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1、最小生成树实现各个城市之间的网络线路 学生姓名：OO 指导老师：XX摘 要:最小生成树是数据结构中图的一种重要应用，在图中对于n个顶点的连通网可以建立许多不同的生成树，最小生成树就是在所有生成树中总的代价最小的生成树。本课程设计是以邻接矩阵作为图的存储结构,分别采用Prim和Kruskal算法求最小生成树。Kruskal算法和Prim算法是求最小生成树的常用算法它们分别适用于稠密图和稀疏图。最小生成树的应用非常的广，如矿井通风设计和改造最优化方面以及如何搭建最短的网络线缆, 构建造价最低的通讯网络 。关键词：最小生成树；Kruskal算法；Prim算法，Abstract The minimum
2、 Cost spanning tree data structure is an important application of Chinese, in the picture for n vertex even TongWang can create many different spanning tree, minimum spanning tree is in all spanning tree in the total cost of the minimum spanning tree. This course is designed as a figure of the adjac
3、ency matrix storage structure, we adopt Prim and Kruskal minimum spanning tree algorithm. Kruskal Prim algorithm and minimum spanning tree algorithm is used for the algorithm respectively applicable and sparsely populated. Minimum spanning tree is very wide application in mines, such as the ventilat
4、ion design and modification and optimization in how to set up the shortest cable network, constructing the lowest cost of communications networkKeywords: Minimum Cost Spanning Tree；Kruskal algorithm；Prim algorithm 1 引 言数据结构是计算机科学与技术专业和信息管理与信息系统专业的必修课之一，是一门综合性的专业基础课。本课程较系统地介绍了软件设计中常用的数据结构以及相应的实现算法，如线
5、性表、栈、队列、树和二叉树，图、检索和排序等，并对性能进行分析和比较，内容非常丰富。本课程设计我们要解决的问题是图最小生成树问题。要用到图的先相关数据结构和求最小生成树的两种数据结构算法普里姆算法和克鲁斯卡尔算法，以及储存图的边和点的邻接矩阵。本课程设计要解决的问题构造连通网的最小生成树 ,我们首先要做的是创建一个邻接矩阵，用以来存储图，然后我们要想好怎样利用普里姆算法和克鲁斯卡尔算法来构造最小生成树。把这两种算法写入主函数，调试好程序。最后写好报告。2 设计目的与任务2.1课程设计目的 本课程设计的目的是了解并掌握数据结构与算法的设计方法，具备初步的独立分析和设计能力；初步掌握软件开发过程的
6、问题分析、系统设计、程序编码、测试等基本方法和技能；提高综合运用所学的理论知识和方法独立分析和解决问题的能力；训练用系统的观点和软件开发一般规范进行软件开发。 2.2课程设计的任务 问题描述: 已知一个无向连通网表示n个城市以及城市间可能设置的通信线路，其中网的顶点表示城市，边表示两个城市之间的线路，赋于边上的权值表示相应的代价。对于n个点的连通网能建立许多不同的生成树，每一棵生成树都可以是一个通信网。我们要选择一棵生成树，使总的耗费最小。 3 设计方案3.1需求分析1)建立一个图，其存储方式可以采用邻接矩阵形式，需要定义两个数组，一个存储顶点，一个存储边，存储边的数组表明节点间的连通关系和边
7、的权值；。2)利用普里姆算法和克鲁斯卡尔算法求网的最小生成树3)按顺序输出生成树中各条边以及它们的权值。3.2数据结构分析构造最小生成树的方法：最初生成树为空，即没有一个结点和一条边，首先选择一个顶点作为生成树的根，然后每次从不在生成树中的边中选择一条权值尽可能小的边，为了保证加入到生成树中的边不会造成回路，与该边邻接的两个顶点必须一个已经在生成树中，一个则不在生成树中，若网中有n个顶点（这里考虑的网是一个连通无向图），则按这种条件选择n-1边就可以得到这个网的最小生成树了。详细的过程可以描述为：设置2个集合，U集合中的元素是在生成树中的结点，V-U集合中的元素是不在生成树中的顶点。首先选择一
