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1、机械优化设计作业第一、机械优化设计课后练习第一章 机械优化的基本概念与数学模型1-1.优化设计问题的数学模型是由哪几部分组成的？其一般表达形式是什么？答：由三部分组成：设计变量、约束条件和目标函数。优化设计一般表达形式是：Find 设计变量min 目标函数st 约束条件 约束条件式中：1-2建立优化设计问题数学模型的一般步骤及其需要注意的问题是什么？答：建立优化设计问题数学模型的一般步骤为：（1）选取设计变量（2）建立目标函数（3）确定约束条件其注意事项：（1）设计变量 在设计过程中选择的设计变量必须都是独立变量，有明显依赖关系；设计变量的选取与优化层次及优化问题的提法有关；设计变量的数目要适
2、当；设计变量有显著且能直接调整控制参数。（2）约束条件周密分析、合理确定约束条件，从客观实际出发，且能表为设计变量的约束函数的限制确定为约束；各约束条件应当是独立而不矛盾；要特别注意那些对优化效果确有影响，确有限制作用的约束，应注意它们是否可以适当放松以达更好优化效果。（3）目标函数目标函数可能是多种，具体选哪个取决于对设计的具体要求和客观条件；根据工程实际选定最重要的为优化目标；考虑当前设计方案的实际情况；同时应考虑该指标是否容易给出数学表达式，常常以多目标优化使用更符合实际。1-3.优化设计问题的求解方法有哪几类？迭代法的基本思想及特点是什么？答：优化设计问题的求解方法分为两大类：简单优化
3、问题的求解和数值迭代法。（1）简单优化问题的求解方法：a、解析法：适用于形式简单、容易求导，可直接写出数学模型显式表达式的、不带或仅带简单等式约束的优化问题，可通过高等数学的极值条件解方程求解。b、图解法：N维情况，通过作图求解，简单直观。（2）数值迭代法 现代优化设计的基本方法a、数学规划法：根据函数及其导数的局部性态决定迭代方向和步长。迭代通式：b、准则法：多用于结构优化复杂结构优化（隐函数）。迭代通式为 ( 未必收敛 ) 迭代法的基本思想：根据目标函数的变化规律，以适当的步长沿着能使目标函数下降的方向，“步步逼近”，“步步下降”或“步步登高”，逐步向目标函数值的最优点进行探索，逐步逼近或
4、直至达到目标函数的最优点。迭代法的特点：具有简单的逻辑结构并能进行反复的同样的算术计算；最后得出的是逼近精确解的近似解。1-4.欲造容积为V的长方形无盖水箱，如何选定其长、宽、高，才能使用料最少，写出数学模型。解：选取长(l)，宽(d)，高(h)为设计变量: 设计目标：用料最省 约束条件 数学模型为：Find min s.t 第二章 优化设计的最优性条件2-1.梯度与海森阵的表达与意义是什么？梯度与方向导有何关系？答：(1)梯度的表达：为一个N维列阵 意义：它是目标函数(X)对各个设计变量的一阶偏导数所组成的列向量，方向就是函数变化率最大的方向，用来研究多元函数沿各坐标方向的变化率。(2)海森
5、阵的表达：为二阶导数 海森阵是多元函数关于诸设计变量的二阶导数矩阵，是对称方阵。（3）梯度与方向导数的关系：多元函数在某方向上的方向导数是梯度在该方向上的投影。2-2、求几种特殊函数的梯度与海森阵：线性函数：；二次型函数：；一般二次函数：解：（1）、线性函数：设，则所以 故：因为，所以海森阵H（X）=0（2）、二次型函数：设：为对称阵 则海森阵为： （3）一般二次函数：由上题结果，设A为对称阵，则梯度为 ：，海森阵为 ： 2-3、多元函数的无约束极值、等式约束极值及不等式约束极值的必要条件的具体形式是什么？充分条件是什么？答：（一）多元函数的无约束极值的必要条件是：设多元函数在处有一阶及二阶连
