华罗庚学校五级数学(上册）教材（第18讲共15讲） .doc

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1、本系列共 15 讲第一讲数的整除问题.一 基本概念和知识1整除约数和倍数一般地，如 a、b、c 为整数，b0，且 ab = c，即整数 a 除以整数 b（b0），除得的商 c 正好是整数而没有余数（或者说余 数是 0），我们就说，a 能被 b 整除（或者说 b 能整除 a）。记作 b a。否则，称为 a 不能被 b 整除（或 b 不能整除 a）。如果整数 a 能被整数 b 整除，a 就叫做 b 的倍数，b 就叫做 a的约数（或因数）。2数的整除性质性质 1：如果 a、b 都能被 c 整除，那么它们的和与差也能被 c整除。性质 2：如果 b 与 c 的积能整除 a，那么 b 与 c 都能整除 a

2、。 性质 3：如果 b、c 都能整除 a，且 b 和 c 互质，那么 b 与 c 的积能整除 a。性质 4：如果 c 能整除 b，b 能整除 a，那么 c 能整除 a。3数的整除特征 能被 2 整除的数的特征：个位数字是 0、2、4、6、8 的整数。 能被 5 整除的数的特征：个位是 0 或 5。 能被 3（或 9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被 3（或 9）整除。 能被 4（或 25）整除的数的特征：末两位数能被 4（或 25） 整除。 能被 8（或 125）整除的数的特征：末三位数能被 8（或 125） 整除。 能被 11 整除的数的特征：这个整数的奇数数位上的数字之 和与偶数数位上

3、的数字之和的差（大减小）是 11 的倍数。 能被 7（11 或 13）整除的数的特征：一个整数的末三位数 与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被 7（11 或 13）整除。二 例题例 1：已知 451993yx，求所有满足条件的六位数1993 。yx解： 45=59， 根据整除“性质 2”可知y51993x，91993，yx y 可取 0 或 5。当 y=0 时，根据 9当 y=5 时，根据 91993yxy1993x及数的整除特征可知 x=5；及数的整除特征可知 x=9。 满足条件的六位数是 519930 或 919935。例 2：李老师为学校一共买了 28 支价格相同的钢笔，共付

4、人民 币 9.2元，已知处数字相同，请问每支钢笔多少元？解： 9.2元=92分28=47 根据整除“性质 2”可知4 和 7 均可能整除 92。42，可知处只能填 0 或 4 或 8。因为 7 不能整除 9020，7 不能整除 9424，所以处不能填 0 和 4；因为 79828，所以处应该填 8。 又因为 9828 分=98.28 元所以 98.2828=3.51（元）答：每支钢笔 3.51 元。例 3：已知整数 1 2 3 4 5a a a a a能被 11 整除，求所有满足这个条件的整数。解： 11 1 2 3 4 5 ，a a a a a 根据能被 11 整除的数的特征可知：12345

5、 的和与 5a 之差应是 11 的倍数，即：11（155a），或 11（5a15）。但是 155a=5（3a）， 5a15=5(a3)，又（5，11）=1，因 此 11(3a)或 11(a3).又 a 是数位上的数字， a 只能取 09， 所以只有 a=3 才能 11（3a）或 11（a3）。 即当 a=3 时，11155a。 符合题意的整数只有 1323334353。例 4：把三位数 3ab接连重复地写下去，共写 1993 个 3，所ab得的数33.3ab abab(1993个3)ab恰是 91 的倍数，求=？ab解： 91=713，且（7，13）=1， 7 能整除 33.3ab abab，

6、13 能整除 33.3。ab abab根据一个数能被 7 或 13 整除的特征可知：原数33.3ab abab能被 7 以及 13 整除，当且仅当 3.3abab（1992 组3ab）3ab能被 7 以及 13 整除，也就是3.3000 （1991 组）能被 7 以及 13 整除。abab因为（7，10）=1，（ 13，10）=1，所以 7 能整除 3.3000（1991abab组 ），13 能整除 3.3000（1991 组），也就是 7 能整除 3.3（1991abab组 ）， 13 能整除 3.3abababab（1991 组），因此，用一次性质（特征），就去掉了两组 3ab；反复使用性