8、个作为生成树根结点的顶点，并将它放入U集合，然后在那些一端顶点在U集合中，而另一端顶点在V-U集合中的边中找一条权最小的边，并把这条边和那个不在U集合中的顶点加入到生成树中，即输出这条边，然后将其顶点添加到U集合中，重复这个操作n-1次。1) 抽象数据类型(ADT)如下：ADT Graph 数据对象V：v是具有相同特性的数据元素的集合，称为顶点集。数据关系R：R=VR VR=|v,w属于v且p(v,w),(v,w)表示从v到w的弧，谓词p(v,w)定义了弧的意义或信息 基本操作：(1) CreatGraph(&G,V,VR)；初始条件：V是图的顶点集，VR是图中弧的集合。操作结果：按V和VR的
9、定义构造图G。(2) LocateVex(G, u)； 初始条件：图G存在,u和G中顶点有相同的特征。操作结果：若G中存在顶点u，则返回该顶点在图中的位置；否则返回其他信息。(3) DestoryGraph(&u)；初始条件：图G存在。操作结果：销毁图G。(4) GetVex(G, v)；初始条件：图G存在，v是图中某个顶点。操作结果：返回v的值。(5) NextAdjVex(G, v, w)；初始条件：图G存在，v是图中某个顶点，w是v的邻接顶点。操作结果：返回v的（相对于w的）下一个邻接顶点。若w是v的最后一个邻接点，则返回“空”。(6) BFSTraverse(G, Visit( )；初
10、始条件：图G存在，Visit是顶点的应用函数。操作结果：对图进行广度优先遍历。在遍历过程中对每个顶点调用函数Visit一次且仅一次。一旦visit( )失败，则操作失败。2) 存储结构Typedef struct int adj; int weight;AdjMatrixMAXMAX;Typedef struct djMatrix arc; int vexnum, arcnum; MGraph;3) 流程图，如下图所示：2、用prim算法求解最小生成树3、用kruskal算法最最小生成树功能选择开 始1、建立邻接矩阵结 束 图3.1 流程图3.3最小生成树的算法分析在该函数中主要有五段代码块，
11、分别是主函数代码块、邻接矩阵定义模块代码、创建链接矩阵模块代码、最小生成树Prim算法及代价模块代码与最小生成树kruskal算法及代价模块代码，五段代码块分别有着不同的作用，共同满足了课题所需要实现的功能。 1) 主函数模块代码algraph gra; MGraph_L G; int i,d,g2020;char a=a; d=creatMGraph_L(G); vnode v;coutendl注意：若该图为非强连通图(含有多个连通分量)时endl 最小生成树不存在,则显示为非法值endlendl;cout菜单endlendl;cout0、显示该图的邻接矩阵endl;cout1、最小生成树P
12、RIM算法及代价endl;int s; char y=y;while(y=y) cout请选择菜单：s; switch(s)case 0: cout邻接矩阵显示如下：endl; ljjzprint(G); break; case 1: for(i=0;i!=G.vexnum;+i) for(intj=0;j!=G.vexnum;+j) gi+1j+1=G.arcsij.adj; coutprim:endl; prim(g,d); break; coutendly; if(y=n) break; 该主函数用一个循环语句，来执行其它的函数的功能。从键盘输入顶点数和边数上限，再调用定义连接矩阵的函数
13、，后输出创建连接矩阵的信息，再调用creatMGraph（）函数，接着进入菜单，然后再选择输入一个数确定是要输出连接矩阵还是最小生成树及代价，最后选择输入确定字母y或N确定是否继续。 2) 邻接矩阵定义模块代码typedef struct ArcCell int adj; char *info;ArcCell,AdjMatrix2020;typedef struct char vexs20; AdjMatrix arcs; int vexnum,arcnum;MGraph_L;int localvex(MGraph_L G,char v) int i=0; while(G.vexsi!=v)
14、+i; return i;用typedef struct定义连接矩阵，通过二维数组来存储连接矩阵，并设定参数的最大值为20。3) 创建链接矩阵模块代码 int creatMGraph_L(MGraph_L &G) char v1,v2; int i,j,w; cout创建无向图（城市分布图）endl;cout 请输入图G顶点（城市）和弧（边）的个数:(4 6)不包括“()”G.vexnumG.arcnum; for(i=0;i!=G.vexnum;+i) cout输入顶点（城市）iG.vexsi; for(i=0;i!=G.vexnum;+i)for(j=0;j!=G.vexnum;+j) G