6、续偏导数 （1）必要条件：=0 （2）充分条件： =0 H（X*）为正定或者是负定，即二阶导海森阵正定或者负定，即对任何非零N维向量Y有，正定时有极小值，负定时有极大值。（二）多元函数的等式约束极值必要条件为 Largrange 条件：在极值点X*，满足1），2），3）三个条件：1） 2） 3）正则条件；要求 秩为J。充分条件：在Largrange 条件基础上，满足目标函数的高阶条件与凸规划等理论判别。（三）多元函数的不等式约束极值必要条件：1）2） 3） 4） 另外还要满足正则条件，即在X*点诸临界约束的梯度线形无关，相互独立。充分条件：当f（X）为凸函数、可行域D为凸集的凸规划问题时，必要
7、条件也就是他的充分条件，因此充分条件为：1）f（X）为凸函数、可行域D为凸集2）3） 4） 5） 另外还要满足正则条件，即在X*点诸临界约束的梯度线形无关，相互独立。2-4、求的极值点及其性质，图解验证。解：由得：得三个解及相应的函数值，如下：， 求导得海森阵：H=将代入上式得：是正定阵，因此是局部极小值点将代入上式得：也是正定阵，因此也是局部极小值点。将代入上式得：既非正定阵，也非负定阵，因此是鞍点。又由于，所以是最小点。在MATLAB中画出如下图形：从图上看出是鞍点，和是极小点，然后他们的函数值，可以看出是最小点。与计算结果相符合。2-5、Find min s.t. 检查（2，1，2），（
8、4/3，2/3，3），（3/2，3/2，2）三点的Kuhn-Tucker条件。解：不等式约束极值Kuhn-Tucker条件为：（1）、（2）、 （3）、 （4）、 另外还要满足正则条件，即在X*点诸临界约束的梯度线形无关，相互独立。先判定是否为凸函数(x)= x12 +x22+ x32 / x1 =2x1 ， 2/ x12 =2 ， 2/x1x2=0 ， 2/ x1 x3=0 / x2 =2x2 ， 2/ x22 =2 ， 2/x2x1=0 ， 2/ x2 x3=0 / x3 =2x3 ， 2/ x32 =2 ， 2/x3x1=0 ， 2/ x3 x2=0经计算H(x )的各阶顺序主子式大于等
9、于0，即：H(x )半正定。 (x)为凸函数。 同理可知：g(x)也为凸函数。再求出f（X）和g j（X）在X*处的梯度： 将 x1*=（2，1，2）代入g1(X*)=0 ， g2(X*)= 0 ， g3(X*)= -2 ， g4(X*)= -1 ， g5(X*)=0 g1(X*) 、g2(X*)和g5(X*)为起作用的约束。则 g1(X*)=-1，-1，-1 T ，g1(X*)=0，-2，-1 T g5(X*)=0，0，-1 T ， (X*)=4，2，4 T代入 (j=1、2、5) 即： 解得：因为,不满足，所以对于点（2，1，2）不存在满足Kuhn-Tucker条件的。 将x2*=（4/3
10、，2/3，3）代入g1(X*)=0 ，g2(X*)= 0 ，g3(X*)= -4/3 ，g4(X*)= -2/3 ，g5(X*)=-1 g1(X*)，g2(X*)为起作用的约束。g1(X*)=-1，-1，-1 T ，g2(X*)=0，-3，-2/3 T (X*)=8/3，4/3，6 T代入 即： 无解，所以对于点（4/3，2/3，3）不存在满足Kuhn-Tucker条件的。 将x2*（3/2，3/2，2）代入g1(X*)=0 ，g2(X*)= -1 ，g3(X*)= -3/2 ，g4(X*)= -3/2 ，g5(X*)=0 g1(X*)与g5(X*)为起作用的约束。g1(X*)=-1，-1，-
11、1 T ， g5(X*)=0，0，-1 T， (X*)=3，3，4 T代入 (j=1、5) 即： 解得：1 = 3 5 =1 1 = 30 5 =1 0 当= 3 0 0 0 1 T 时点（3/2，3/2，2）满足KT条件。第三章 无约束规划的解法3-1、用黄金分割法求目标函数f=x(x+2)的最优解，初始区间为-3,5,误差不大于0.05。解：（1） a= -3，b=5 ， 得11次迭代能得到理想解。在-3，5内取点则所以令，即新的区间为-3，1.944（2） 则所以令，即新的区间为-3，0.056（3） 则所以令，即新的区间为-1.833，0.056（4）、 则所以令，即新的区间为-1.8
