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1、金融数学课程设计 题 目: 股价二叉树模型的生成 学 院： 理学院 班 级： 数学04-1班 学 生 姓 名： 李珈龙 学 生 学 号： 2004026217 指 导 教 师： 2007年 7月 1日课程设计任务书姓名李珈龙班级数学04-1班学号2004026217设计题目股价二叉树模型的生成理论要点假定到期且只有两种可能，在T分为狠多小的时间间隔t，而在每一个t，股票价格变化由S到Su或Sd。如果价格上扬概率为p，那么下跌的概率为1-p，二叉树模型计算复杂，利用表单生成股价二叉树。设计目标通过一组在一段时期内泰亚股份的历史数据计算出二叉树在期权下的定价问题。研究方法步骤1：利用所给数据求出求
2、出它的描述性统计量2：利用Excel表格计算出期权下的期权值。预期结果 通过二叉树，可以通过所给数据算出描述性统计量，从而根据公式求出u,d，利用表单生成股价二叉树计划与进步的安排课程设计安排一周，分四次完成：第一次（1-2天）：上网搜查有关的资料，并开始考虑设计的方法第二次（3-4天）：写论文的前言、摘要、以及理论依据部分第三次 (4-6天)：写论文的问题描述、问题分析以及求解计算部分第四次（7天）：写论文的结论部分以及最后的审核和排版、打印等摘要二项期权定价模型假设股价波动只有向上和向下两个方向，且假设在整个考察期内，股价每次向上(或向下)波动的概率和幅度不变。随着要考虑的价格变动数目的增
3、加，二项式期权定价模型的分布函数就越来越趋向于正态分布，二项式期权定价模型和布莱克-休尔斯期权定价模型相一致。二项式期权定价模型的优点，是简化了期权定价的计算并增加了直观性应用Excel表格计算，不仅方便大量数据的计算，而且直观、简单、易懂，对于金融市场起着较重要的作用。 根据一组泰亚股份数据计算出上涨因子u和下跌因子的d，利用Excel表单生成股价，计算出二叉树各节点的值，画出最终股价二叉树图 关键词 二叉树模型 二叉树图 表单目录摘要错误！未定义书签。错误！未定义书签。题目2一 基本理论错误！未定义书签。二 问题描述5三 问题分析6四 求解计算6五 结论9参考文献10生成股价二叉树一 基本
4、理论 期权定价模型假设股价波动只有向上和向下两个方向，且假设在整个考察期内，股价每次向上(或向下)波动的概率和幅度不变。模型将考察的存续期分为若干阶段，根据股价的历史波动率模拟出正股在整个存续期内所有可能的发展路径，并对每一路径上的每一节点计算权证行权收益和用贴现法计算出的权证价格。对于美式权证，由于可以提前行权，每一节点上权证的理论价格应为权证行权收益和贴现计算出的权证价格两者较大者。二项式期权定价模型建立在一个基本假设基础上，即在给定的时间间隔内，证券的价格运动有两个可能的方向：上涨或者下跌。虽然这一假设非常简单，但由于可以把一个给定的时间段细分为更小的时间单位，因而二项式期权定价模型适用
5、于处理更为复杂的期权。假定到期且只有两种可能，在T分为狠多小的时间间隔t，而在每一个t，股票价格变化由S到Su或Sd。如果价格上扬概率为p，那么下跌的概率为1-p。一般来说，二项期权定价模型的基本假设是在每一时期股价的变动方向只有两个，即上升或下降。BOPM的定价依据是在期权在第一次买进时，能建立起一个零风险套头交易，或者说可以使用一个证券组合来模拟期权的价值，该证券组合在没有套利机会时应等于买权的价格；反之，如果存在套利机会，投资者则可以买两种产品种价格便宜者，卖出价格较高者，从而获得无风险收益，当然这种套利机会只会在极短的时间里存在。这一 证券组合的主要功能是给出了买权的定价方法。与期货不
6、同的是，期货的套头交易一旦建立就不用改变，而期权的套头交易则需不断调整，直至期权到期。二叉树模型的期权定价方法，采用无套利（no arbitrage）假设，由前向后（backward）逐步计算期权价值，二叉树期权定价模型 期权定价模型基于对冲证券组合的思想。投资者可建立期权与其标的股票的组合来保证确定报酬。在均衡时，此确定报酬必须得到无风险利率。期权的这一定价思想与无套利定价的思想是一致的。所谓无套利定价就是说任何零投入的投资只能得到零回报，任何非零投入的投资，只能得到与该项投资的风险所对应的平均回报，而不能获得超额回报（超过与风险相当的报酬的利润）。从Black-Scholes期权定价模型的
7、推导中，不难看出期权定价本质上就是无套利定价。 1979年，科克斯（Cox）、罗斯（Ross)和卢宾斯坦（Rubinsetein）的论文期权定价：一种简化方法提出了二项式模型（Binomial Model），该模型建立了期权定价数值法的基础，解决了美式期权定价的问题。二项式模型的假设主要有：1、 不支付股票红利。2、 交易成本与税收为零。 3、 投资者可以以无风险利率拆入或拆出资金。 4、 市场无风险利率为常数。 5、 股票的波动率为常数。 假设在任何一个给定时间，金融资产的价格以事先规定的比例上升或下降。如果资产价格在时间的价格为，它可能在时间t+t上升至或下降至。假定对应资产价格上升至，期
8、权价格也上升至U，如果对应资产价格下降至，期权价格也降至D。当金融资产只可能达到这两种价格时，这一顺序称为二项程序。漂移率u和d上涨因子 下跌因子 波动率 由Black-Scholes方程告诉我们：可以假定市场为风险中性。即股票预期收益率等于无风险利率r，故 又因股票价格变化符合布朗运动，从而其中，u，是常量，B服从布朗运动利用，又因为股价的上涨和下跌满足 在相等的充分小的t时段内，无论开始时股票价格如何。u，d和p都是常数。（即只与t，r有关，而与S无关）。 股票期权还可分为限制性股票期权、合格的股票期权、不合格的股票期权和激励性股票期权四种类型。限制性股票期权一般是公司以奖励的形式直接向经
9、营者赠送股份，而经营者并不需要向公司支付什么，其限制条件在于当行权者在奖励规定的时限到期前离开公司，公司将会收回这些奖励股份。合格的股票期权一般享有税收方面的优惠，当行权者以低于市场价的价格购买公司股票时，他不需要对差价部份所享有的利益交税;当行权者出售股票时，他所获取的“超额利润”(购买价与市场价之差加上因股票升值所获利之和)只需按长期资本收益交税，而在欧美这种税率最高不超过20%。不合格的股票期权与合格的股票期权的区别在于，它要对购买价与市场价之差的部分在当期按当时税率缴纳所得税。激励性股票期权是为了向经营者提供激励，其形式不仅有着多样性，而且支付和行权方式也因企业不同而不同。但它一般具有
10、税收优惠的特点，从而与合格的股票期权有某些相似性。 股票期权的操作方式是：交易的买方与卖方经商议之后，以支付一笔约定的保证金为代价，取得在一定期限内按协议价格（公平市场价值，即签约当天的股票价格）购买或出售一定数量股票的权利，超过期限，买卖双方的合同义务自动解除。 股票期权行市中的变量包括：买进或卖出股票的协定价格、期限长短、期权费高低。 协定价格与现货价差密切相关：正差越大，期权费越低；负差越大，期权费越高。期限与期权费的高低也相关，期限越长，期权费越高。上涨因子u和下跌因子d相等时的股票价格的二叉树压缩图二叉树定价模型的基本出发点：假设资产价格的运动是由大量的小幅度二值运动构成，用离散的随
11、机游走模型模拟资产价格的连续运动可能遵循的路径。二叉树定价模型与风险中性定价法的内在一致性：二叉树模型与风险中性定价原理相一致，即模型中的收益率和贴现率均为无风险收益率，资产价格向上运动和向下运动的实际概率并没有进入二叉树模型，模型中隐含导出的概率是风险中性世界中的概率，从而为期权定价。二 问题描述 以下是泰亚股份2007年6月11日到6月21日的收盘价格日期收盘价1111.461211.131311.191411.181511.241811.511911.522011.632111.64根据这些数据求上涨因子u和下跌因子d，在选取某一日的收盘价作为初始值，计算股价二叉树。三 问题分析日期收盘
12、价比率描述形态计量1111.460.9712041211.131.005391均值1.0020461311.190.999106标准差0.0147551411.181.0053671511.241.024021最小值0.9712041811.511.000869最大值1.0240211911.521.009549和8.0163672011.631.00086样本数92111.64表1 (6月15日的价格)根据股票数据得到的描述性统计量建立Excel表格得到股票二叉树模型在期权中的定价表：四 求解计算 求出节点价格的实际过程是很繁琐的，在减少这些步骤方面，我们使用表单来计算。表2 空白表单第一步
13、，在H1单元格中输入值11.24，（用鼠标选中单元格，输入11.24，然后按回车键）在敲回车键以后，数值才会出现在单元格H1中。在H1下面做一个二叉树分支。二叉树接下来的两个节点是G2和I2，为生成G2值，选中G2，并输入=.987*H1在按回车键以后，在单元格G2中就会出现一个数值11.09388.表单会将公式保留在单元格G2中将表单保存为“股价树”。我们生成的公式包含了数值d=0.987.假定d值总是输在单元格A6中，在A6中输入.987 ，并在单元格B6中将其标记为d值，可以提醒我们参数d是放在那里的。我们可以对最初的股价用同样的办法进行输入，在A1中输入11.24，并在单元格B1中标记
14、为股价为了利益A 栏的值，将单元格H1改成简单公式，=A1. 同时将单元格I2改成=A1*A6. 如果式中的部分数值不变，我们改变股价或d值得任何一个，G栏和H栏都会相应的改变。就会形成表3表3 有6个输入值的表单这样我们在复制粘贴该表单元格的时候不改变A6的位置，下一步选中单元格G2并点复制键复制公式。在选中新的单元格B3，将公式粘贴上去，回车后在F3中出现10.9574253. 继续将这个初始公式贴在单元格E4，D5和C6中去，位置都处在前一个单元格的左行和下列，这样股价二叉树的一支就填好了，并且该分支可以随d值和股价初值的改变而改变。表4 单支股价二叉树我们可以可以通过u值，完成对其余节
15、点的输入，假定u值在A5单元格，并在B5中标记为“u值”在A5单元格中输入值u值，1.017. 接下来，选中二叉树初始点右下方的节点I2，输入公式=H1*A5， 按回车键得到下表单。 表5 u分支开始后的表单选中I2生成的公式并点复制键。依次在有输入值的单元格的右下方粘贴该公式。如果从H3，I4，这样粘贴下去，就可以得到序列11.28276,11.72781。继续此法将整个二叉树填完整。填完后的二叉树如下表。 表6 最后得到的二叉树表单 11.82 11.62 11.43 11.47 11.28 11.24 11.14 11.09 10.82 10.67 最终的股价二叉树图五 结论 通过二叉树
16、，可以通过所给数据算出描述性统计量，从而根据公式求出u,d,再应用表单计算股价二叉树，二叉树模型是衍生品定价用途比较广泛的一种模型，金融数学中经常遇到用二叉树模型。 二项期权定价模型假设股价波动只有向上和向下两个方向，且假设在整个考察期内，股价每次向上(或向下)波动的概率和幅度不变。模型将考察的存续期分为若干阶段，根据股价的历史波动率模拟出正股在整个存续期内所有可能的发展路径，并对每一路径上的每一节点计算权证行权收益和用贴现法计算出的权证价格。 应用Excel表格计算，不仅方便大量数据的计算，而且直观、简单、易懂，对于金融市场起着较重要的作用。通过表单进而画出表单股票二叉树图以及表单期权二叉树图。参考文献金融数学 机械工业出版社 蔡名超 译Excel在金融模型分析中的应用 人民邮电出版社 刘善存 著金融工程 第一版 高等教育出版社 郑振龙主编期权定价的数学模型和方法 高等教育出版社 姜礼尚著课程设计评阅书课程设计报告评语： 报告成绩： 答辩记录与评语： 答辩成绩： 课程设计总成绩： 教师签名： 年 月 日