15、.arcsij.adj=int_max; G.arcsij.info=NULL; for(int k=0;k!=G.arcnum;+k) cout输入一条边依附的顶点（城市）和权（距离）:(a b 3)不包括“()”v1v2w; i=localvex(G,v1); j=localvex(G,v2); G.arcsij.adj=w; G.arcsji.adj=w; cout图G邻接矩阵创建成功！endl; return G.vexnum;该语句是从键盘输入顶点数和边数，输入顶点和权值，通过循环语句的调用，最后调用creatMGraph_L（）创建连接矩阵 。4) 最小生成树Prim算法及代价模块
16、代码 int prim(int gmax,int n) int lowcostmax,prevexmax; int i,j,k,min;int sum=o; for(i=2;i=n;i+) lowcosti=g1i; prevexi=1; lowcost1=0; for(i=2;i=n;i+) /形成n-1条边的生成树 min=inf; k=0; for(j=2;j=n;j+) if(lowcostjmin)&(lowcostj!=0)min=lowcostj; k=j; printf(%d,%d)%dt,prevexk-1,k-1,min); sum+=min; lowcostk=0; fo
17、r(j=2;j=n;j+) if(gkjlowcostj) lowcostj=gkj; prevexj=k; printf(n); cout最少生成树的代价:; coutsum; return 0; 该语句运用一系列的循环语句来实现的，利用前面的创建好的链接矩阵，通过各边权值的比较，最后调用prim()函数，实现最小生成树的生成，同时运用sum把最小生成树各边权值相加得到最小生成树的代价。5) 最小生成树kruskal算法及代价模块代码 void MiniSpanTree(MGraphA *D)/生成最小生成树 int i, j, n, m, SUM=0; int k = 1;int pare
18、ntM; edge edgesM;for ( i = 1; i vexnum; i+) for (j = i + 1; j vexnum; j+) if (D-arcij.adj = 1) edgesk.begin = i; edgesk.end = j; edgesk.weight = D-arcij.weight; k+;sort(edges, D);for (i = 1; i arcnum; i+) parenti = 0; printf(最小生成树为:n);for (i = 1; i arcnum; i+)/核心部分 n = Find(parent, edgesi.begin); m
19、= Find(parent, edgesi.end);if (n != m) parentn = m; printf( %dn, edgesi.begin, edgesi.end, edgesi.weight);SUM=SUM+edgesi.weight;cout最少生成树的代价:; coutSUM.该语句运用一系列的循环语句来实现的，利用前面的创建好的链接矩阵，通过各边权值的比较，最后调用MiniSpanTree ()函数，实现最小生成树的生成，同时运用sum把最小生成树各边权值相加得到最小生成树的代价。4 调试分析与体会在我组的集体努力下，课程设计终于完成，由于我们对数据结构和c语言不是很
20、了解，有时忽略了一些关键的细节，使得在编写程序的过程中出现了一些问题。对于打字有时粗心导致出现一些难以发现的小错误，在我们的耐心，细致的调试下最终使得程序能够运行，课程设计完满完工。1、问题一：求出图中的最小值 现象：求出的最小值是0原因：图中没有连通的两个顶点之间的权值赋值为02、问题二：求最小生成树时，else语句需再调用一个函数 现象：对某些二叉树能求出最小生成树，但不能普遍适应原因：对于找最小生成树边的各种可能没有考虑全面，代码才没有广泛的适应性3、问题三：两个顶点之间的边是否是最小生成树的边现象：代码的功能不能分辨出是否是最小生成树的边原因：把简单的代码写的很复杂，从而杂乱无章出现错
21、误。5 运行结果将程序员录入后,让其运行。将会出现一个菜单的界面，执行各种操作均有其对应的代码。要执行何种操作只需输入对应的指令即可进行，在每步操作后均会有相应的提示。操作简单方便实用，下面即为一些操作的示意图。运行程序后出界面，运行结果如下图所示：图5.1 初界面图图中有1-3三个选项，可选取其中的一个选项进行操作。选取选项1进行操作，运行结果如下图所示：图5.2 建立邻接矩阵运行图依据提示，分别输入无向图的顶点个数与弧的个数，然后依次输入各个顶点所对应的符号及与各个顶点相关联的弧与权值，存在邻接矩阵中。若选取选项3，运行结果如下图所示： 图5.3 求的最小生成树运行图图中显示了求得的最小生