12、33，-0.6656（5）、 则所以令，即新的区间为-1.3871，-0.6656（6）、 则所以令，即新的区间为-1.1114，-0.6656（7）、 则所以令，即新的区间为-1.1114，-0.8359（8）、 则所以令，即新的区间为-1.1114，-0.9412（9）、 则所以令，即新的区间为-1.0464，-0.9412（10）、 则所以令，即新的区间为-1.0062，-0.9814（11）、 则所以令，即新的区间为-1.0062，-0.9909区间长度为：|-0.9909-(-1.0062)|=0.0153=0.05所以，最优解：x*=(-0.9909-1.0062)/2=-0.99
13、86f(x*)=-0.9986*(2-0.9986)=1第四章 线性规划与二次规划4-1.用单纯形法求解以下线性规划：Find Min St 解：引入非负松弛变量，化不等式约束为等式约束：构造单纯形表：X1X2X3X4X5X6X7X8di(1)02/301000035(2)08/152/50100070(3)02/153/50010070(4)3/47/121/40001090(5)1/45/123/40000190(6)-1-1-1000000第一轮迭代：（1）、检查目标行，1、2、3列中负数均为-1，选第一列进基。（2）检查第一列，对，计算：第四行对应值最小，因此q=4。（3）、以为轴进行
14、高斯消元得下表：运算X1X2X3X4X5X6X7X8di(7)(1)02/301000035(8)(2)08/152/50100070(9)(3)02/153/50010070(10)(4)*4/317/91/30004/30120(11)(5)-(10)*1/402/92/3000-1/3160(12)(6)+(10)0-2/9-2/30004/30120第二轮迭代：（1）、检查目标行，-2/3最小，p=3，x3进基。（2）、计算第三列：由最小者决定q=5。（3）、以为轴进行高斯消元的新表：运算X1X2X3X4X5X6X7X8di(13)(7)02/301000035(14)(8)-(17)
15、*2/502/500101/5-3/534(15)(9)-(17)*3/50-1/1500013/10-9/1016(16)(10)-(17)*1/312/300003/2-1/290(17)(11)*3/201/31000-1/23/290(18)(12)+(17)*2/300000011180目标行已无负非基本变量系数，故已得最优解：第七章 机械结构优化7-1.为什么说满应力法是感性准则法？ 答：1、满应力优化设计方法是对结构布局已定的构件尺寸优化，其目的是使结构体积最小（重量最轻），主要是针对杆系结构，尤其是桁架结构。2、它是从力学概念出发建立的一些准则，而不是从最优性条件出发，没有与优
16、化目标函数直接建立关系，故不能保证目标函数趋于最优，只是以结构满足了力学准则的近似最优设计，它可能找的是极值点而非最值点，所以说是感性准则法，不大可靠。7-2.为什么说导重准则法克服了虚功准则法不可克服的缺陷？答：1、虚功准则法的特点是结构位移采用虚功表达，认为外载荷不随设计变量变化。这对外载荷包括自重及惯性载荷的航空航天结构、精密机械结构是不成立的。不能考虑载荷对设计变量的导数，这是虚功准则法无法克服的缺陷。虚功准则法有如下局限：（1）对于航空航天、精密机械等惯性载荷结构，虚功准则法具有先天缺陷，准则不准，最优解不优。（2）不能对一般混合结构（含非杆、板单元）进行结构优化。（3）不能进行几何
17、变量优化，设计变量不能是坐标。（4）不能进行动力特性优化。2、导重准则法克服了虚功准则法的缺陷失因为：（1）导重准则法考虑了设计变量变化引起的载荷变化。用于优化对自重等惯性载荷为主的航空航天结构、精密机械结构，效果显著。可保证求得最优解。（2）借助于线性互补问题的克莱姆算法求解多个不等式约束的库恩-塔克乘子，自动而有效的区分了临界约束与非临界约束。（3）设计变量除构件尺寸外，还可包括节点坐标。导重法则是严密推导的数学准则法，能够满足KT条件，最优结构按各组构件的导重正比分配结构重量（导重为引导各组构件重量分配，使结构趋于最优），尤其是对自重及惯性载荷为主的航空航天结构，精密机械结构尤其适用。所
