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1、目录第一讲 数的整除问题2第二讲 质数、合数和分解质因数8第三讲 最大公约数和最小公倍数12第四讲 带余数的除法17第五讲 奇数与偶数及奇偶性的应用20第六讲 能被30以下质数整除的数的特征28第七讲 行程问题34第八讲 流水行船问题41第九讲 “牛吃草”问题45第十讲 列方程解应用题49第十一讲 简单的抽屉原理56第十二讲 抽屉原理的一般表述60第十三讲 染色中的抽屉原理66第十四讲 面积计算69第十五讲 综合题选讲78第一讲 数的整除问题数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的内容之一。一、基本概念和知识1.整除约数和倍数例如：153=5，63
2、7=9一般地，如a、b、c为整数，b0，且ab=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。记作ba.,否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作ba。如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的约数；63是7的倍数，7是63的约数。2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。即：如果ca，cb，那么c（ab）。例如：如果210，26，那么2（106），并且2（106）。性质2：如果b与c的积能整除a，
3、那么b与c都能整除a.即：如果bca，那么ba，ca。性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。即：如果ba，ca，且（b，c）=1，那么bca。例如：如果228，728，且（2，7）=1,那么（27）28。性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。即：如果cb，ba，那么ca。例如：如果39，927，那么327。3.数的整除特征能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。能被5整除的数
4、的特征：个位是0或5。能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。例如：1864=180064，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25的倍数.又因为464，所以1864能被4整除.但因为2564，所以1864不能被25整除.能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。例如：2937529000375，因为1000是8与125的倍数，所以29000是8与125的倍数.又因为125375，所以29375能被125整除.但因为8375，所以829375。能被11整除的数的特征：这个整
5、数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。例如：判断123456789这九位数能否被11整除？解：这个数奇数位上的数字之和是97531=25，偶数位上的数字之和是864220.因为25205，又因为115，所以11123456789。再例如：判断13574是否是11的倍数？解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（451）-（73）0.因为0是任何整数的倍数，所以110.因此13574是11的倍数。能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。例如：判断1059282是否是7的
6、倍数？解：把1059282分为1059和282两个数.因为1059-282777，又7777，所以71059282.因此1059282是7的倍数。再例如：判断3546725能否被13整除？解：把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再把2821分为2和821两个数，因为8212819，又13819，所以132821，进而133546725. 二、例题解：45=59，根据整除“性质2”可知 y可取0或5。满足条件的六位数是519930或919935。例2 李老师为学校一共买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9.2元.已知处数字相同，请问每支钢笔多少元？解：9.
7、2元=92分2847，根据整除“性质2”可知4和7均能整除92。42可知处能填0或4或8。因为79020，79424，所以处不能填0和4；因为79828，所叫处应该填8。又9828分=98.28元98.28283.51（元）答：每支钢笔3.51元。个条件的整数。根据能被11整除的数的特征可知：1+2+3+4+5的和与5a之差应是11的倍数，即11（155a）.或11（5a15）。但是155a=5（3a），5a15=5（a3），又（5，11）=1，因此111（3a）或11（a3）。又a是数位上的数字。a只能取09。所以只有a=3才能满足11（3a）或11（a3），即当a=3时，11155a。符合