7、质 996 次，最后转化成：原数能被 7以及 13 整除当且仅当 3ab 能被 7 以及 13 整除。又 91的倍数中小于 1000的只有914=364的百位数字是 3，3=364，=64。abab例 5：在 865 后面被上三个数字，组成一个六位数，使它能分 别被 3、4、5 整除，且使这个数值尽可能的小。分析设补上数字后的六位数是 865abc，因为这个六位数能分别被 3、4、5 整除，所以它应该满足以下三个条件：第一，数字和（865abc）是 3 的倍数； 第二，末两位数字组成的两位数是 4 的倍数；bc第三，末位数字 c 是 0 或 5。因为能被 4 整除的数的个位数字不可能是 5，所

8、 以 ，c 只能取 0， 因而 b 只能取自 0，2，4，6，8 中之一。又因为 3 8650 ，且（865）除以 3 余 1，ab所以 ab 除以 3 余 2。 为满足题意“数值尽可能小”，只需取 a=0,b=2. 所以，要求的六位数是 865020。例 6： 求能被 26 整除的六位数分析因为 26=213，1991。yxy所以 1991x能分别被 2 和 13 整除。所以，解此题可以从 21991yx入手考虑。解：因为 21991yxy所以，y 可能取 0，2，4，5，6，8。又因为 131991，x所以，13 能整除19与91yx的差。当 y=0 时，由于 13910，而 13 又要整

9、除19 与 910 之差，x所以，13又因为19 。x19 =100x+19=（713+9）x+19=713x+9x+13+6,x所以，根据整除“性质 1”，有 139x+6.经试验可知只有当 x=8 时，139x+6.所以，当 y=0 时，符合题意的六位数是 819910。当 y=2 时，因为 1319912 ，所以 13 整除x19 与（910+2）之x差，也即 13 整除19 与 2 之差；与前相仿，x19 =713x+13+9x+6，x所以 13 整除 9x+6-2.即：139x+4。经试验可知只有当 x=1 时，139x+4.所以，当 y=2 时，符合题意的六位数是 119912。同

10、理，当 y=4 时，139x+6-4，即 139x+2. 经试验可知当 x=7 时，139x+2.所以，当 y=4 时，符合题意的六位数是 719914.同理，当 y=6 时，139x+6-6，即 139x.经试验可知 x 无解（因为 x 是1991yx的最高位数码，x0）.所以，当 y=6 时，找不到符合题意的六位数。同理，当 y=8 时，139x+6-8，即 139x-2。 经试验只有当 x=6 时，139x-2。所以，当 y=8 时，符合题意的六位数是 619918。答：满足本题条件的六位数共有 819910、119912、719914 和619918 四个。习题一1，已知 72x931

11、y，求满足条件的五位数。2，已知五位数 154xy 能被 8 和 9 整除，求 xy 的值。3，若五位数 32x5y 能同时被 2、3、5 整除，试求满足条件的所 有这样的五位数。4，将自然数 1、2、3、4、5、6、7、8、9 依次重复写下去组 成一个 1993 位数，这个数能否被 3 整除？5，一本陈老帐上记着：72 只桶，共67.9元。这里处字迹不清，请把处数字补上，并求桶的单价。6，证明：任意一个三位数连着写两次得到一个六位数，这个 六位数一定能同时被 7、11、13 整除。本系列共 15 讲第二讲 质数、合数和分解质因数.一基本概念和知识1质数和合数一个数除了 1 和它本身，不再有别

12、的约数，这个数叫做质数（也 叫做素数）。一个数除了 1 和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。 要特别记住：1 不是质数，也不是合数。2质因数与分解质因数 如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 二例题例 1：三个连续自然数的乘积是 210，求这三个数。 210=2357 可知这三个数是 5、6、7。例 2：两个质数的和是 40，求这两个质数的乘积的最大值是多 少？解：把 40 表示为两个质数的和，共有三种形式：40=1723=1129=3371723=3911129=319337=111，所求的最大值是 391。例 3：自然数 123456789 是质数，还是合数？