18、以说导重准则法克服了虚功准则法的先天不足。导重法可考虑多种性态函数，位移、应力、安全度、精度、基频等，这是虚功法无法做到的，关键是不用位移的虚功表达，而采用一般刚度方程表达，放开了手脚，使得导重法具有了普适性、通用性。7-3.导重的意义是什么？单约束与多约束导重法是如何实现不等式约束的？答：1、导重的意义：导重起到引导各组构件重量分配，使结构趋于最优化的作用。2、单约束不等式的约束：是通过控制、G的正负来实现的。其中、G为目标函数最优值的灵敏度。最优设计点上的目标函数值即目标函数最优值对约束界的灵敏度等于该约束的负梯度：即对约束 约束界是，有 ；总导重保重设计时，的取值正负不加控制。优重设计时
19、，对于不等式约束：，可通过控制的正负来实现。时，说明增加，这使减小，但约束限制不能再增加，这时，满足K-T条件。，不满足K-T条件之，它对应减少，方可使改善的情况。而原不等式约束是允许W下降的，即设计点X可离开约束面，向可行域内的无约束极值点X*方向移动，直至X*=X*时，这样使K-T条件得到满足，结构重量小于给定指标，目标函数反而更优，这可称之为“优重设计”。这样Kuhn-Tucker 5个条件通过以上迭代控制得到了充分的满足，不等式约束极值条件得以实现。7-4.导重法的特点、优点是什么？有什么地方应与改进？答： 导重法的特点和优点：（1）导重准则法克服了虚功准则法的先天不足，尤其是对自重等
20、惯性载荷为主的航空航天结构，精密机械结构，尤为适用。（2）导重法是严格推导的数学准则法，可保证求得最优解。导重准则物理意义明确、直观、表达简洁。（3）在计算工作量上与虚功准则法相比，导重法要计算灵敏度，计算量与设计变量数目微弱有关，虚功准则法要计算虚内力，计算量与约束数目微弱有关。（4）导重法可考虑多种性态约束，如位移、应力、安全度、精度、基频等，导重法具有普适性、通用性。而虚功准则法无法做到。 需要改进的地方：此方法只适用于局部寻优。第八章 结构优化的灵敏度分析8-1、比较各种情况下敏度载荷法与虚载荷法的计算工作量？答：1）单位移虚载荷法比全位移敏度载荷法的计算工作量大。因为单位移虚载荷法计
21、算的是单元内的每个自由度所对应位移的敏度，而全位移敏度载荷法则是计算所有节点位移的敏度。2）对于刚度敏度、载荷阵的敏度、应力敏度与谐振频率的敏度来说，虚载荷法比敏度载荷法的计算工作量要小。因为敏度载荷都是在虚载荷的基础上计算而得。8-2、试用虚载荷法推导全位移对全变量的敏度计算表达式解：由刚度方程KU=P求导得： 令： 则： 再利用虚载荷法，在式两端同乘eT=0 1 0，其中与um对应的第m个元素为1，其余元素均为0。可得： ，两边转置得： 令： ， 得： 令 则： 因为 把、 带入左式，得： 又因为 ， 把上式带入式，得： 全位移对全变量的敏度计算表达式为：第二、机械优化设计3道练习题3-2
22、.求函数的极小值，初始点为 -2，2T，误差不大于0.001。解：1、建立数学模型：find min s.t. 初始点为 -2，2T 2、优化方法：此问题为无约束非线性优化问题，用鲍威尔法进行迭代求解。3、目标函数的三维图如下：4、目标函数等值线图如下：5、迭代输出结果：由上表可知，经5轮迭代可得最优结果:X1=-0.896104 X2=0.291908 Fmin=1.98976、迭代曲线图：从中我们可以看出：通过鲍威尔法迭代5次可得出结果，第五次时，目标函数最优值Fmin=-1.9897，且满足。7、迭代原程序如下：#include #include int i,j,N,M,NUM;doub
