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1、六年级上册思维训练第一讲 分数的巧算例题1：计算：+分析：观察该式的特征，发现=-；=-；因此可以把原式中的各数拆分成两个分数的差，使计算简便。解：+=-+-+-+-+-=-=例题2：计算：+分析：观察该式的特征发现，只要把后两个积的因数分子、分母互换，使每个积中都有这个因数，再按乘法分配律进行计算。解：+=+=（+）=方法技巧：通过以上各题的解答，我们不难发现，在做较复杂的计算题时要认真观察式中的运算结构和数字特点，进行适当拆分、结合，正确地运用学过的运算定律和性质进行适当变形，使计算过程变得简单、易于口算。练习：1、+2、+3、+4、+5、+6、+7、1+8、1-+第二讲 盈 亏 问 题例
2、题1：植树小组种树，如果每人种5棵树，还剩下5棵树苗；如果每人种6棵树，就缺少4棵树苗。这个植树小组有多少人？这批树苗一共有多少棵？分析解答：已知每人种5棵，还剩下5棵树苗，也就是说树苗多出来了（盈）；如果每人种6棵，就缺少4棵树苗，树苗不够了（亏）。一“盈”一“亏”相差（5+4）棵，即如果按照第二种方法，可以比第一种办法多栽9棵。这是由于每人多种（6-5）棵树苗。根据这两个差数的对应关系就可以求得植树小组的人数，然后再求得树苗的棵数。（5+4）（6-5）=9（人）59+5=50（棵）答：这个植树小组有9人，这批树苗一共有50棵。例题2：给住校生安排宿舍，每个房间住5人，则缺27个床位；若每个
3、房间住7人，则空出9个房间。求住校生人数与房间数。分析解答：题中条件有两层意思，即两种安排方法。解题的关键是先求出两种安排相差的人数和每个房间多住的人数。根据题意，每个房间住7人，则空出9个房间，若都住满，还需增加79=63（人），两种安排相差27+63=90（人），这是因为每个房间多住7-5=2（人）。根据这两个差数的对应关系就可以求出房间数，然后再求出住校生人数（27+79）（7-5）=45（人）545+27=252（人）或7（45-9）=252（人）答：住校生有252人，房间有45个。练习：1、幼儿园给小朋友分苹果，如果每人分3个，多8个苹果；如果每人分5个，那么就差52个苹果。小朋友有
4、几人？苹果有多少个？2、学校给住校的新生安排宿舍，每个房间住3人，则多出64人；每个房间住5人，恰好安排好。房间有多少个？住校的新生有多少人？3、学校买来羽毛球若干个，平均分给各班。如果每班分6个，还差24个；如果每班4个，刚好分完。学校买来羽毛球多少个？有多少个班？4、少先队员去植树，如果每人植5棵，还剩16棵；如果每人植7棵，还剩4棵。参加植树的少先队员有多少人？共有树多少棵？5、猴子分桃子。每只小猴分5个还多46个；每只小猴分9个，还多6个。这堆桃子有多少个？小猴有多少只？6、育新小学买来一批铅笔，奖给三好学生。如果每人奖5枝，则差2枝；如果每人奖7枝，则差98枝。三好学生有多少人？学校
5、共买铅笔多少枝？7、学校买来一批新书。如果每人借5本，则少125本；如果每人借3本，则少35本。借书的学生有多少人？买来的新书有多少本？8、同学们去划船，如果每只船坐4人，则少3只船；如果每只船坐6人，还有2人留在岸上。问有多少个同学去划船？第三讲 循 环 小 数例题1：可以化成循环小数，请问这个循环小数的小数点后第2008位小数上的数字是几？分析：因为56=2227，所以可以化成循环小数为0.053571428.前3位小数不循环，从第4位小数开循环，其循环长度为6，循环节内序号与数字的对应关系为（1）5，（2）7，（3）1，（4）4，（5）2，（6）8。解：=0.053571428（2008
