱长12 棱长=棱长和12练习：（1）分别说出下面长方体长、宽、高各是多少？ （2）看图2-6，并填空单位：厘米
4、这个长方体长( )厘米，宽( )厘米，高( )厘米。由一个顶点引出的三条棱的长度和是( )厘米。棱长总和是( )厘米。上下两个面是( )形。（3）看图2-7并填空单位：厘米这是一个( )体，棱长是( )厘米，棱长之和是( )厘米，每个面的面积是( )平方厘米。（4） 有一个长方体的鱼缸，长50厘米，宽30厘米，高30厘米，需要在用铝合金包裹玻璃连接处，需要（ ）米的铝合金。（5） 一个长方体的棱长总和是 80厘米，其中长是 10厘米，宽是 7厘米，高是（ ）厘米。（6） 把两个棱长 1厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是（ ）厘米。（7） 至少需要（ ）厘米长的铁丝，才能做一个底
5、面周长是18厘米，高3厘米的长方体框架。（8）一个长方体长 12厘米宽 8厘米高 7厘米，把它切成一个尽可能大的正方体，这个正方体的棱长是（ ）。30m6m50m（9）一个长方体的礼堂如图，过节时需要在四周装上成串的彩灯，每串彩灯长2m，一共需要多少串彩灯？（10） 一个长方体棱长和164cm，已知长方体的底面周长为72cm，长方体的高是多少cm？（11） 一个长方体棱长和164cm，已知长方体的左面周长为40cm，长方体的长是多少cm？【知识点3】确定长方体中每个面的形状以及长、宽、高分别是多少。长方体一共有（ ）个面，（ ）面完全相同，如：前面和（ ）完全相同，（ ）和（ ）完全相同，（
6、）和（ ）完全相同。根据习惯我们一般认为在一个平面中水平方向的为长，垂直方向的为高。根据这一习惯我们我们只需找到需要的面并根据习惯确定长和宽即可。例如：如图下列长方体的后面是（ ）形状，长是（ ）宽是（ ）；它的右面是（ ）形状，长是（ ）宽是（ ）；下面是（ ）形状，长是（ ）宽是（ ）。上面下面左面后面右面前面练习：（1） 长方体展开后每个面都是什么形状？展开后哪俩个面是相对的面？面积相等吗？（2） 一个长方体的长是25厘米，宽是20厘米，高是18厘米，最大的面的长是（ ）厘米，宽是（ ）厘米，它的面积是（ ）平方厘米；最小的面长是（ ）厘米，宽是（ ）厘米，它的面积是（ ）平方厘米。（3
7、）一个长方体的长、宽、高分别是8、6、4米，它的前后的面的面积是（ ），左右的面的面积是（ ），上下的面的面积是（ ）。【知识点4】折叠可以组合成正方体（可以的请做适当的标记）:【知识点5】长方体或正方体的切割组合对棱长的影响例如：将五个完全相同的正方体组合成一个长方体后，棱长和为140厘米，原来每个正方体的棱长和是多少？分析：五个正方体棱长共有125=60条； 将五个完全相同正方体组合后棱长比原来减少32条，还剩60-32=28条； 即这28条棱的长度和即为新长方体的棱长和，所以正方体一条棱的长度为：14028=5cm； 所以一个正方体的棱长和为：512=60cm。【知识点6】小正方体拼大正
8、方体的规律 要用小的正方体拼出大的正方体所需要的小正方体的个数应该是一个数的立方。这就要求我们能够熟记一些数的立方：23=8 33=27 43=64 53=125 63=216 73=343 83=512 93=729 103=1000 练习：（1）用棱长为1厘米的小正方体拼一个棱长为6厘米的大正方体需要（ ）个小正方体。（2）用棱长为3厘米的小正方体拼棱长为9厘米的大正方体需要（ ）个小正方体。 A、8个 B、27个 C、26个 D、64个（2） 用棱长为2厘米的小正方体拼一个稍大一些的正方体至少需要（ ）个小正方体。 A、4个 B、8个 C、16个 D、27个（3） 下列有一些数量的棱长为