8、题意的整数只有1323334353。互不相同），且它能被11整除，你能找到一个符合条件的整数吗？解：91=713，且（7，13）1。根据一个数能被7或13整除的特征可知：因为（7，10）=1，（13，10）1，所以7，13也就是7，13，因此，用一次性质（特征），就去掉了两组；反复使用性质996次，最后转化成：原数能被7以及13整除，当且仅当能被7以及13整除又91的倍数中小于1000的只有914=364的百位数字是3，=364例5 在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小。5整除，所以它应满足以下三个条件：第一，数字和（8+65+a+b+c
9、）是3的倍数。第三，末位数字c是0或5。又能被4整除的数的个位数不可能是5。c只能取O.因而b只能取自O，2，4，6，8中之一。 ab除以3余2。为满足题意“数值尽可能小”，只需取a=0，b=2。要求的六位数是865020。分析 26=213，y可能取0、2、4、5、6、8。当y0时，713x+9x+136根据整除“性质1”，有139x+6，经试验可知只有当x8时，139x6，当y=0时，符合题意的六位数是819910。所以13整除9x62，即139x+4。经试验可知只有当x1时，139x+4。当y2时，符合题意的六位数是119912。同理，当y4时，139x6-4，即139x+2，经试验可知
10、当x7时，139x+2。当y=4时，符合题意的六位数是719914。同理，当y6时，139x66。即139x.当y=6时，找不到符合题意的六位数。同理，当y8时，139x+6-8，即139x-2。经试验只有当x6时，139x-2。当y=8时，符合题意的六位数是619918。答：满足本题条件的六位数共有819910、119912、719914和619918四个。习题一样的五位数。4.将自然数1、2、3、4、5、6、7、8、9依次重复写下去组成一个1993位数，试问：这个数能否被3整除？5.一本陈年老账上记着：72只桶，共67.9元.这里处字迹已不清.请把处数字补上，并求桶的单价。6.证明：任意一
11、个三位数连着写两次得到一个六位数，这个六位数一定能同时被7、11、13整除. 习题一解答1.39312。2.8。3.32250、32550、32850。4.解：1239=45，345，又1993除以9余4，这个1993位数的最末4位数字是1234。1+2+3+4=10，310，这个1993位数不能被3整除。5.为3、2共367.92元，每只桶5.11元。 所以，这个六位数一定能同时被7、11、13整除. 第二讲 质数、合数和分解质因数一、基本概念和知识1.质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。要特别记住
12、：1不是质数，也不是合数。2.质因数与分解质因数如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例：把30分解质因数。解：30235。其中2、3、5叫做30的质因数。又如12223223，2、3都叫做12的质因数。 二、例题例1 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.解：210=2357可知这三个数是5、6和7。例2 两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？解：把40表示为两个质数的和，共有三种形式：40=17+23=1129=3+37。17233911129319337111。所求的最大值是391。答：这两
13、个质数的最大乘积是391。例3 自然数123456789是质数，还是合数？为什么？解：123456789是合数。因为它除了有约数1和它本身外，至少还有约数3，所以它是一个合数。例4 连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？解：如果这连续的九个自然数在1与20之间，那么显然其中最多有4个质数（如：19中有4个质数2、3、5、7）。如果这连续的九个自然中最小的不小于3，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有5个.这5个奇数中必只有一个个位数是5，因而5是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数.这样，至多另4个奇数都是质数。综上所述，连续九个自然数中至多有4个质数。例5 把5、6、7、14、
14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。解：5=5，7=7，6=23，1427，15=35，这些数中质因数2、3、5、7各共有2个，所以如把14（=27）放在第一组，那么7和6（=23）只能放在第二组，继而15（35）只能放在第一组，则5必须放在第二组。这样1415=210=567。这五个数可以分为14和15，5、6和7两组。例6 有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，且三数的乘积是42560.求这三个自然数。分析 先大概估计一下，303030=27000，远小于42560.40404064000，远大于42560.因此，要求的三个自然数在3040之间。解：42560=26