23、le S100,SS100100,X0100,X100,X1100,X2100,XK100;double X3100,XX1100,XX2100,XX3100,A100,B100,XP1100,XP2100;double F,F0,F1,F2,F3,FX,DLT,DF,E1,EP,L,SDX,Q,D,H,H0;/N-维数/X0100-初始点/H0-进退法的初始进退距/A100,B100-一维搜索中区间端点坐标/E1-一维迭代精度/EP-鲍威尔法的终止迭代精度void OBJFX();/目标函数void SEEK();/进退法一维搜索区间void GOLD();/黄金分割法int main(in
24、t argc, char* argv)/输入初始数据NUM=-1;N=2;cout请输入初始点：endl;for(i=1;iX0i;E1=0.001;EP=0.001;H0=1;for(i=1;i=N;i+)for(j=1;j=N+1;j+)SSij=0;SSii=1;begin:for(i=1;i=N;i+)XX1i=X0i;Xi=XX1i;NUM=NUM+1;cout第NUM轮迭代:endl;coutX1=X01 X2=X02;OBJFX();cout F=FXendl;F1=FX;F0=F1;DLT=-1;for(j=1;j=N;j+)for(i=1;iDLT)DLT=DF;M=j;SD
25、X=0;for(i=1;iEP)for(i=1;i=N;i+)XX2i=Xi;F2=F;for(i=1;i=N;i+)SSiN+1=Xi-XX1i;Si=SSiN+1;SEEK();GOLD();for(i=1;i=N;i+)XKi=Xi;for(i=1;i=N;i+)XX3i=2*XX2i-XX1i;Xi=XX3i;OBJFX();F3=FX;Q=(F1-2*F2+F3)*pow(F1-F2-DLT),2);D=0.5*DLT*pow(F1-F3),2); if(F3=D)goto LOOP;for(j=M+1;j=N+1;j+)for(i=1;i=N;i+)SSij-1=SSij;for(
26、i=1;i=F3)goto LOOP1;for(i=1;i=N;i+)X0i=XX2i;goto begin;LOOP1:for(i=1;i=N;i+)X0i=XX3i;goto begin;elsecout第NUM+1轮迭代,即最优结果:endl;coutX1=X1 X2=X2;OBJFX();cout Fmin=FXendl;return 0;void SEEK()double f1,f2,f3;H=H0;for(i=1;i=N;i+)X1i=X0i;Xi=X1i;OBJFX();f1=FX;for(i=1;if2)goto label;H=-H0; for(i=1;i=N;i+)X3i=
27、X1i;f3=f1;label2:for(i=1;i=N;i+)X1i=X2i;X2i=X3i;f1=f2;f2=f3;label:H=2*H;for(i=1;i=f3)goto label2;if(H0)for(i=1;i=N;i+)Ai=X3i;Bi=X1i;elsefor(i=1;i=N;i+)Ai=X1i;Bi=X3i;void GOLD()double Y1,Y2;for(i=1;i=N;i+)XP1i=Ai+0.618*(Bi-Ai);Xi=XP1i;OBJFX();Y1=FX;for(i=1;i=N;i+)XP2i=Ai+0.382*(Bi-Ai);Xi=XP2i;OBJFX()
28、;Y2=FX;doif(Y1=Y2)for(i=1;i=N;i+)Ai=XP2i;XP2i=XP1i;Y2=Y1;for(i=1;i=N;i+)XP1i=Ai+0.618*(Bi-Ai);Xi=XP1i;OBJFX();Y1=FX;elsefor(i=1;i=N;i+)Bi=XP1i;XP1i=XP2i;Y1=Y2;for(i=1;i=N;i+)XP2i=Ai+0.382*(Bi-Ai);Xi=XP2i;OBJFX();Y2=FX;L=0;for(i=1;iE1);for(i=1;i=N;i+)Xi=0.5*(Bi+Ai);void OBJFX()FX=pow(X1,4)-2*pow(X1,2