6、-3）6=3341序号（1）所对应的数字是5。答：第2008位上的数字是5。例题2：（1）试分别将分数，写成循环小数的形式。（2）观察分析这些循环小数的循环节，归纳出它们有哪些特点？解（1）=0.142857 =0.285714 =0.428571 =0.571428 =0.714285 =0.857142（2）主要特点可归纳如下三条：六个循环节中数字相同，仅仅是位置的推移。把每个循环节看成六位数，都能被9整除。每一个循环节的六个数字，由前三位数字组成的三位数加上后面的三位数，和都是999，即142+857=285+714=428+571=999练习：1、写出下面等式右边空白处的数，使等式能够
7、成立；0.6+0.06+0.006+=2006 2、请在小数1.1001203的某位数上加一个循环点，使新产生的循环小数尽可能小。3、有8个数；0.51，0.51，是其中的6个。如果按从小到大的顺序排列，第4个数是0.51，如果按从大到小的顺序排列，第4个数是 。4、把化成小数。（1）小数点后第27位是 。（2）小数点后第1001位四舍五入，那么第1000位是 。5、把化成小数后，小数点后面1001位各位上的数字和是多少？6、把化成小数后，小数点后第100位上的数字是 。7、真分数化成小数后，如果从小数点后第一位数字开始连续若干个数字之和是2000，那么a的取值是多少？8、真分数化成小数后，如
8、果从小数点后第一位数字开始连续若干个数字之和是2019，那么a= 。第四讲 抓不变量解题例题1：有两筐梨，乙筐是甲筐的，从甲筐取出5千克梨放入乙筐后，乙筐的梨是甲筐的。甲、乙两筐梨共重多少千克？分析：由于题中两筐梨的总重量没有变，我们把两筐梨的总重量看做“1”，则原来甲筐梨占总重量的，后来甲筐梨占总重量的。所以，5千克梨相当于总重量的（-）。即5（-）=80（千克）答：甲、乙两筐梨共重80千克。例题2：有两段布，一段布长40米，另一段布长30米，把两段布都用去同样长的一部分后。发现短的一段布剩下的长度是长的一段布所剩长度的，每段布用去多少米？分析：题中两段布长度的差没有变。两段布用去前与用去后
9、的长度差都是40-30=10（米）。10米相当于长的一段布所剩米数的1-=，所以长的一段布所剩的米数是10=25（米）。用去40-25=15米。40-（40-30）（1-）=15（米）答：每段布用去15米。练习：1、学校一年级原来有少先队员是非少先队员的，后来又有39名同学加入了少先队组织。这样，少先队员的人数是非少先队员的。一年级有学生多少人？2、王师傅生产一批零件，不合格产品是合格产品的，后来从合格产品中又发现2个不合格产品，这时算出产品合格率是94%。合格产品共有多少个？3、六（1）班参加数学兴趣小组的人数是没有参加数学兴趣小组的，后来又有6人加入了数学兴趣小组，这样参加的人数是未参加人
10、数的。这个班共有多少人？4、学校红墨水的瓶数占红、黑墨水总数的。后来又买进60瓶红墨水，这时红墨水的瓶数占红、黑墨水总数的。这个学校现有红、黑墨水的总数是多少瓶？5、阅览室看书的同学中，女同学占，从阅览室走出4位女同学后，看书的同学中，女同学占，原来阅览室里一共有多少名同学在看书？6、有两根绳子，一根长80米，另一根长40米。如果从两根绳上各剪去同样长的一段后，短绳剩下的长度是长绳剩下的，两根绳各剪去多少米？7、今年父亲40岁，儿子12岁，当儿子的年龄是父亲的时，儿子多少岁？8、仓库里原来存的大米和面粉袋数相等，运出800袋大米和500袋面粉后，仓库里所剩下的大米袋数是面粉的，仓库里原有大米和
11、面粉各多少袋？第五讲 倒推法解题例题1：筑路队修一条路，第一天修了全长的又100米，第二天修了余下的，还剩500米，这段路全长多少米？分析：从“还剩500米”入手倒着往前推，它占余下的1-=，第一天修后余下500=700米，如果第一天正好修全长的，还余下700+100=800米，这800米占全长的1-=，这段路全长是800=1000米。列式：500（1-）+100（1-）=1000（米）答：这段路全长1000米。例题2：有甲、乙两桶油，从甲桶中倒出给乙桶后，又从乙桶中倒出给甲桶，这时两桶油各有24千克，原来甲、乙两个桶中各有多少千克油？分析：从最后结果出发倒推，甲、乙两桶油共有242=48千克
12、，当乙桶没有倒出给甲桶时，乙桶内有油24（1-）=30千克。这时甲桶只有48-30=18千克，而甲桶已倒出了给乙桶，可见甲桶原有的油为18（1-）=27千克，乙桶原有的油为48-27=21千克甲：242-24（1-）（1-）=27（千克）乙：242-27=21（千克）答：甲桶原有油27千克，乙桶原有油21千克。练习：1、修一条路，第一天修了全长的又16米，第二天修了余下的，还剩41米，公路全长多少米？2、一堆煤，上午运走，下午运的比余下的还多6吨，最后剩下14吨还没有运走，这堆煤原有多少吨？3、用拖拉机耕一块地，第一天耕了这块地的又2公顷，第二天耕的比余下的多3公顷，还剩下35公顷，这块地共有
13、多少公顷？4。、一批水泥，第一天用去了多1吨，第二天用去了余下的少2吨，还剩下16吨，原来这批水泥有多少吨？5、小华拿出自己邮票的给小刚，小刚再从自己现有的画片中拿出给小华，这时两人各有画片12张。原来两人各有画片多少张？6、甲、乙两人各有人民币若干元，甲拿出给乙后，乙又拿出给甲。这时他们各有90元，他们原来各有多少元？7、有甲、乙两桶油，从甲桶中倒出给乙桶后，又从乙桶中倒出给甲桶，这时两桶油各有90千克，原来甲、乙两桶各有多少千克油？8、有一筐桔子，小明和弟弟第一天吃了，第二天吃了余下的，第三天又吃了余下的，筐里还有8个，原来筐里有多少个桔子？第六讲 圆 的 面 积例题1：求图中阴影部分的面
14、积（单位：厘米）。思路导航：如图所示的特点，阴影部分的面积可以拼成一个1/4圆的面积，如图示。623.14=28.26（平方厘米）答：阴影部分的面积是28.26平方厘米。例题2：求图1中阴影部分的面积（单位：厘米）。 （1） （2）思路导航：阴影部分通过翻折移动位置后，构成了一个新的图形（如图2所示），从图中可以看出阴影部分的面积等于大扇形的面积减去大三角形面积的一半。31442-4422=8.56(平方厘米)答：阴影部分的面积是8.56平方厘米。练习：1、 求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。 2、求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）3、求下面各个图形中阴影部分的面积（单位
15、：厘米）。4、求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。5、计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。6、如图所示，直径BC=8厘米，AB=AC,D为AC的中点，求阴影部分的面积。7、如图所示，AB=BC=8厘米，求阴影部分的面积。8、如图所示，圆的周长为12.56厘米，AC两点把圆周分成相等的两段弧，阴影部分（1）与阴影部分（2）的面积相等，求平行四边形ABCD的面积。第七讲 浓 度 问 题例题1：有含糖量为7%的糖水600克，要使其含糖量加大到10%，需要再加入多少克糖？思路导航：根据题意，在7%的糖水中加糖就改变了原来糖水的浓度，糖的质量增加了，糖水的质量也增加了，但水的质量并没有
16、改变。因此，可以先根据原来糖水中的浓度求出水的质量，再根据后来糖水中的浓度求出现在糖水的质量，用现在糖水的质量减去原来糖水的质量就是增加的糖的质量。原来糖水中的水的质量：600（1-7%）=558（克）现在糖水的质量：558（1-10%）=620（克）加入糖的质量：620-600=20（克）答：需要再加入20克糖。例题2：一种35%的新农药，如稀释到1.75%时，治虫最有效。用多少千克浓度为35%的农药加多少千克水，才能配成1.75%的农药800千克？思路导航：把浓度高的溶液经添加溶剂变为浓度低的溶液的过程称为稀释。在这种稀释过程中，溶质的质量是不变的。这是解这类问题的关键。800千克1.75
17、%的农药中含纯农药的质量为 8001.75%=14（千克）含14千克纯农药的35%的农药质量为1435%=40（千克）由40千克农药稀释为800千克农药应加水的质量为800-40=760（千克）答：用40千克浓度为35%的农药添加760千克的水，才能配成浓度为1.75%的农药800千克。练习：1、现在有浓度为20%的糖水300克，要把它变成浓度为40%的糖水，需要加糖多少克？2、有含盐15%的盐水20千克，要使盐水的浓度为20%，需加盐多少千克？3、有甲、乙两个瓶子，甲瓶里装了200毫升清水，乙瓶里装了200毫升的纯酒精。第一次把20毫升纯酒精由乙瓶倒入甲瓶，第二次把甲瓶中20毫升的溶液倒回乙
18、瓶，此时甲瓶里含纯酒精多，还是乙瓶里含水多？4、在20%的盐水中加入10千克水，浓度为15%。再加入多少千克盐，浓度为25%？5、用含氨0.15%的氨水进行油菜追肥。现有含氨16%的氨水30千克，配制时需加水多少千克？6、仓库运来含水量为90%的一种水果100千克。一星期后再测，发现含水量降低到80%。现在这批水果的质量是多少千克？7、一容器内装有10升纯酒精，倒出2.5升后，用水加满；再倒出5升，再用水加满。这时容器内溶液的浓度是多少？8、在100千克浓度为50%的硫酸溶液中，再加入多少千克浓度为5%的硫酸溶液就可以配制成25%的硫酸溶液？第八讲 鸡兔同笼问题例题1：现有5元、2元、1元的三
19、种人民币500张，共计1400元。已知5元和1元的张数相同。问这三种人民币各有多少张？分析解答：因为5元和1元的张数相同，看成一种（5+1）元的。假设500张都是2元的，共有2500=1000（元），比实际1400元少400元。这是因为把5元和1元的都当做2元计算了。拿2张2元换成5元和1元各1张，每换2张多5+1-22=2（元），因此5元和1元的各有4002=200（张）。2元人民币有500-2002=100（张）。综合算式：（1400-2500）（5+1-22）=200（张）（5元和1元各有的张数）500-2002=100（张）（2元张数）答：5元和1元人民币各有200张，2元人民币有10
20、0张。例题2：小明计算20道数学竞赛题，做对一道题得5分，做错一道题倒扣3分，结果小明得了60分。问他做对了几道题？分析解答：做对一道竞赛题可得5分，如果小明20道竞赛题全对，可得520=100（分），实际他只得了60分，少得了100-60=40（分），这说明小明做错了一部分题。做错一题不仅得不到5分，反而要倒扣3分，也就是做错一题少得5+3=8（分），由此可求出小明做错的题目数是408=5（道），做对了20-5=15（道）。综合算式：20-（520-60）（5+3）=15（道）答：小明做对了15道题。练习：1鸡兔同笼，共有30个头，88只脚。求笼中鸡兔各有多少只？ 2鸡兔同笼，共有头48个，
21、脚132只，求鸡和兔各有多少只？3一个饲养组一共养鸡、兔78只，共有200只脚，求饲养组养鸡和兔各多少只？4鸡兔同笼不知数，三十六头笼中露。数清脚共五十双，各有多少鸡和兔？5小明用10元钱正好买了20分和50分的邮票共35张，求这两种邮票名买了多少张？6小红用13元6角正好买了50分和80分邮票共计20张，求两种邮票各买了多少张？7小刚的储蓄罐里共2分和5分硬币70枚，小刚数了一下，一共有194分，求两种硬币各有多少枚？8三年一班30人共向北京奥运会捐款205元，同学每人了捐了5元或10元，你知道捐5元和10元的同学各有多少人吗？综合练卷（一）1、+2、+3、小红三天看完一本书，第一天看了全书
22、的，第二天看了余下的，第二天比第一天多看了15页，这本书共有多少页？4、某工厂有三个车间，第一车间的人数占三个车间总人数的25%，第二车间的人数是第三车间的。已知第一车间比第二车间少40人，三个车间一共有多少人？5、学校六年级三个班植树，一班植树的棵数占三个班总棵数的，二班与三班植树棵数的比是3：5，二班比三班少植树40棵，这三个班各植树多少棵？6、牛的头数比羊的头数多25%，羊的头数比牛的头数少百分之几？7、小红的彩笔枝数是小刚的，两人各买5枝后，小红的彩笔枝数是小刚的，两人原来各有彩笔多少枝？8、的分子与分母同时加上某数后得，求所加的这个数？9、一杯糖水，其中糖占25%，再放入15克水后，