13、为什么？ 解：123456789 是合数。因为它除了约数 1 和它本身，至少还有约数 3，所以它是一个 合数。例 4：连续 9 个自然数中至多有几个质数？为什么？ 解：如果这连续九个自然数在 1 与 20 之间，那么显然其中最多有 4 个质数（如：19 中有 4 个质数 2、3、5、7）。 如果这连续的九个自然数中最小的不小于 13，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有 5 个。这 5 个奇数中必只 有一个个位数是 5，因而 5 是这个奇数的一个因数，即这个奇数是 合数。这样，至多另 4 个奇数都是质数。综上所述，连续九个自然数中至多有 4 个质数。例 5：把 5、6、7、14、1

14、5 这五个数分成两组，使每组数的乘 积相等。解： 5=5，7=7，6=23，14=27，15=35。 这些数中质因数 2、3、5、7 各共有 2 个，所以如把 14（=27）放在第一组，那么 7 和 6（=23）只能放在第二组，继而15（=35）只能放在第一组，则 5 必须放在第二组。 这样，1415=210=567。 这五个数可以分为 14 和 15，5、6 和 7 两组。例 6：有三个自然数，最大的比最小的大 6，另一个是它们的 平均数，且三数的乘积是 42560。求这三个自然数。分析先大概估计一下，303030=27000，远小于 42560，404040=64000，远大于 42560

15、。因此，要求的三个自然数在 3040 之间。解：42560=265719=25（57）（192）=323538（合题意） 要求的三个自然数分别是 32、35 和 38。例 7：有三个自然数 a、b、c，已知 ab=6，bc=15，ac=10。 求 abc 是多少？解： 6=23，15=35，10=25。 (ab)(bc)(ac)=(23)(35)(25) a2b2c2=223252 (abc)2=(235)2 abc=235=30在例 7 中有 a2=22,b2=32,c2=52，其中 22=4，32=9，52=25，像 4、9、25 这样的数，推及一般情况，我们把一个自然数平方所得到的 数叫

16、做完全平方数或叫做平方数。如：12=1，22=4，32=9，42=16，112=121，122=144，其 中 1，4，9，16，121，144，都叫做完全平方数。下面让我们观察一下，把一个完全平方数分解质因数后，各质 因数的指数有什么特征。例：把下列各完全平方数分解质因数。9，36，144，1600，275625。解： 9=3236=22 32144=32 241600=26 52275625=325472可见，一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数均是偶 数。反之，如果把一个自然数分解质因数之后 ，各个质因数的指 数都是偶数，那么这个自然数一定是完全平方数。如上例中，36=62，144

17、=122，1600=402，275625=5252。例 8：一个整数 a 与 1080 的乘积是一个完全平方数，求 a 的最小值与这个完全平方数。分析 a 与 1080 的乘积是一个完全平方数。 乘积分解质因数后，各质因的指数一定全是偶数。 解： 1080a=23335a，又 1080=23335 的质因数分解中各质因数的指数都是奇 数。 a 必含质因数 2、3、5，因此，a 最小为 235。 1080a=1080235=108030=32400。 答：a 的最小值为 30，这个完全平方数是 32400。 例 9：360 共有多少个约数？分析360=23325为了求 360 有多少个约数，我们

18、先来看 325 有多少个约数， 然后再把所有这些约数分别剩以 1、2、22、23，即得到 23325（=360）的所有约数。为了求 325 有多少个约数，可以先求出 5 有多少个约数，然后再把这些约数分别乘以 1、3、32，即得到 325 的所有约数。解：记 5 的约数个数为 Y1，325 的约数个数为 Y2。360（=23325）的约数个数为 Y3。 由上面的分析可知：Y3=4Y2，Y2=3Y1，显然 Y1=2（5 只有 1 和 5 两个约数）。 因此 Y3=4Y2=43Y1=432=24。 所以，360 共有 24 个约数。Y3=4Y2 中的“ 4 ”即为“1、2、22、23”中数的个数，

