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1、科学计算与模拟平台模拟有阻尼的驻波运动李军润（华南师范大学物电学院08级物理学3班 20082301155）摘 要：讨论了两列相向而行、振幅随传播距离增加而线性衰弱的相干波叠加后的数学形式，并用武汉才纳数字教学软件工作室所编写的科学计算与模拟平台对计算结果进行模拟，得到相关的驻波波形。关键词：驻波；阻尼；微分方程；冲量法；科学计算与模拟平台1. 引言一端固定，另一端受简谐驱动力的弦，在一定的条件下能够形成驻波.而我们在平时的学习与研究中，为了数学推导的简单，往往假定振幅在传播过程中保持不变，这与我们的实际情况基本不符合.实验中可以观察到驻波最后一个波幅的高度与第一个波幅的高度不相等的现象.引起
2、该现象的原因较多，如摩擦阻尼等等.那么，到底如何选择一个合适的数学模型来反映有阻尼时的驻波振动呢？如何运用数学物理方法使得此问题更为简便呢？本人在参考了诸多的文献后，认为，弱阻尼条件下，振幅应随传播距离的增加而线性衰弱，并用文中的（3）式描述，将其作为线性方程的一个特解，并运用传统的微分方程求解.并运用科学计算与模拟平台对实验数据与结论进行模拟对比，结果表明所用的数学模型与实验事实相符.2. 数学表达本问题的数学表述为：振幅在x=l处，源振动方程为.反射点在x=0处，为固定端，.设波在固定端反射时无能量损失，弦在阻力与速度成正比的媒质中运动，弦的线质量密度为，弦中的张力为，阻尼系数为，则弦上任
3、意一点的运动方程为令 (1)该定解问题为 （2）本文采用 （3）的形式模拟2列相向传播振幅随传播距离增加而线性衰弱的相干波.式中k为常量，由（3）式得时， 时，而令通过比较，的系数，可知H，与，k，l，a的关系.因为此计算过程不影响以下问题的讨论，故不赘述.将（3）式作为线性方程的特解，并由（3）式得出，.由线性方程的可叠加性，令 (4)得则U的定解问题变为W的定解问题（5）（2）式得定解问题变为（5）式得定解问题. （5）式又可分成具有齐次边界条件的2个定解问题，其中一个为具有非零初始条件的齐次方程，该方程只有衰减解，故不讨论；另一个是具有零初始条件的非齐次方程，另写为（6）用冲量法解出（6
4、）式得稳态振动解为式中.这样弦上任意一点的位移为（3）式与（7）式得叠加，即： （8）3.科学计算与模拟平台模拟子程序：void demoApp:RenderScene(int sceneIndex) title.Show(30, 0, -50, false);/ 在(0,0,0)处显示汉字内容，不可移动 Color4f color=1,0,0,0.1*X,color1=0,0,0,0.1*V;static Point3f s230100,s12001, q3, s2; double A0=0.01,k=0.0893,w=3802,a,T=0.489,l=3.20,n=3,p=0.000379
5、6,USP,x,t,U,V,W,X,Y,Z,wn,b,r=0.01;static PI=3.1415926;int i,j;a=sqrt(T/p);x=0;Y=0;t=step/1000;b=r/2/p;wn=sqrt(n*PI*a/l)*(n*PI*a/l)-b*b);for(i=0;i=100;i+)for(j=1;j=1000;j+)Y=(pow(-1,j+1)*4*A0*n*PI*a*a*w)/(n*PI*a)*(n*PI*a)-(w*l)*(w*l)*wn);U=(k*a-b)*sin(w*l/a)*(w+wn)*cos(w*t)-b*sin(w*t)/(b*b+(w+wn)*(w+
6、wn)-(w-wn)*cos(w*t)-b*sin(w*t)/(b*b+(w-wn)*(w-wn);V=l*b*(cos(w*l/a)+(2*a*l*w)/(n*PI*a)*(n*PI*a)-(w*l)*(w*l)*sin(w*l/a)*(w+wn)*sin(w*t)+b*cos(w*t)/(b*b+(w+wn)*(w+wn)-(w-wn)*sin(w*t)+b*cos(w*t)/(b*b+(w-wn)*(w-wn);X=(U-V)*sin(n*PI*x/l);s1i.z=A0*(1-k*x)*cos(w*(t-x/a)-(1+k*x)*cos(w*(t+x/a);s1i.z+=X*Y;s1i
7、.z*=100;s1i.x=(x-20)*5;s1i.y=0;x+;s0.x=0; s0.y=0; s0.z=0; s1.x=-80; s1.y=0; s1.z=0; q0.x=0; q0.y=80; q0.z=0; q1.x=80; q1.y=0; q1.z=0; q2.x=0; q2.y=0; q2.z=70;glt:EnableLight();draw:Arrow3D(q1,s1 , 0.0, 0.3, 10, 2, cWHITE, cRED, false,0,0,0);draw:Arrow3D(s0,q2, 0.0, 0.3, 10, 2, cWHITE, cRED, false,0,
8、0,0); glt:DisableLight();glt:SetLineWidth(3);draw:LineStrip(100, s1, color1);Text text; /定义文字ushort str20;swprintf(str, L速度%.2fm/s, X);text.LoadWords(str, L楷体_GB2312, 20, wiz:cBLACK, 256, 48);/ 加载文字内容text.Show(-20, 0, 0, false); / 显示文字，不可旋转截图：4.结束语用（3）式模拟相向传播振幅随传播距离增加而线性衰弱的相干波，可得（8）式.由科学计算与模拟平台模拟（8）
9、式得结果，得到稳定的驻波波形.可见，（3）式确实可以反映有阻尼的一类驻波振动.这一模型还可用于测定阻尼系数.如T，l，n, 都是容易测定的量，当准确测定了第一个及最后一个波腹的高度和位置后，可确定K值.再测出波腹最高时的值，代入（8）式和（1）师即可得阻尼系数.参考文献：赵景员，王淑贤.力学【M】.北京：高等教育出版社，1979.466-467.梁昆淼.数学物理方法【M】.北京：人民教育出版社，1978.232-240.徐世良.数学物理方法解题分析【M】.南京：江苏科学技术出版社，1983.394-400,419-425.徐荣历，梅嘉炜.物理实验【J】.计算机模拟有阻尼的驻波振动，2004，2
10、4（11）44-45,48.Scientific calculation and simulation platform simulation of a damping standing wave vibrationLi Junrun（the School of Physics And Telecommunication Engineering, South China Normal University No.20082301155）Abstrat: A mathematical model of superposed cohere waves, moving toward each oth
11、er and amplitudes declining with the extension of traveling distance, is studied. A simulation solution of a damping standing wave is obtained by scientific calculation and simulation platform.Key words: standing wave; damping; differential equations; impulse law; scientific calculation and simulation platform