15、571925（57）（192）323538（合题意）要求的三个自然数分别是32、35和38。例7 有3个自然数a、b、c.已知ab=6，bc=15，ac10.求abc是多少？解：623，15=35，1025。（ab）（bc）（ac）=（23）（35）（25）a2b2c2=223252（abc）2（235）2abc=23530在例7中有a222，b2=32，c2=52，其中22=4，329，5225，像4、9、25这样的数，推及一般情况，我们把一个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或叫做平方数。如.12=1，224，329，42=16，112=121，122=144，其中1，4，9，16，121
16、，144，都叫做完全平方数.下面让我们观察一下，把一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数有什么特征。例如：把下列各完全平方数分解质因数：9，36，144，1600，275625。解：9=32 36=2232 144=32241600=2652 275625=325472可见，一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数均是偶数。反之，如果把一个自然数分解质因数之后，各个质因数的指数都是偶数，那么这个自然数一定是完全平方数。如上例中，3662，144=122，1600=402，275625=5252。例8 一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数.求a的最小值与这个平方数。分析 a与1080
17、的乘积是一个完全平方数，乘积分解质因数后，各质因数的指数一定全是偶数。解：1080a=23335a，又1080=23335的质因数分解中各质因数的指数都是奇数，a必含质因数2、3、5，因此a最小为235。1080a108023510803032400。答：a的最小值为30，这个完全平方数是32400。例9 问360共有多少个约数？分析 360=23325。为了求360有多少个约数，我们先来看325有多少个约数，然后再把所有这些约数分别乘以1、2、22、23，即得到23325（=360）的所有约数.为了求325有多少个约数，可以先求出5有多少个约数，然后再把这些约数分别乘以1、3、32，即得到3
18、25的所有约数。解：记5的约数个数为Y1，325的约数个数为Y2，360（=23325）的约数个数为Y3.由上面的分析可知：Y3=4Y2，Y23Y1，显然Y1=2（5只有1和5两个约数）。因此Y34Y2=43Y1=432=24。所以360共有24个约数。说明：Y3=4Y2中的“4”即为“1、2、22、23”中数的个数，也就是其中2的最大指数加1，也就是36023325中质因数2的个数加1；Y2=3Y1中的“3”即为“1、3、32”中数的个数，也就是23325中质因数3的个数加1；而Y1=2中的“2”即为“1、5”中数的个数，即23325中质因数5的个数加1.因此Y3（31）（2+1）（1+1）
19、=24。对于任何一个合数，用类似于对23325（=360）的约数个数的讨论方式，我们可以得到一个关于求一个合数的约数个数的重要结论：一个合数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数（即指数）加1的连乘的积。例10 求240的约数的个数。解：240243151，240的约数的个数是（41）（1+1）（11）=20，240有20个约数。请你列举一下240的所有约数，再数一数，看一看是否是20个？习题二1.边长为自然数，面积为105的形状不同的长方形共有多少种？2.11112222个棋子排成一个长方阵.每一横行的棋子数比每一竖列的棋子数多1个.这个长方阵每一横行有多少个棋子？3.五个相邻自
20、然数的乘积是55440，求这五个自然数。4.自然数a乘以338，恰好是自然数b的平方.求a的最小值以及b。5.求10500的约数共有多少个？习题二解答1.105=357，105=1105=335=521=715，共有4种。2.分析每一横行棋子数比每一竖列棋子数多1个。横行数与竖列数应是两个相邻的自然数.解：11112222=33333334答案为3334。3.7、8、9、10、11。4.分析自然数a乘以338，恰好是自然数b的平方，a与338的积分解质因数以后，每个质因数的个数之和都是偶数。解：338=21313，a2，b21326。5.解：10500=223537，又（21）（1+1）（3+