19、也就 是其中 2 的最大指数加 1，也就是 360=23325 中质因数 2 的个 数加 1；Y2=3Y1 中的“3”即为“1、3、32”中数的个数，也就是23325 中质因数 3 的个数加 1；而 Y1=2 中的“2”即为“1、5” 中数的个数，即 23325 中质因数 5 的个数加 1。因此Y3=（31）（21）（11）=24。 对于任何一个合数，用类似于 23325（=360）的约数个数的讨论方式，我们可以得到一个关于求一个合数的约数个数的重要 结论：一个合数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的 个数（即指数）加 1 的连乘积。例 10：求 240 的约数的个数。 解： 240

20、=243151， 240 的约数的个数是：（41）（11）（11）=20 个， 240 有 20 个约数。请你列举一下 240 的所有约数，再数一数，看一看是否是 20个？习题二1边长为自然数，面积为 105 的形状不同的长方形共有多少种？211112222 个棋子排成一个长方阵，每一横行的棋子数比每一 竖列的棋子数多 1 个。这个长方阵每一横行有多少个棋子？3五个相邻自然数的乘积是 55440，求这五个自然数。4自然数 a 乘 338，恰好是自然数 b 的平方。求 a 的最小值以 及自然数 b。5求 10500 的约数共有多少个？本系列共 15 讲第三讲最大公约数和最小公倍数.文档贡献者：

21、与 你 的 缘一基本概念和知识1公约数和最大公约数 几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个 ，叫做这几个数的最大公约数。2公倍数和最小公倍数 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个 ，叫做这几个数的最小公倍数。3互质数如果两个数的最大公约数是 1，那么这两个数叫做互质数。 二例题例 1：用一个数去除 30、60、75，都能整除，这个数最大是多 少？分析 要求的数去除 30、60、75 都能整除， 要求的数是 30、60、75 的公约数。 又 要求符合条件的最大的数， 就是求 30、60、75 的最大公约数。解 ：（ 30，60，75）=15所以，这个数最大是 1

22、5。例 2：一个数用 3、4、5 除都能整除，这个数最小是多少？ 分析由题意可知，要求求的数是 3、4、5 的公倍数，且是最小公倍数。解： 3，4，5=60， 用 3、4、5 除都能整除的最小的数是 60。例 3：有三根铁丝，长度分别是 120 厘米、180 厘米和 300 厘 米。现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最 长多少厘米？一共可以截成多少段？分析要截成相等的小段，且无剩八，每段长度必是 120、180、300 的公约数；又每段要尽可能长，要求的每段长度就是 120、180、300 的最大公约数 。 解：（120，180，300）=60，每小段最长 60 厘米。120

23、601806030060=235=10（段） 答：每段最长 60 厘米，一共可以截成 10 段。例 4：加工某种机器零件，要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成 3 个零件，第二道工序每个工人每小时可完成 10个，第三道工序每个工人每小时可完成 5 个。要使加工生产均衡， 三道工序至少各分配几个工人？分析要使加工生产均衡，各道工序生产的零件总数应是 3、10 和 5 的公倍数。要求三道工序“至少”要多少工人，要先求 3、10 和 5 的最小公倍数。解：3，10，5=30各道工序均应加工 30 个零件。303=10（人）3010=3（人）305=6（人）答：第一道工序至少要分配 10 人

24、，第二道工序至少要分配 3 人，第三道工序至少要分配 6 人。例 5：一次会餐供有三种饮料。餐后统计，三种饮料共用了 65 瓶：平均每 2 个人饮用一瓶 A 饮料，每 3 个人饮用一瓶 B 饮料，每4 个人饮用一瓶 C 饮料。问参加会餐的人数是多少人？分析由题意可知，参加会餐人数应是 2、3、4 的公倍数。 解：2，3，4=12参加会餐人数应是 12 的倍数。又122123124=13（瓶）可见 12 个人要用 6 瓶 A 饮料，4 瓶 B 饮料，3 瓶 C 饮 料，共用 13 瓶饮料。又6513=5参加会餐的总人数应是 12 的 5 倍。125=60（人） 答：参加会餐的总人数是 60 人。