29、)*X2-3*X1*X2+pow(X1,2)+5*pow(X2,2)+4.5*X1-4*X2+5;5-1、题目： ， 0 0 0 0 初始点。解：1、优化方法本题为不等式约束最优化问题，采用罚函数法（内点法）。2、目标函数的三维图如下：3、目标函数等值线图如下：4、迭代过程输出结果：由上表可知，经3次迭代得最终迭代结果：X1 =0.534521，X2 =0.893093 目标函数最优值Fmin =-5.329995.讨论：（1）由以上迭代曲线可知，采用罚函数的内点法在迭代3次后目标函数、自变量变化趋于平稳。满足了优化过程中的精度要求，=0.001。6、迭代原程序：#include #inclu
30、de int i,j,N,M,NUM,N1,JK,KG;double S100,SS100100,X0100,X100,X1100,X2100,XK100,G100;double X3100,XX1100,XX2100,XX3100,A100,B100,XP1100,XP2100;double F,F0,F1,F2,F3,FX,FU,DLT,DF,E1,EP,ES,L,SDX,Q,D,H,H0,FX0,F00,R0,C;/N-维数/X0100-初始点/H0-进退法的初始进退距/A100,B100-一维搜索中区间端点坐标/E1-一维迭代精度/EP-鲍威尔法的终止迭代精度/ES-罚函数法终止迭代精
31、度void OBJFX();/目标函数子程序void SEEK();/进退法一维搜索区间子程序void GOLD();/黄金分割法子程序void POWELL();/powell法子程序int GAU();/约束条件判断子程序int main(int argc, char* argv)X01=0;X02=0.75;/初值E1=0.001;EP=0.001;ES=0.001;H0=1;N=2;KG=4;R0=0.25;C=4;N1=N+1;JK=0;for(i=1;i=N;i+)Xi=X0i;OBJFX();cout迭代初始值：endl;coutX1=X1 X2=X2 F=FX0endl;cou
32、t约束条件:endl;for(i=1;i=KG;i+)coutgi=-Giendl;LOP:POWELL();if(JK=0)JK=JK+1;R0=C*R0;for(i=1;i=N;i+)X0i=Xi;F00=FX;cout第JK次迭代：endl;coutX1=X1 X2=X2 F=FX0endl;cout约束条件:endl;for(i=1;i=KG;i+)coutgi=-GiES)JK=JK+1;R0=C*R0;for(i=1;i=N;i+)X0i=Xi;F00=FX;cout第JK次迭代：endl;coutX1=X1 X2=X2 F=FX0endl;cout约束条件:endl;for(i=
33、1;i=KG;i+)coutgi=-Giendl;goto LOP;cout第JK+1次迭代，即最优解：endl;coutX1=X1 X2=X2 Fmin=FX0endl;cout约束条件:endl;for(i=1;i=KG;i+)coutgi=-Giendl;return 0;void POWELL()NUM=0;for(i=1;i=N;i+)for(j=1;j=N1;j+)SSij=0;SSii=1;begin:for(i=1;i=N;i+)XX1i=X0i;Xi=XX1i;NUM=NUM+1;OBJFX();F1=FX;F0=F1;DLT=-1;for(j=1;j=N;j+)for(i=1;iDLT)DLT=DF;M=j;SDX=0;for(i=1;iEP)for(i=1;i=N;i+)XX2i=Xi;F2=F;for(i=1;i=N;i+)SSiN+1=Xi-XX1i;Si=SSiN+1;SEEK();GOLD();for(i=1;i=N;i+)XKi=Xi;for(i=1;i=N;i+)XX3i=2*XX2i-XX1i;Xi=XX3i;OBJFX();F3=FX;Q=(F1-2*F2+F3)*
