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1、一.问题的提出通过对阳光木器加工厂生产的办公用方木桌与圆木桌2008年第二季度需求的市场调查,得出他们的需求量,通过对加工厂内部数据的计算分析得出他们的利润指数,通过纪录计算得出库存成本,如下表1:表1 产品需求量、利润及库存产品 需求量利 润(未记库存成本)(元/单位产品)每月库存成本(元/单位产品)长木桌四月五月六月302250540700圆木桌180150700453生产这两种办公桌都必须经过两道工序,分别使用1号和2号 两种机器,1好机器有4台,2号机器有5台,每台机器每月运转的时间为180工时.现假定一月和二月1、2号机器各有一台检修,三月份又一台1号机器和两台2号机器检修,1号机器
2、检修需要100工时,2号机器检修需要150工时,生产一张方木桌需1号机器工时0.9工时,2号机器工时1.2工时;生产圆木桌需1号机器0.5工时，2号机器0.75工时。基于上述考虑，每月的总工时数可得入下表2：表2 1 、2号机器每月提供总工时数 四月五月六月1号机器620620620二号机器750750600又得阳光木器加工厂的仓库容量是100平方米，存储一张方木桌需占面积0.75平方米，每张圆桌需占面积1.2平方米，此季度开始时无库存，计划在本季度结束时，方木桌与圆木桌各库存40张，现在的问题就是如何安排生产计划，能使季度获利最大。二问题的分析2.1变量的设定由本问题理论方法的特点的分析可知
3、，第i种产品在第j月份的生产量可用x 表示；第i种产品在第j月份的销售量可用z 表示，第i种产品在第j月的库存量可用s 表示。本设计只从光明木器加工厂中选取了两种桌子，方木桌和圆木桌，再考虑其一系列的约束条件，最终得出合理的线性规划模型。此问题中生产量，销售量，库存量全是有现实意义的，所以决策变量全都大于等于0。2.2目标函数的建立 问题的主要目标是以光明木器加工厂获净利最大，因此它以最大净利来考虑生产量的合理安排，在问题中利润系数是不变的，但它包含了库存成本。毛利随着产量的增加而增加，同样库存成本也随着产量的增加而销售相对便会不多而增加，为了能获得最大净利润，可以使毛利减去库存成本最大，使它
4、差最大的最优解就是此问题的生产最适安排。这样本问题的目标函数可以表示为：max= 30z+30z+30z+45z+45z+45z-2s-2s-3s-3s2.3限制条件的确定模型中的约束条件反映的是系统内在规律及影响系统的主要限制因素，每个约束条件都有明确的物理内容，因此，对系统的主要限制因素的约束不能遗漏，否则就不可能建立接近现实的模型，得到合理的最优解。2.4机器提供总工时约束为了不影响极其的使用寿命，机器不能长时间不休息一直使用，光明木器加工厂生产方、圆两种木桌也受现有的4台1号机器，5台2号机器提供生产总工时的限制，每张桌子所需的每种机器的工时数，有历史经验早已总结出来，于是该约束条件可
5、表示为：0.9x+0.5x6201.2x+0.75x7500.9x+0.5x6201.2x+0.75x7500.9x+0.5x6201.2x+0.75x6002.5产量、销售量和库存量的平衡约束产量是由厂家自己根据自身的生产能力决定的，但他是受市场需求预测的牵制的而市场的需求决定厂家的销售量，厂家如生产太多，会造成产品囤积，形成大量的库存，增加库存成本，光明木器加工厂必须依据市场合理安排生产，结合查点的数据，约束方程可表示为：x-z-s=0x-z-s=0s+x-z-s=0x+x-z-s=0s+x-z=40s+x-z=402.6仓库容量约束 每个生产厂家受生产规模，自有资金，资源限值得影响，仓库
6、的容量不可能是无限大的，而每个产品的体积又是固定不变的，因此所存储的产品是有限的，光明木器加工厂也不另外，知道了每张桌子的占地面积和仓库的面积可以得出以下约束：0.75s+1.2s1000.75s+1.2s1002.7销路约束市场对产品的需求是有限的，销量再大也不能超出需求量，光明木器加工厂预测2007年第一季度办公桌的需求量，方木桌：一月x=250张，二月x=540张，三月x=700张；圆木桌：一月x=180张，二月x=150张，三月x=700张 因此有以下约束：z250z180z540z150z700z7002.8变量的约束z0, z0 , z0, z0, z0, z0,s0, s 0 ,
7、 s0, s0三数学模型的建立 有前面的分析可知，光明木器加工厂所研究为题的线性规划是使z (i=1,2;j=1,2,3)s (i=1,2;j=1,2)满足条件max= 30z+30z+30z+45z+45z+45z-2s-2s-3s-3sst0.9x+0.5x6201.2x+0.75x7500.9x+0.5x6201.2x+0.75x7500.9x+0.5x6201.2x+0.75x600x-z-s=0z-z-s=0s+x-z-s=0x+x-z-s=0s+x-z=40s+x-z=400.75s+1.2s1000.75s+1.2s100z250z180z540z150z700z700x 0(i