25、例 6：一张长方形纸，长 2703 厘米，宽 1113 厘。要把它截成 若干个同样大小的正方形，纸张不能有剩余且正方形的边长要尽可 能大。问：这样的正方形的边长是多少厘米？分析由题意可知，正方形的边长即是 2703 和 1113 的最大公 约数。在学校，我们已经学过用短除法求两个数的最大公约数，但 有时会遇到类似此题情况，两个数除了 1 以外的公约数一下子不好 找到，但又不能轻易断定它们是互质数。怎么办？在此，我们以例6 为例介绍另一种求最大公约数的方法。 对于例 6，可做如下图解：从图中可知：在长 2703 厘米、宽 1113 厘米的长方形纸的一端 ，依次裁去以宽（1113 厘米）为边长的正

26、方形 2 个，在裁后剩下的长1113 厘米、宽 477 厘米的长方形中，再裁去以宽（477 厘米）为边 长的正方形 2 个，然后又在裁剩下的长方形（长 477 厘米，宽 159 厘米）中，以 159 厘米为边长裁正方形，恰好裁成 3 个，且无剩余 。 因此可知，159 厘米是 477 厘米、1113 厘米和 2703 厘米的约数， 所以裁成同样大的，且边长尽可能长的正方形的边长应是 159 厘米 。 所以，159 厘米是 2703 和 1113 的最大公约数。让我们把图解过程转化为计算过程，即：27031113，商 2 余 477；1113477，商 2 余 159；477159，商 3 余

27、0。 或者写为：2703=21113477，1113=2477159，477=3159。当除数为 0 时，最后一个算式中的除数 159 就是原来两个数2703 和 1113 的最大公约数。 可见，477=1593，1113=15932159=1597，2703=15972477=159721593=15917。又因为 7 和 17 是互质数，所以 159 是 2703 和 1113 的最大公 约数。我们把这种求最大公约数的方法叫做辗转相除法。辗转相除法 的优点在于它能在较短的时间内求出任意两个数的最大公约数。例 7：用辗转相除法求 4811 和 1981 的最大公约数。 解：因为 4811=2

28、1981849，1981=2849283，849=3283。所 以 ，（4811，1981）=283。 补充说明：如果要求三个或更多的数的最大公约数，可以先求出其中任意两个数的最大公约数，再求这个公约数与另外一个数的 最大公约数，这样求下去，直至求得最后结果。也可以直接观察，依次试公有的质因数。例 8：求 1008、1260、882 和 1134 四个数的最大公约数是多 少？解：因为（1260，1008）=252，（882，1134）=126， 又（252，126）=126，所 以 ，（1008，1260，882，1134）=126。 求两个数的最小公倍数，除了用短除法外，是否也有其他方法呢？

29、请看例 9。例 9：两个数的最大公约数是 4，最小公倍数是 252，其中一 个数是 28，另一个数是多少？解：设要求的数为 x，则有：所以，x=4y28=47 所以，28x=4y47又因为 4 是 x 和 28 的最大公约数，（y，7）=1， 所以 4y7 是 x 和 28 的最小公倍数。 所以，x28=4252所以，x=425228=36所以，要求的数是 36。通过例 9 的解答过程，不难发现：如果用 a 和 b 表示两个自然 数，那么这两个自然数的最大公约数与最小公倍数关系是：(a，b)a，b=ab. 这样，求两个数的最小公倍数的问题，即可转化成先求两个数的最大公约数，再用最大公约数除两个

30、数的积，其结果就是这两个 数的最小公倍数。例 10：求 21672 和 11352 的最小公倍数。 解：因为（21672，11352）=1032（1032 可用辗转相除法求得） 所以，21672，11352=21672113521032=238392。答：21672 和 11352 的最小公倍数是 238392。习题三1甲数是乙数的三分之一，甲数和乙数的最小公倍数是 54，甲 数是多少？乙数是多少？2一块长方形地面，长 120 米，宽 60 米，要在它的四周和四角 种树，每两棵树之间的距离相等，最少要种树苗多少棵？每 相邻两棵之间的距离是多少米？3已知两个自然数的积是 5766，它们的最大公约