21、1）（1+1）=48。10500的约数共有48个.第三讲 最大公约数和最小公倍数一、基本概念和知识1.公约数和最大公约数几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。例如：12的约数有：1，2，3，4，6，12；18的约数有：1，2，3，6，9，18。12和18的公约数有：1，2，3，6.其中6是12和18的最大公约数，记作（12，18）=6。2.公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。例如：12的倍数有：12，24，36，48，60，72，84，18的倍数有：18，36，54，72，90，12和1
22、8的公倍数有：36，72，.其中36是12和18的最小公倍数，记作12，18=36。3.互质数如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。二、例题例1 用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？分析 要求的数去除30、60、75都能整除，要求的数是30、60、75的公约数。又要求符合条件的最大的数，就是求30、60、75的最大公约数。解： （30，60，75）=53=15这个数最大是15。例2 一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？分析 由题意可知，要求的数是3、4、5的公倍数，且是最小的公倍数。解：3，4，5=345=60，用3、4、5除都能整除的最小的数是
23、60。例3 有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米.现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？分析 要截成相等的小段，且无剩余，每段长度必是120、180和300的公约数。又每段要尽可能长，要求的每段长度就是120、180和300的最大公约数.（120，180，300）=302=60每小段最长60厘米。12060+18060+30060=235=10（段）答：每段最长60厘米，一共可以截成10段。例4 加工某种机器零件，要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每
24、小时可完成5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？分析 要使加工生产均衡，各道工序生产的零件总数应是3、10和5的公倍数.要求三道工序“至少”要多少工人，要先求3、10和5的最小公倍数。 3，10，5=532=30各道工序均应加30个零件。303=10（人）3010=3（人）305=6（人）答：第一道工序至少要分配10人，第二道工序至少要分配3人，第三道工序至少要分配6人。例5 一次会餐供有三种饮料.餐后统计，三种饮料共用了65瓶；平均每2个人饮用一瓶A饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料.问参加会餐的人数是多少人？分析 由题意可知，参加会餐人数应是2、3、4的公倍数。
25、解：2，3，4=12参加会餐人数应是12的倍数。又122+123+124=6+4+3=13（瓶），可见12个人要用6瓶A饮料，4瓶B饮料，3瓶C饮料，共用13瓶饮料。又6513=5，参加会餐的总人数应是12的5倍，125=60（人）。答：参加会餐的总人数是60人。例6 一张长方形纸，长2703厘米，宽1113厘米.要把它截成若干个同样大小的正方形，纸张不能有剩余且正方形的边长要尽可能大.问：这样的正方形的边长是多少厘米？分析 由题意可知，正方形的边长即是2703和1113的最大公约数.在学校，我们已经学过用短除法求两个数的最大公约数，但有时会遇到类似此题情况，两个数除了1以外的公约数一下不好找
26、到.但又不能轻易断定它们是互质数.怎么办？在此，我们以例6为例介绍另一种求最大公约数的方法。对于例6，可做如下图解：从图中可知：在长2703厘米、宽1113厘米的长方形纸的一端，依次裁去以宽（1113厘米）为边长的正方形2个.在裁后剩下的长1113厘米，宽477厘米的长方形中，再裁去以宽（477厘米）为边长的正方形2个.然后又在裁剩下的长方形（长477厘米，宽159厘米）中，以159厘米为边长裁正方形，恰好裁成3个，且无剩余.因此可知，159厘米是477厘米、1113厘米和2703厘米的约数.所以裁成同样大的，且边长尽可能长的正方形的边长应是159厘米.所以，159厘米是2703和1113的最
27、大公约数。让我们把图解过程转化为计算过程，即：27031113，商2余477；1113477，商2余159；477159，商3余0。或者写为2703=21113+477，1113=2477+159，477=3159。当余数为0时，最后一个算式中的除数159就是原来两个数2703和1113的最大公约数.可见，477=1593，1113=15932+159=1597，2703=15972+477=15972+1593=15917。又7和17是互质数，159是2703和1113的最大公约数。我们把这种求最大公约数的方法叫做辗转相除法.辗转相除法的优点在于它能在较短的时间内求出任意两个数的最大公约数。