8、=1,2;j=1,2,3),s 0(i=1,2;j=1,2),z 0(i=1,2;j=1,2,3)四模型的求解及解的分析4.1模型的求解 对所建立的模型用求解软件lindo求解，其输入模式为：max= 30z+30z+30z+45z+45z+45z-2s-2s-3s-3sst0.9x+0.5x6201.2x+0.75x7500.9x+0.5x6201.2x+0.75x7500.9x+0.5x6201.2x+0.75x600x-z-s=0x-z-s=0s+x-z-s=0x+x-z-s=0s+x-z=40s+x-z=400.75s+1.2s1000.75s+1.2s100z250z180z540z
9、150z700z700end经软件求解可得：LP OPTIMUM FOUND AT STEP 15 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 76294.16 VARIABLE VALUE REDUCED COST Z 250.000000 0.000000 Z 540.000000 0.000000 Z 234.583328 0.000000 Z 180.000000 0.000000 Z 150.000000 0.000000 Z 700.000000 0.000000 S 133.333328 0.000000 S 218.333328 0.000000 S 0.00000
10、0 28.850002 S 30.000000 0.000000 X 383.333344 0.000000 X 180.000000 0.000000 X 625.000000 0.000000 X 500.000000 1.750000 X 56.250000 0.000000 X 710.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 185.000000 0.000000 3) 155.000000 0.000000 4) 57.500000 0.000000 5) 0.000000 23.333334 6) 214.375000
11、 0.000000 7) 0.000000 25.000000 8) 0.000000 0.000000 9) 0.000000 15.750000 10) 0.000000 -28.000000 11) 0.000000 -15.750000 12) 0.000000 -30.000000 13) 0.000000 -18.750000 14) 0.000000 34.666668 15) 41.500000 0.000000 16) 0.000000 30.000000 17) 0.000000 60.750000 18) 0.000000 2.000000 19) 0.000000 29
12、.250000 20) 465.416656 0.000000 21) 0.000000 26.250000 NO. ITERATIONS= 15 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE Z 30.000000 INFINITY 30.000000 Z 30.000000 INFINITY 2.000000 Z 30.000000 2.000000 26.000000 Z 45.000000
13、 INFINITY 60.750000 Z 45.000000 INFINITY 29.250000 Z 45.000000 INFINITY 26.250000 S -2.000000 INFINITY 18.031250 S -2.000000 2.000000 2.800001 S -3.000000 28.850002 INFINITY S -3.000000 1.750000 60.750000 X 0.000000 INFINITY 18.031250 X 0.000000 28.850002 60.750000 X 0.000000 INFINITY 2.800001 X 0.0
14、00000 1.750000 INFINITY X 0.000000 2.800001 30.000000 X 0.000000 60.750000 1.750000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 620.000000 INFINITY 185.000000 3 750.000000 INFINITY 155.000000 4 620.000000 INFINITY 57.500000 5 750.000000 76.666664 262.000000 6 620.00
15、0000 INFINITY 214.375000 7 600.000000 285.833344 67.500000 8 0.000000 129.166656 383.333344 9 0.000000 21.282051 30.000000 10 0.000000 218.333328 465.416656 11 0.000000 30.000000 21.282051 12 40.000000 234.583328 465.416656 13 40.000000 90.000000 710.000000 14 100.000000 96.875000 99.999992 15 100.0
16、00000 INFINITY 41.500000 16 250.000000 129.166656 250.000000 17 180.000000 21.282051 30.000000 18 540.000000 218.333328 465.416656 19 150.000000 30.000000 21.282051 20 700.000000 INFINITY 465.416656 21 700.000000 90.000000 700.000000看上面结果可知道光明木器加工厂模型对应的最优解为：一月份生产方办公桌x =383.333344张一月份生产圆办公桌x=180.0000
17、00张二月份生产方办公桌x=625.000000张二月份生产圆办公桌x=500.000000张三月份生产方办公桌x=56.250000张三月份生产圆办公桌x= 710.000000张方木办公桌在一、二、三月份的销量分别为：z=250.000000 z=540.000000 z=234.583328圆木办公桌在一、二、三月份的销量分别为：z=180.000000 z=150.000000 z=700.000000方木办公桌一二月底的库存量分别为：s=133.333328 s= 218.333328 圆木办公桌一二月底的库存量分别为：s=0.000000 s=30.000000 光明木器加工厂按照
18、上述方案安排2007年第一季度的办公桌的生产，则它的生产承办最低，最有目标值为76294.16元。4.2解的分析与评价由Lindo软件求得的一组数据是决策变量的取值，其分析见上述，第二组数据是模型中所有的所有松弛变量和剩余变量的取值，在第1、2、3、5、14、19组约束条件中松弛变量大于零，说明1号和2号机器一月份提供的以及1号机器三月份提供的工时未能合理利用，机器工时有剩余，可以想办法再利用，二月份的仓库也未满，可以考虑利用，圆木办公桌在三月份为达到理想水平，还有增加的可能性。 观察上面第三组值，可以得出利润系数的变化只影响检验数和目标函数的值，利润系数在下列范围变化时，最优计划保持不变，但
19、最优目标函数值会变化。利润价值、库存成本系数变化范围如下：方木办公桌在一月份销售量z的利润系数变化范围是(0,+), 方木办公桌在二月份销售量z的利润系数变化范围是 (28,+), 方木办公桌在三月份销售量z的利润系数变化范围是(4,+32), 45-60.75=-15.75而销售量不能为负值，所以圆木办公桌在一月份销售量z的利润系数变化范围是(0,+), 45-29.25=15.75圆木办公桌在二月份销售量z的利润系数变化范围是(15.75,+), 45-26.25=18.75圆木办公桌在三月份销售量z的利润系数变化范围是(18.75,+), 由上可得目标函数的利润系数可能增大，也可能减少，
20、我们应该 找出最合理的内部安排，同时注意外部环境是其利润系数尽可能的增大。 库存成本是使利润减少的系数，因此成半系数是负的：方木办公桌在一月份底库存量s的系数变化范围是(-4.8, 0), 方木办公桌在二月份底库存量s的利润系数变化范围是(-4.8,0)圆木办公桌在一月份底库存量z的利润系数变化范围是(-，0),圆木办公桌在二月份底库存量z的利润系数变化范围是(-63.75,-1.25), 为使净利润最大，成本系数的绝对值越小越好。 生产量虽与利润没有直接的关系，但生产量决定销售量，受库存影响，其对利润也是有限制条件的 ，它随内外部环境的变化而变化，在外界的成本或价格因素没有发生改变，每张桌子
21、的利润也是不变的，如果外部环境变化了，就应该通过了解参数变化对最有解的影响，从而得出新的最有解。五总结由于模型是对真实系统的近似描述，所得最有解也必然是近似结果，因此在实施过程中不可能完全和模型结果相同。此设计通过光明木器加工厂资料的研究分析，得出其贴近的模型，现可将其推广为一般模型，其模型表示如下：求一组变量 （i=1,2,.m）(j=1,2.n)的值使它满足：maxZ= (j=1,2m)=0（=1，2）x0(i=1,2m;j=1,2n),s0(i=1,2m;j=1,2n)z0(i=1,2m;j=1,2n) 由于用Lindo软件进行灵敏度分析时，除了可以得出现在所适用的最优解之外，还可以用灵
22、敏度分析结果，在外部环境不变得情况下，通过调整利润系数使企业获得最大净利润，或在外部环境改变时，在参数变化范围内利用规律得到最有生产安排，使企业获利最大。因上述一般模型是用字母表示的，它可以把两种产品扩大到任意多，月份也可以加到6个月（半年）12个月（一年）。其他的常数企业根据自己的具体情况取得，那么这个模型就可以运用到任何企业的季度生产安排，半年度生产安排，年度生产安排，它可以对任何企业都起到指导，参考作用。 六参考文献：1 运筹学（第二版） 杨茂盛等编著.陕西科学技术出版社.2000年2 运筹学-数据模型决策 徐玖平 胡知能编著.科学出版社.2006年3大型线性目标规划及其应用 成思危等主编.河南科学技术出版社 4适用线形规划及计算程序 何建坤等主编.清华大学出版社1985年