31、数是 31，求这两个自然数。4兄弟三人在外面工作，大哥 6 天回家一次，二哥 8 天回家一 次，小弟 12 天回家一次。兄弟三人同时在十月一日回家，下 一次三人再见面要再过多少天？5将长 25 分米，宽 20 分米，高 15 分米的长方体木块锯成完全 一样的尽可能大的立方体，不能有剩余，每个立方体的体积 是多少？一共可锯多少块？6一箱地雷，每个地雷的重量相同，且都是超过 1 的整千克数， 去掉箱子后地雷净重 201 千克，拿出若干个地雷后，净重 183 千克。求一个地雷的重量。本系列共 15 讲第四讲带余数的除法.文档贡献者： 与 你 的 缘前面我们讲到除法中被除数和除数的整除问题。除此之外，

32、例如：163=51，即 16=531，此时，被除数除以除数出现了 余数，我们称之为带余数的除法。一般地，如果 a 是整数，b 是整数（b0），那么一定有另外 两个整数 q 和 r，0rb，使得 a=bqr.当 r=0 时，我们称 a 能被 b 整除。当 r0 时，我们称 a 不能被 b 整除，r 为 a 除以 b 的余数，q 为 a 除以 b 的不完全商（亦简称为商）。 用带余除式又可以表示为 ab=qr，0rb.一例题例 1：一个两位数去除 251，得到的余数是 41，求这个两位数 。 分析这是一道带余数的除法题，且要求的数是大于 41 的两位数，解题可从带余除式入手分析。 解： 被除数除数

33、=商余数， 即被除数=除数商余数，251=除数商41，25141=除数商，210=除数商。210=2357，210 的两位数的约数有 10、14、15、21、30、35、42、70， 其中 42 和 70 大于 41。所以除数是 42 或 70，即要求的两位数是 42 或 70。例 2：用一个自然去除另一个整数，商 40，余数是 16。被除 数、除数、商与余数的和是 933，求被除数和除数各是多少。解：被除数=除数商余数， 即被除数=除数4016。由题意可知：被除数除数=9334016=877，（除数4016）除数=877，除数41=87716=861， 除数=86141=21。被除数=214

34、016=856。 答：被除数是 856，除数是 21。例 3：某年的十月里有 5 个星期六，4 个星期日，问这年的 10 月 1 日是星期几？解：十月份共有 31 天，每周共有 7 天。31=743，根据题意可知：有 5 天的星期数必然是星期四、星期五和 星期六。这年的 10 月 1 日是星期四。例 4：3 月 18 日是星期日，从 3 月 17 日作为第一天开始往回 数（即 3 月 16 日第二天，3 月 15 日第三天）的第 1993 天是星期 几？解：每周有 7 天，19937=284（周）5（天） 从星期日往回数 5 天是星期二，所以第 1993 天必是星期二。 例 5：一个数除以 3

35、 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 2，求适合此条件的最小数。 这是一道古算题，它早在孙子算经中有记载：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何” 关于这道题的解法，在明朝就流传一首解题之歌：“三人同行 七十稀，五树梅共廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。” 意思是，用除以 3 的余数乘以 70，用除以 5 的余数乘以 21，用除 以 7 的余数乘以 15，再把三个乘积相加。如果这三个数的和大于105，那么就减去 105，直至小于 105 为止。这样就可以得到满足条 件的解。其解法如下：方法一：270321215=2332331052=23 符合条件的最小

36、自然数是 23。例 5 的解答方法不仅就这一种，还可以这样解： 方法二：3，72=2323 除以 5 恰好余 3。 所以，符合条件的最小自然数是 23。方法 2 的思路是什么呢？让我们再来看下面两道例题。例 6：一个数除以 5 余 3，除以 6 余 4，除以 7 余 1，求适合条 件的最小自然数。分析“除以 5 余 3”即“加 2 后被 5 整除”，同样“除以 6 余 4”即“加 2 后被 6 整除”。解：5，62=28，即 28 适合前两个条件。 想：285，6？之后能满足“被 7 除余 1”的条件？285，64=148，148=2171， 又 148210=5，6，7 所以，适合条件的最小