9、1厘米的小正方体，哪些数量可以拼成较大的正方体。（ ） A、27个 B、4个 C、1个 D、8个 E、32个 F、125个 （8）两个棱长1厘米的正方体木块，拼成一个长方体，这具长方体表面积是（ ）平方厘米。二、 长方体和正方体的表面积【知识点1】 长方体表面积=（长宽+长高+宽高）2 =（ab+ac+bc）2 =（前面面积+上面面积+右面面积）2正方体表面积=棱长棱长6=aa6=6a2 =任意一个面的面积6前面面积=后面面积；左面面积=右面面积；上面面积=下面面积 两个棱长和相等的长方体或一个长方体和一个正方体，表面积不一定相等！表面积相等的两个长方体或一个长方体和一个正方体，棱长和也不一定
10、相等！ 练习：（1） 一个正方体的棱长总和是48分米，它的棱长是（ ），表面积是（ ）。（2） 一个长方体长6厘米，宽4厘米，高3厘米。这个长方体上下两个面的面积各是（ ）平方厘米，前后两个面的面积各是（ ）平方厘米，左右两个面的面积各是（ ）平方厘米，表面积是（ ）平方厘米。（3） 判断题：长方体的表面积一定比正方体的表面积大。 ( ) （4） 把一个棱长为6米的正方体分成两个大小、形状相同的长方体，每个长方体的表面积是（ ）。（5） 长方体的长是6厘米，宽是4厘米，高是2厘米，它的棱长总和是 （ ）厘米，六个面中最大的面积是（ ）平方厘米，表面积是（ ）平方厘米。（6） 用字母表示正方体（
11、或长方体）的表面积（ ）；用字母表示长方体的体积公式是（ ）。（7）下面哪些问题跟长方体表面积有关。 （ ） A：在一个长方体木箱外面刷油漆，刷油漆的面积一共有多少平方分米？ B：做一个长方体的金鱼缸需要多少玻璃？C： 求一个长方形足球场需多少平方米的草皮？（8）一个长方体的长是5分米，宽和高都是4分米，在这个长方体中，长度为4分米的棱有（ ）条，面积是20平方分米的面有（ ）个。（9）一个长方体的金鱼缸，长是8分米，宽是5分米，高是6分米，不小心前面的玻璃被打坏了，修理时配上的玻璃的面积是（ ）。（10）一个正方体的底面积是64平方厘米，它的表面积是（ ）。（11）一个正方体的底面周长是8厘
12、米，它的表面积是（ ）。（12）一个长方体侧面积是360平方厘米，高是9厘米，长是宽的1.5倍，求它的表面积。【知识点2】长方体表面求法的变形： 贴商标类型：只求四周面积。例如：一个长方体包装盒，长宽高分别为8,4,5，需要在包装盒四周贴上商标，需要商标纸的面积是多少？ 游泳池类型：只求四周和底面。例如：一座游泳池，长宽高分别为10m，4m，1.5m，需要在池内贴上边长为1dm的瓷砖，大约需要多少块瓷砖？ 抽纸盒类型：六个面面积减去缺口面积。 例如：一款抽纸盒，长宽高分别是20cm，12cm，5cm，上面有长14cm，宽3cm的抽纸口，做这款抽纸盒需要多少硬纸片？ 占地面积问题：只求底面面积。
13、例如：一个长方体蓄水池，长12m，宽8m，深3m，这个水池占地面积多少平方米？练习：（1） 一盒饼干长20厘米，宽15厘米，高30厘米，现在要在它的四周贴上商标纸，如果商标纸的接头处是4厘米，这张商标纸的面积是多少平方厘米？（2） 一种长方体硬纸盒，长10厘米，宽6厘米，高5厘米，有2平方米的硬纸板210张，可以做这样的硬纸盒多少个？（不计接口） （3） 一个通风管的横截面是边长是0.5米的正方形,长2.5米.如果用铁皮做这样的通风管50只,需要多少平方米的铁皮? （4） 一个房间的长6米，宽3.5米，高3米，门窗面积是8平方米。现在要把这个房间的四壁和顶面粉刷水泥，粉刷水泥的面积是多少平方米