22、成树所对应的边、权值与最小生成树的代价。结 论经过我们不懈的努力我们终于完成了本次课程设计，通过这次课程设计，我感觉到要真正做出一个程序并不很容易，但只要用心去做，总会有收获，特别是当我遇到 一个问题，想办法去解决，最后终于找到方法时，心里的那份喜悦之情真是难以形容。编写程序中遇到问题再所难免，应耐心探究其中的原因，从出现问题的地方起，并联系前后程序，仔细推敲，逐个排查。直到最终搞清为止。我们本次做的是图的做小生成树问题，深刻的体会到它的实用性。通过本次课程设计我们发现我们对于C语言和数据结构还有很多地方不知道，今后需要努力学习。参考文献1 严蔚敏. 数据结构（C语言版）M. 北京：清华大学出
23、版社,1997.2 谭浩强. C程序设计（第三版）M. 北京：清华大学出版社，2005.1. 3 二霍红卫算法设计与分析西安西安电子科技大学出版社，2005.113-127.4 陈杰.计算机专业课程设计中的需求分析J.集美大学学报，2009，10(2)：8992.5 高一凡. 数据结构算法实现及解析M . 西安:西安电子科技大学出版社, 20026 Pascal之父Niklaus Wirth 算法 + 数据结构 = 程序 科学出版社 20017 苏运霖 数据结构与算法 中南工业大学出版社 20028 徐宝文 李志 谭浩强C 程序设计语言(第二版新版) C+程序设计 机械工业出版社 20049
24、Shaffer 数据结构与算法分析(C+版、JAVA版) 电子工业出版社 1999附录：程序清单#include #include using namespace std; #define int_max 10000#define inf 9999 #define max 20#define MAX 20#define M 20typedef struct ArcCellint adj;char *info;ArcCell,AdjMatrix2020;typedef struct char vexs20;AdjMatrix arcs; int vexnum,arcnum;MGraph;int
25、localvex(MGraph G,char v) int i=0; while(G.vexsi!=v) +i; return i;void ljjzprint(MGraph G) int i,j,n=0; printf(建立的邻接矩阵如下：n); printf(n); printf( _n); for(i=0;i!=G.vexnum;i+) for(j=0;j!=G.vexnum;j+) if(j=0)printf( ); printf(%d,G.arcsij.adj);printf( );n+; if(n=G.vexnum) printf(n);n=0; printf( _n);int c
26、reatMGraph(MGraph &G)char v1,v2; int i,j,w; printf(建立邻接矩阵:n); printf(请输入图G顶点（城市）和弧（边）的个数:); scanf(%d,&G.vexnum); scanf(%d,&G.arcnum); printf(输入所有顶点:); for(i=0;iG.vexsi; for(i=0;iG.vexnum;i+) for(j=0;jG.vexnum;j+) G.arcsij.adj=int_max; G.arcsij.info=NULL; printf(输入所有边及依附的顶点（城市）和权（距离）:n);for(int k=0;k
27、v1v2w; i=localvex(G,v1); j=localvex(G,v2); G.arcsij.adj=w; G.arcsji.adj=w; ljjzprint(G); printf(图G邻接矩阵创建成功！n); return G.vexnum; int visitedmax; int we;typedef struct arcnode int adjvex; struct arcnode *nextarc; char *info; arcnode;typedef struct vnode char data; arcnode *firstarc; vnode,adjlist;type
28、def struct/图的定义 adjlist verticesmax; int vexnum, arcnum; int kind; algraph;int prim(int gmax,int n) /最小生成树PRIM算法 int lowcostmax, prevexmax; int i,j,k,min; int sum=0; for(i=2;i=n;i+) lowcosti=g1i; prevexi=1; lowcost1=0; for(i=2;i=n;i+) min=inf; k=0; for(j=2;j=n;j+) if(lowcostjmin)&(lowcostj!=0) min=l
29、owcostj; k=j; printf(%d,%d)%dt,prevexk-1,k-1,min); sum+=min;lowcostk=0; for(j=2;j=n;j+) if(gkjlowcostj) owcostj=gkj;prevexj=k; printf(n); cout最少生成树的代价:; coutarcnum,&D-vexnum);for (i = 1; i vexnum; i+)/初始化图for ( j = 1; j vexnum; j+) D-arcij.adj = D-arcji.adj = 0;for ( i = 1; i arcnum; i+)/输入边和权值print