28、例7 用辗转相除法求4811和1981的最大公约数。解：4811=21981+849，1981=2849+283，849=3283，（4811，1981）=283。补充说明：如果要求三个或更多的数的最大公约数，可以先求其中任意两个数的最大公约数，再求这个公约数与另外一个数的最大公约数，这样求下去，直至求得最后结果.也可以直接观察，依次试公有的质因数。例8 求1008、1260、882和1134四个数的最大公约数是多少？解：（1260，1008）=252，（882，1134）=126，又（252，126）=126，（1008，1260，882，1134）=126。求两个数的最小公倍数，除了用短除
29、法外，是否也有其他方法呢？请看例9.例9 两个数的最大公约数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？ x=4y28=4728x=4y47又4是x和28的最大公约数，（y，7）=1，4y7是x和28的最小公倍数。x28=4252x=425228=36要求的数是36。通过例9的解答过程，不难发现：如果用a和b表示两个自然数，那么这两个自然数的最大公约数与最小公倍数关系是：（a，b）a，b=ab。这样，求两个数的最小公倍数的问题，即可转化成先求两个数的最大公约数，再用最大公约数除两个数的积，其结果就是这两个数的最小公倍数。例10 求21672和11352的最小公倍数。解：（216
30、72，11352）=1032（1032可以用辗转相除法求得）21672，11352=21672113521032=238392。答：21672和11352的最小公倍数是238392.习题三1.甲数是乙数的三分之一，甲数和乙数的最小公倍数是54，甲数是多少？乙数是多少？2.一块长方形地面，长120米，宽60米，要在它的四周和四角种树，每两棵之间的距离相等，最少要种树苗多少棵？每相邻两棵之间的距离是多少米？3.已知两个自然数的积是5766，它们的最大公约数是31.求这两个自然数。4.兄弟三人在外工作，大哥6天回家一次，二哥8天回家一次，小弟12天回家一次.兄弟三人同时在十月一日回家，下一次三人再见
31、面是哪一天？5.将长25分米，宽20分米，高15分米的长方体木块锯成完全一样的尽可能大的立方体，不能有剩余，每个立方体的体积是多少？一共可锯多少块？6.一箱地雷，每个地雷的重量相同，且都是超过1的整千克数，去掉箱子后地雷净重201千克，拿出若干个地雷后，净重183千克.求一个地雷的重量？ 习题三解答1.甲数是18，乙数是54。2.每两棵之间的距离是60米，最少要种树苗6棵。3.解：设这两个自然数为A和B。A，B=576631=186。186=2331，这两个自然数为31和186或62和93。4.10月25日。5.每个立方体的体积是125立方分米.一共可锯60块。6.3千克.第四讲 带余数的除法
32、前面我们讲到除法中被除数和除数的整除问题.除此之外，例如：163=51，即16=53+1.此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法。一般地，如果a是整数，b是整数（b0），那么一定有另外两个整数q和r，0rb，使得a=bq+r。当r=0时，我们称a能被b整除。当r0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）.用带余除式又可以表示为ab=qr，0rb。例1 一个两位数去除251，得到的余数是41.求这个两位数。分析 这是一道带余除法题，且要求的数是大于41的两位数.解题可从带余除式入手分析。解：被除数除数=商余数，即被除数=除数商+余数，25
33、1=除数商+41，251-41=除数商，210=除数商。210=2357，210的两位数的约数有10、14、15、21、30、35、42、70，其中42和70大于余数41.所以除数是42或70.即要求的两位数是42或70。例2 用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16.被除数、除数、商数与余数的和是933，求被除数和除数各是多少？解：被除数=除数商+余数，即被除数=除数40+16。由题意可知：被除数+除数=933-40-16=877，（除数40+16）+除数=877，除数41=877-16，除数=86141，除数=21，被除数=2140+16=856。答：被除数是856，除数是21。例3
34、 某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几？解：十月份共有31天，每周共有7天，31=74+3，根据题意可知：有5天的星期数必然是星期四、星期五和星期六。这年的10月1日是星期四。例4 3月18日是星期日，从3月17日作为第一天开始往回数（即3月16日（第二天），15日（第三天），）的第1993天是星期几？解：每周有7天，19937=284（周）5（天），从星期日往回数5天是星期二，所以第1993天必是星期二.例5 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数。这是一道古算题.它早在孙子算经中记有：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之