14、？如果每平方米需要水泥4千克，一共要水泥多少千克？ （5） 在一节长120厘米，宽和高都是10厘米的通风管，至少需要铁皮多少平方厘米？做12节这样的通风管呢？ （6） 做一个正方体无盖纸盒，棱长是21厘米，至少需要多少平方厘米的纸板？（7） 一个抽屉，长50厘米，宽30厘米，高10厘米，做这样的2个抽屉，至少需要木板多少平方厘米？（8）一块长方形铁皮长60厘米，宽40厘米，如 图， 从四个角上剪去边长是10厘米的正方形，然后做成盒子，这个盒子的表面积是多少平方厘米？【知识点3】棱长变化对表面积、体积的影响： 正方体（必须记得）正方体的棱长扩大2倍，其棱长和也扩大2倍，表面积扩大4倍，体积扩大8
15、倍；正方体的棱长扩大3倍，其棱长和也扩大3倍，表面积扩大9倍，体积扩大27倍；正方体的棱长扩大n倍，其棱长和也扩大n倍，表面积扩大n2倍，体积扩大n3倍。 长方体（稍难，可以不用记住，了解即可）长方体的长宽高同时扩大2倍，其棱长和也扩大2倍，表面积扩大4倍，体积扩大8倍；长方体的长宽高同时扩大3倍，其棱长和也扩大3倍，表面积扩大9倍，体积扩大27倍；长方体的长宽高同时扩大n倍，其棱长和也扩大n倍，表面积扩大n2倍，体积扩大n3倍。长方体的长扩大a倍，宽扩大b倍，高扩大c倍，棱长和变化无规律，表面积变化也无规律，体积扩大abc倍。（必须记得）长方体的长扩大a倍，宽扩大b倍，棱长和变化无规律，表面
16、积变化无规律，体积扩大ab倍 。长方体的宽扩大b倍，高扩大c倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律，体积扩大bc倍 。长方体的长扩大a倍，高扩大c倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律，体积扩大ac倍 。练习：（1）大正方体的棱长是小正方体的棱长的2倍，那么大正方体的表面积是小正方体表面积的（ ）倍。（2）正方体的棱长缩小5倍，它的体积就缩小（ ）倍（3）一个长方体的长、宽、高都扩大4倍，它的体积就（ ）。（4）正方体的棱长扩大6倍，表面积扩大（ ）倍。（5）一个正方体的棱长为4厘米扩大为2倍后，其棱长和为（ ）厘米，表面积为（ ）平方厘米比原来扩大了（ ）。（6）大正方体的表面积是小正方体的
17、4倍，那么大正方体的棱长是小正方体的（ ）；大正方体棱长之和是小正方体的（ ） （7）判断：一个长方体的长扩大2倍，宽扩大3倍，高扩大4倍，这个长方体的表面积扩大24倍。（ ） 正方体的棱长扩大1.2倍，它的棱长也扩大1.2倍，它的表面积就扩大14.4倍。 （ ） 有棱长为1厘米的正方体拼成较大的正方体，其表面积比原来一个正方体时扩大了4倍。（ ） 棱长为16厘米的正方体，将棱长缩小2倍后，其表面积缩小了4倍。 （ ）【知识点4】n 立体图形的切割：（切割会使表面积增加） 长方体而且每切一刀增加两个完全相同的面，切两刀增加四个完全相同的面，依次类推。 正方体无论沿那个面平行的方向切，都将增加两
18、个正方形的面，增加的面积均为2a2不存在增加最多最少的问题。例如：两盒磁带有三种不同的包装方式，你说哪一种最省包装纸？ 要求最省包装纸，即表面积最小，也就是表面积比原来单独包装时减少的表面积最多，根据规律应该选择第一种包装方式。练习：（1） 把一个棱长为6米的正方体分成两个大小、形状相同的长方体，每个长方体的表面积是（ ）。（2） 把一根长2米的方木（底面是正方形）锯成三段，表面积增加5.76平方分米，原来这根方木的底面积是多少平方分米？（3） 一根1.8m长的木材，锯成三个完全相同的正方体后，表面积比原来增加多少平方厘米？【知识点5】从一个长方体中切出一个最大的正方体问题应该以长方体中最短的
19、棱作为切出正方体的棱长，这样的正方体将是能切出的最大正方体，否则切出的将不是正方体。分析：以最短的棱为正方体的棱长，即以高为2cm的棱为正方体的棱长，那么正方体的棱长和为：212=24cm。切去正方体后所剩部分的长为4-2=2cm，宽为3-2=1cm，高仍为2cm，因此所剩部分表面积为：（21+22+12）2=16cm2。例如：在一个长是4厘米，宽为3厘米，高为2厘米的长方体中切出一个最大的正方体，该正方体的棱长和是多少？剩余部分的表面积是多少？ 【知识点6】单位换算长度单位：mm、cm、dm、m 相邻两个单位进率为10面积单位：mm2、cm2、dm2、m2 相邻两个单位进率为100体积单位：