37、自然数是 148。例 7：一个数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 4，求符合条 件的最小自然数。解：想23？之后能满足“被 5 除余 3”的条件？232=8。再想：83，5？之后能满足“被 7 除余 4”的条件？83，53=53。 所以，符合条件的最小的自然数是 53。 归纳以上两例题的解法为：逐步满足条件法。当找到满足某个条件的数后，为了再满足另一个条件，需做数的调整，调整时注意 要加上已满足条件中除数的倍数。解这类题目还有其他方法，将会在有关“同余”部分讲到。 例 8：一个布袋中装有小球若干个。如果每次取 3 个，最后剩1 个；如果每次取 5 个或 7 个，最后都剩 2 个

38、。布袋中至少有小球 多少个？解：25，71=37（个）37 除以 3 余 1，除以 5 余 2，除以 7 余 2，布袋中至少有小球 37 个。例 9：69、90 和 125 被某个自然数 N 除时，余数相同，试求 N 的最大值。分析在解答此题之前，我们先来看下面的例子：15 除以 2 余 1，19 除以 2 余 1，即15 和 19 被 2 除余数相同（余数都是 1）。但是，1915 能被 2 整除。 由此我们可以得到这样的结论：如果两个整数 a 和 b，被自然数 m 除的余数相同，那么这两个数之差（大小）一定能被m 整除 。 反之，如果两个整数之差恰被 m 整除，那么这两个整数被 m 除的余

39、数一定相同。例 9 可做如下解答：三个整数被 N 除余数相同，N（9069），即 N21；N（ 12590），即 N35；N 是 21 和 35 的公约数。要求 N 的最大值，N 是 21 和 35 的最大公约数。21 和 35 的最大公约数是 7，N 最大是 7。习题四1用一个自然数去除另一个自然数，不完全商是 8，余数是 16。被除数、除数、商、余数这四个数的和为 463，求除数。2某数除以 3 余 1，除以 4 余 2，除以 5 余 3，除以 6 余 4，这 个数最小是多少？3某数除以 8 余 3，除以 9 余 4，除以 12 余 7。在 1000 以内这样的数有哪几个？4用卡车运货，每

40、次运 9 袋余 1 袋，每次运 8 袋余 3 袋，每次 运 7 袋余 2 袋。这批货至少有多少袋？557、96、148 被某自然数除，余数相同，且不为 0。求 284 被 这个自然数除的余数。本系列共 15 讲第五讲奇数与偶数及奇偶性的应用.文档贡献者： 与 你 的 缘一基本概念和知识1奇数和偶数整数可以分成奇数和偶数两大类。能被 2 整除的数叫做偶数， 不能被 2 整除的数叫做奇数。偶数通常可以用 2k（k 为整数）表示，奇数则可以用 2k+1(k为整数)表示。特别注意，因为 0 能被 2 整除，所以 0 是偶数。2奇数与偶数的运算性质 性质 1：偶数偶数=偶数 奇数奇数=偶数性质 2：偶数

41、奇数=奇数性质 3：偶数个奇数相加得偶数 性质 4：奇数个奇数相加得奇数 性质 5：偶数奇数=偶数奇数奇数=奇数 二例题利用奇数与偶数的这些性质，我们可以巧妙地解决许多实际问题。例 1：1231993 的和是奇数？还是偶数？分析此题可以利用高斯求和公式直接求出和，再判别和是奇 数还是偶数。但是如果从加数的奇、偶个数考虑，利用奇偶数的性 质，同样可以判别和的奇偶性。此题可以有两种解法。解法 1：1231993= (1+ 1993) 1993 = 997 1993 ，2又997 和 1993 是奇数，奇数奇数=奇数，原式的和是奇数。 解法 2： 19932=996111993 的自然数中，有 996 个偶数，有 997 个 奇数。又奇数个奇数之和是奇数，997 个奇数之和是奇数。 因为，偶数奇数=奇数， 所以，原式之和一定是奇数。例 2：一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相 差 150，这个数是多少？解法 1：相邻两个奇数相差 2，150 是这个要求的数的 2 倍。这个数是