30、f(n请输入有边的2个顶点); scanf(%d %d,&n,&m);while(n D-vexnum | m D-vexnum)printf(输入的数字不符合要求 请重新输入:); scanf(%d%d,&n,&m); D-arcnm.adj = D-arcmn.adj = 1; getchar();printf(n请输入%d与%d之间的权值:, n, m); scanf(%d,&D-arcnm.weight);printf(邻接矩阵为:n);for ( i = 1; i vexnum; i+)for ( j = 1; j vexnum; j+)printf(%d ,D-arcij.adj)
31、; printf(n);void sort(edge edges,MGraphA *D)/对权值进行排序int i, j;for ( i = 1; i arcnum; i+)for ( j = i + 1; j arcnum; j+)if (edgesi.weight edgesj.weight) Swapn(edges, i, j);printf(权排序之后的为:n);for (i = 1; i arcnum; i+)printf( %dn, edgesi.begin, edgesi.end, edgesi.weight);void Swapn(edge *edges,int i, int
32、j)/交换权值 以及头和尾int temp; temp = edgesi.begin;edgesi.begin = edgesj.begin; edgesj.begin = temp; temp = edgesi.end;edgesi.end = edgesj.end; edgesj.end = temp;temp = edgesi.weight; edgesi.weight = edgesj.weight;edgesj.weight = temp;void MiniSpanTree(MGraphA *D)/生成最小生成树int i, j, n, m,SUM=0; int k = 1;int
33、parentM; edge edgesM;for ( i = 1; i vexnum; i+)for (j = i + 1; j vexnum; j+)if (D-arcij.adj = 1)edgesk.begin = i; edgesk.end = j; edgesk.weight = D-arcij.weight; k+; sort(edges, D);for (i = 1; i arcnum; i+)parenti = 0; printf(最小生成树为:n);for (i = 1; i arcnum; i+)/核心部分n = Find(parent, edgesi.begin); m
34、= Find(parent, edgesi.end);if (n != m) parentn = m; printf( %dn, edgesi.begin, edgesi.end, edgesi.weight); SUM=SUM+edgesi.weight;cout最少生成树的代价:; cout 0) f = parentf;return f;void main() algraph gra; MGraph G; MGraphA *D; int i,d,m,g2020; char a=a; int s; char y=y; while(y=y) printf( 最小生成树的求法n); print
35、f( _n); printf( | 1.建立邻接矩阵(无向图) |n); printf( | 2.用prim算法求最小生成树(无向图) |n); printf( | 3.用kruskal算法求最小生成树 |n); printf( |_ |n); printf( _请选择相应的菜单(1-3) :); cins; switch(s) case 1: d=creatMGraph(G); vnode v; coutendl注意：若该图为非强连通图(含有多个连通分量)时endl 最小生成树不存在,则显示为非法值endlendl; break; case 2: coutprim算法求解如下：endl; for(i=0;i!=G.vexnum;+i) for(int j=0;j!=G.vexnum;+j)gi+1j+1=G.arcsij.adj; prim(g,d); break; case 3: coutkruskal算法求解如下：endl; D = (MGraphA*)malloc(sizeof(MGraphA); CreatGraph(D); MiniSpanTree(D); break; printf(n); coutendly; if(y=n) break;