20、mm3、cm3、dm3、m3 相邻两个单位进率为1000容积单位：ml、L 相邻两个单位进率为1000特别的：1ml=cm3 1L=1dm3 1方=1m不是同一类型的单位，数据不能比较大小，同一类型的单位中右边的单位比左边的单位大。高级单位进率高级单位的数低级单位低级单位的数进率大单位化小单位乘以进率，小单位化大单位除以进率。例如：手指尖约占了1立方厘米的空间，即它的体积约为1立方厘米。 一个粉笔盒的体积约为1 dm。 半个讲台的体积约是1立方米。 一个烧杯约能装水500ml。 练习：9立方米500立方分米=（ ）立方米=（ ）立方分米3.6升=（ ）毫升=（ ）立方厘米 1700平方厘米=（
21、 ）平方分米=（ ）平方米3.2立方分米=（ ）立方厘米 500立方分米=（ ）立方米3升=（ ）毫升 2700毫升=（ ）升 2.57升=（ ）毫升 640毫升=（ ）升2.8立方分米=( )立方厘米 0.8升=( )毫升720立方分米=( )立方米 51000毫升= ( )升32立方厘米=( )立方分米 4.25立方米=( )立方分米=( )升2.7立方米=( )升 1200毫升=( )立方厘米1.24立方米=( )升=( )毫升 3.06升=（ ）升（ ）毫升40立方米（ ）立方分米 4立方分米5立方厘米（ ）立方分米30立方分米（ ）立方米 0.85升（ ）毫升2100毫升（ ）立方厘
22、米（ ）立方分米 (2) 一个水池能装水400立方米，这是指（ ），占地2公顷指的是（ ）。 一块橡皮擦的体积约是8( )。 一本书的封面约是2( )。 运货集装箱的体积约是40( )。 一支钢笔长18( )。 一台录音机的体积约是20( )。三、长方体和正方体的体积【知识点1】容积与体积基本概念体积是指所占空间的大小；容积是指所容纳物体的体积；一般的：一个物体的容积一般都比它的体积小。当容器壁厚度忽略不计时体积=容积；否则体积 容积。比如说，一个洗发液的瓶子里面所能装下的洗发液的体积就是它的容积。（容器壁忽略不计）体积计算方法：长方体的体积=长宽高正方体的体积=棱长棱长棱长长方体和正方体的体
23、积=底面积高练习：（1） 判断： 体积单位比面积单位大，面积单位比长度单位大 （ ） 正方体和长方体的体积都可以用底面积乘高来进行计算（ ） 表面积相等的两个长方体，它们的体积一定相等 （ ）（2）一个正方体的棱长和是12分米，它的体积是（ ）立方分米（3）一个长方体的体积是30立方厘米，长是5厘米，高是3厘米，宽是（）厘米（4）表面积是54平方厘米的正方体，它的体积是（ ）立方厘米（5）一个长方体框架长8厘米，宽6厘米，高4厘米，做这个框架共要（ ）厘米铁丝，是求长方体（ ），在表面贴上塑料板，共要（ ）塑料板，是求（ ），在里面能盛多少升水是求（ ），这个盒子有（ ）立方米，是求（ ）（6
24、）长方体的长是6厘米，宽是4厘米，高是2厘米，它的棱长总和是 （ ）厘米，六个面中最大的面积是（ ）平方厘米，表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米（7）一个正方体棱长2厘米，体积是（ ）立方厘米，如果这个正方体的棱长扩大2倍，它的体积是（ ）立方厘米。（8）一个菜窖能容纳6立方米白菜，这个菜窖的（ ）是 6立方米（9）将一个正方体钢坯锻造成长方体，正方体和长方体（ ） 体积相等，表面积不相等体积和表面积都不相等表面积相等，体积不相等（10）要制作140个棱长5厘米的正方体木块，至少需要木料多少立方分米？（11）某纸盒厂生产一种正方体纸板箱，棱长40厘米，它的体积是多少立方厘米？合多少立
25、方分米？（12）一个长方体的沙坑装满沙子，这个沙坑长3米，宽1.5米，深2米，每立方米沙子重1400千克，这个沙坑里共装沙子多少吨？【知识点2】体积大小的比较对于液体可以直接比较体积的大小，如果液体体积小于容器既可以装得下，如果大于容器体积则装不下。对于固体而言，在体积小于容器体积的前提下，还需要比较物体的长宽高于容器的长宽高，只有物体的长宽高都小于或等于容器的长宽高时才可以将物体装入容器。例如：有一个长为8分米，高位5分米，体积为240平方分米的硬纸盒，有一件陶瓷长为7.4分米，高位4分米，宽为6.5分米，是否可以放入该容器？分析：单纯计算容器和陶瓷的体积我们可以发现：陶瓷体积硬纸盒体积。但
26、这并不意味着瓷器就可以装进盒子。 我们还需要观察陶瓷长宽高于容器长宽高的大小。 通过计算硬纸盒的长=8分米 宽=240（85）=6分米 高=5分米 陶瓷的长=7.4分米 宽=6.5分米 高=4分米 由此可以发现陶瓷的宽比盒子的宽大，所以即使在体积小于盒子的前提下，仍然是装不进去的。练习：（1） 有一个长方形玻璃鱼缸长为5分米，宽为3分米，高为3分米里面装有2.5分米高的水，现在需要将该该鱼缸内的水倒入一个棱长为3.5分米的正方体鱼缸中，请问是否可以装得下这么多水？如果装得下正方体鱼缸内的水有多高？（2） 有一个长方体的硬纸盒，长为11分米，宽为15分米，高为6分米，现将一个长为12分米，宽为1
27、0分米，高为5分米长方体的礼品放入该盒子中，是否可以装的进去？【知识点3】砌墙类问题例如：养殖场需要砌一堵长为30米，宽为24厘米，高位2.5米得墙，需要用长为30厘米，宽为15厘米，厚为5厘米的砖大约多少块？分析：首先我们需要将墙的体积算出=3000厘米24厘米250厘米=18000000平方厘米 其次我们需要将每块砖的体积算出=30厘米15厘米5厘米=2250立方厘米 我们只需要计算这堵墙的体积相当于每块砖体积的多少倍即为所需要砖的数量=180000002250=8000（块）练习：（1） 一块长1.2米,宽6分米,厚3分米的长方体木块,可以截出多少块棱长为3分米的正方体？（2） 一段围墙
28、长为15米，宽为38厘米，高为2.2米，砌这样的墙每平米大约需要385块砖，修这段围墙一共需要多少块砖？（3） 一块钢材体积为2.7立方米，现在将其融化后重新铸成长为1米，底面积为225平方厘米的钢锭，一共可以铸多少块？液面上升或下降类问题练习：（1） 一个长方体鱼缸，长厘米，宽厘米，深厘米，把一块长厘米，宽厘米，高厘米的铁块浸入在水中，水面将上升多少厘米?（2） 在一个长厘米，宽厘米，深厘米的长方体鱼缸里放入一些水，并在水中浸入一块长厘米，宽厘米，高厘米的铁块，把铁块从水中取出，水面将下降多少厘米？（3） 一个长方体玻璃容器，从里面量长2分米，宽1.5分米，高1.8分米，里面盛了一半水，现在
29、将体积为0.6立方分米的玻璃球全部浸入水中，这时水面高度多少分米？四、容积与体积的异同【知识点1】容积和体积的差异相同点不同点容积计算公式相同V=shV=abh从容器内部测量容积指容器内部体积计量单位通常为L、ml体积从容器外部测量体积指容器外部体积，或所容纳物体的体积计量单位通常为m、dm、cm、mm练习：（1）一个长方体鱼缸从外面量长宽高分别为5分米、2.5分米、3分米，从里面量长宽高分别为4.9分米、2.4分米、2.9分米，这个鱼缸的容积是（ ），体积是（ ），如果鱼缸中装满水，水的体积是（ ）。（2）一个仓库能容纳150立方米的大米，这个仓库的（ ），是150立方米。也就是说容积体积【知识点2】容积和体积的大小关系一般情况下视为容积等于体积，其前提条件是容器壁厚度忽略不计。在考虑容器壁厚度的情况下，容积是比体积小的。