35、剩二，问物几何？”关于这道题的解法，在明朝就流传着一首解题之歌：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知.”意思是，用除以3的余数乘以70，用除以5的余数乘以21，用除以7的余数乘以15，再把三个乘积相加.如果这三个数的和大于105，那么就减去105，直至小于105为止.这样就可以得到满足条件的解.其解法如下：方法1：270+321+215=233233-1052=23符合条件的最小自然数是23。例5 的解答方法不仅就这一种，还可以这样解：方法2：3，7+2=2323除以5恰好余3。所以，符合条件的最小自然数是23。方法2的思路是什么呢？让我们再来看下面两道例题。例6
36、一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小的自然数。分析 “除以5余3”即“加2后被5整除”，同样“除以6余4”即“加2后被6整除”。解：5，6-2=28，即28适合前两个条件。想：28+5，6？之后能满足“7除余1”的条件？28+5，64=148，148=217+1，又148210=5，6，7所以，适合条件的最小的自然数是148。例7 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，求符合条件的最小自然数。解：想：2+3？之后能满足“5除余3”的条件？2+32=8。再想：8+3，5？之后能满足“7除余4”的条件？8+3，53=53。符合条件的最小的自然数是53。归纳以上两例题的解法
37、为：逐步满足条件法.当找到满足某个条件的数后，为了再满足另一个条件，需做数的调整，调整时注意要加上已满足条件中除数的倍数。解这类题目还有其他方法，将会在有关“同余”部分讲到。例8 一个布袋中装有小球若干个.如果每次取3个，最后剩1个；如果每次取5个或7个，最后都剩2个.布袋中至少有小球多少个？解：2+5，71=37（个）37除以3余1，除以5余2，除以7余2，布袋中至少有小球37个。例9 69、90和125被某个正整数N除时，余数相同，试求N的最大值。分析 在解答此题之前，我们先来看下面的例子：15除以2余1，19除以2余1，即15和19被2除余数相同（余数都是1）。但是19-15能被2整除.
38、由此我们可以得到这样的结论：如果两个整数a和b，均被自然数m除，余数相同，那么这两个整数之差（大-小）一定能被m整除。反之，如果两个整数之差恰被m整除，那么这两个整数被m除的余数一定相同。例9可做如下解答：三个整数被N除余数相同，N（90-69），即N21，N（125-90），即N35，N是21和35的公约数。要求N的最大值，N是21和35的最大公约数。21和35的最大公约数是7，N最大是7。 习题四1.用一个自然数去除另一个自然数，不完全商是8，余数是16.被除数、除数、商、余数这四个数的和为463，求除数。2.某数除以3余1，除以4余2，除以5余3，除以6余4，这个数最小是多少？3.某数除
39、以8余3，除以9余4，除以12余7，在1000以内这样的数有哪几个？4.用卡车运货，每次运9袋余1袋，每次运8袋余3袋，每次运7袋余2袋.这批货至少有多少袋？5.57、96、148被某自然数除，余数相同，且不为零.求284被这个自然数除的余数. 习题四解答1.除数为47。2.58。3.共13个.有：67，139，211，283，355，427，499，571，643，715，787，859，931。4.163。5.11.第五讲 奇数与偶数及奇偶性的应用一、基本概念和知识1.奇数和偶数整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。偶数通常可以用2k（k为整数）表
40、示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。2.奇数与偶数的运算性质性质1：偶数偶数=偶数， 奇数奇数=偶数。性质2：偶数奇数=奇数。性质3：偶数个奇数相加得偶数。性质4：奇数个奇数相加得奇数。性质5：偶数奇数=偶数， 奇数奇数=奇数。 二、例题利用奇数与偶数的这些性质，我们可以巧妙地解决许多实际问题.例1 1+2+3+1993的和是奇数？还是偶数？分析 此题可以利用高斯求和公式直接求出和，再判别和是奇数，还是偶数.但是如果从加数的奇、偶个数考虑，利用奇偶数的性质，同样可以判断和的奇偶性.此题可以有两种解法。解法1：1+2+3+1993又997和1993
41、是奇数，奇数奇数=奇数，原式的和是奇数。解法2：19932=9961，11993的自然数中，有996个偶数，有997个奇数。996个偶数之和一定是偶数，又奇数个奇数之和是奇数，997个奇数之和是奇数。因为，偶数+奇数=奇数，所以原式之和一定是奇数。例2 一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，这个数是多少？解法1：相邻两个奇数相差2，150是这个要求数的2倍。这个数是1502=75。解法2：设这个数为x，设相邻的两个奇数为2a+1，2a-1（a1）.则有（2a+1）x-（2a-1）x=150，2ax+x-2ax+x=150，2x=150，x=75。这个要求的数是75。例3 元旦前夕，同学们相互送贺年卡.每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺
