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1、关于和级数型展开式的规律分析【摘要】： 众所周知，的幂级数展开形式为： 其中，取时，得到： 下面，我们问：级数 ， ， ， ， 是什么？事实上，研究幂函数级数更为方便，因为我们可以用微积分作工具。对 令 ，由于右端幂级数的收敛半径为：，故对有定义。特别地，当时，有 。本文通过计算论证，得出： ，其中是关于的一个次多项式这一结论。将多项式的系数作成一个无穷阶的矩阵： ，文中对矩阵的各行、列、斜方向进行分析、总结，从而得出结论。【关键词】：幂级数的展开；微积分；递推公式；多项式；矩阵About and series type expansion analysis of the lawxxxGrad
2、e 2009, Math class, mathematics and applied mathematics major，School of Mathematics & Computer science of xxxxxxxInstructor:xxAbstract: As everyone knows , form of power series expansion :Among them, take , are:Below, we ask: what is the progression ， ， ， ， .In fact, research of the power function p
3、rogression more convenient, because we can use calculus as a tool.For , , due to the radius of convergence of the right end power series are as follows: , Therefore, to is defined.In particular, when , .Demonstrated by calculation, this paper concludes that: , Among them is about x k polynomial of t
4、he conclusion.Will of polynomial coefficient into a matrix of infinite order, remember to , of the matrix rows, columns and oblique direction of analysis, summarized, to draw conclusions.Key words: The development of power series ; Differential and integral calculus ;The recursive formula ; Polynomi
5、al ; Matrix 在微积分中，我们知道：更一般地，有：下面，我们首先来研究，当时， ：令 猜想1： 其中 。下面，我们需要验证猜想1是否正确。答案：猜想1正确。在验证猜想1之前，我们先来讨论当时的情形，即当时，有：令 由微积分知： 有上述运算可得下面定理：定理1 ：满足下列递推公式： 证明： ， 。 由定理1可知：由上述计算，我们猜想2： 其中，是关于的多项式。下面我们来验证猜想2是否正确。因为 所以 则 所以 综上，有以下定理：定理2 ：满足下列递推公式： 证明：见上述分析。有定理2知： 于是，有 故，有成立，且是关于的次多项式。由上述分析，我们可以归纳为：将多项式的系数排列成一个无穷
6、阶矩阵 ，即：当时，有以下关系：因为 所以 即： 据此，我们验证了猜想1是正确的。一般地，有：当时， ；当时,， ，因为 所以 故 其中 ， 。下面，我们对无穷阶矩阵作以下分析：I、纵向关系（列关系） 当时， 符合条件 故有：II、斜向关系（对角线关系） 当时， 即： 故有： III、横向关系（行关系） 第一行： 第二行： 第三行： 第四行： 第五行： 第六行： 第行： 当时， 即： 其中不存在 其中不存在所以时，条件满足。故有： 其中为行数且 综上述三种情况分析，我们有以下计算公式： 其中 ， 。总结： 本文通过计算找规律的方法，得出幂级数函数的递推公式，即定理1。本文还验证了两个猜想，使文
7、章更加严密。 本文通过计算论证，得出： ，其中是关于的一个次多项式这一结论。在定理1的基础上我们得到了关于多项式的递推公式，即定理2。将多项式的系数作成一个无穷阶的矩阵： ，文中对矩阵的各行、列、斜方向进行分析、总结，从而得出： 其中 ， 的结论。 致谢 在大学四年的学习过程中，我得到了数学系各位领导、老师及班级同学的热心帮助和支持，使我能够在以优异的成绩完成学业之余,自身综合能力也得到了极大限度的提高在此谨向他们表示我最衷心的感谢！大学的学习生活将会是我人生扬帆起航的重要的基石! 感谢我的指导老师xx老师，他严谨细致、一丝不苟的作风是我工作、学习的榜样；他循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我
8、无尽的启迪;他严谨治学的态度使我受益匪浅.在论文写作的这段时间里,他时刻关心着我的论文完成情况,并时常给我指出论文中的缺点和需要改进的地方,最后才能使得我顺利完成论文。 感谢和我一起走过大学四年的好朋友们,是他们一路的陪伴与爱护,才有了我现在的成绩他们是我成长的见证,有着值得我永远珍惜的友情他们的待人处事,治学态度将会影响我的一生在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的老师、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意！再次对指导老师表示最诚挚的谢意和祝福！参考文献1 华东师范大学数学系.数学分析（下册）M.第三版.北京：高等教育出版社，200
9、1（2009 重印）.2 易大义，沈云宝，李有法.计算方法M.第二版.杭州：浙江大学出版社，2007.1（2010.7重印).3 筑生.数学分析新讲M.北京:北京大学出版社,1990.4 刘玉莲,傅沛仁.数学分析讲义M.第二版.北京:高等教育出版社,1996.5 刘鸿基.数学分析习题讲义M.江苏:中国矿业大学出版社,1999.6 石建成,李佩芝,徐文雄.高等数学例题与习题集M.西安:西安交通大学出版社,2002.7 李惜雯.数学分析例题解析及难点注释M.西安:西安交通大学出版社,2004.8 周建莹,李正元.高等数学解题指南M.北京:北京大学出版社,2002.9 刘剑秋,徐绥,高立仁.高等数学习题集(上)M.天津:天津大学出版社,1987.10 张贤科，许甫华.高等代数M.清华大学出版社，1998.11 张禾瑞, 高等代数M.北京：高等教育出版社，1989，7.