23、糖占20%，这杯糖水中糖有多少克？10、三（1）班上学期男生占，这学期转进6名女生后，男生就只占了，这个班现有女生多少人？11、甲、乙、丙、丁四个筑路工人共筑1200米长的一段公路，甲队筑的路是其他三个队的，乙队筑的路是其他三个队的，丙队筑的路是其他三个队的，丁队筑了多少米？4412、求阴影部分的面积（单位：厘米）13、 两个圆的周长和是94.2厘米，已知大圆的半径是小圆半径的4倍，求这两个圆的面积各是多少平方厘米？14、一桶油，第一次用去它的，第二次比第一次多用去20kg，还剩16kg，这桶油有多少千克？15、一张桌子32元，一把椅子13元。现买桌子和椅子共40件，付款786元。问买桌子多少
24、张？椅子多少把？16、鸡和兔共有脚44只，若将鸡数与兔数互换，则共有脚52只。问：鸡、兔各有多少只？17、有鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多80只，问鸡、兔各有多少只？18、用25根长度分别为8米和5米的两种规格的管子铺一段170米的管道，两种管子各用多少根最合理？19、有浓度是10%的盐水500克，放了一天，水份蒸发掉50克，这时盐水的浓度是多少？20、用含氨0.15%的氨水进行油菜追肥，现有含氨20%的氨水30千克，配制时需要加水多少千克？六年级下册思维训练第一讲 最大最小问题例题1：a和b是小于100的两个不同的自然数，求的最大值。思路导航：根据题意，应使分子尽可能大，使分母尽可能的小。所
25、以b=1；由b=1可知，分母比分子大2，也就是说，所求的分数再添两个分数单位就等于1，可见应使所求分数的分数单位尽可能小，因此a=99。的最大值是=答：的最大值是例题2：有甲、乙两个两位数，甲数的等于乙数的。这两个两位数的差最多是多少？思路导航：甲数乙数=73，甲数是7份，乙数是3份。由甲是两位数可知，每份的数量最大是14，甲数与乙数相差4份，所以，甲、乙两数的差是14（7-3）=56。答：这两个两位数的差最多是56。练习：1、设x和y是选自前100个自然数的两个不同的数，求的最大值。2、a和b是小于50的两个不同的自然数，且ab，求的最小值。3、x和y是选自前200个自然数的两个不同的数，且
26、xy，求的最大值；求的最小值。4、有甲、乙两个两位数，甲数的等于乙数的。这两个两位数的差最多是多少？5、甲、乙两数都是三位数，如果甲数的恰好等于乙数的，那么甲、乙两数的和最小是多少？6、加工某种机器零件要三道工序，专做第一、二、三道工序的工人每小时分别能做48个、32个、28个，要使每天三道工序完成的个数相同，至少要安排多少工人？7、连续7个偶数的和是196，这七个数中最小的一个偶数是多少？8、长方体的所有棱长之和为48厘米，当长方体的长、宽、高分别为多少时，体积最大？第二讲 行 程 问 题例题1：一辆汽车从甲地开往乙地，行驶2小时后，离乙地还有96千米，已知它4小时可行完全程，两地的距离是多
27、少？分析解答：由题意可知，行96千米需4-2=1（小时）。因为速度一定，时间的比即为路程的比，由此求出剩下的路程为全程的14=，再用96即可求解解：96（4-2）4 =9614 =96 =240（千米）答：两地的距离是240千米。想一想：96（4-2）4正确吗？例题2：甲、乙两车从相距470千米的两城相向而行，甲车每小时行38千米，乙车每小时行40千米，乙车先出发2小时，甲车才出发，甲车开出几小时后与乙车相遇？分析解答：先从470千米里去掉乙车单独行2小时的路程，然后按“相遇时间=相遇路程速度和”求解。解：（470-402）（38+40）=39078=5（小时）答：甲车开出5小时后与乙车相遇。
28、练习：1、龟兔赛跑，全程2000米，龟每分爬25米，兔每分跑325米；兔自以为能得第一，途中睡了一觉，结果龟到在终点时，兔离终点还有700米，兔睡了几分？2、客货两车从甲、乙两地同时相向而行，客车行全程要3小时，货车每小时行60千米，行了72千米遇上客车，求甲、乙两地距离？3、美羊羊开车去看音乐会，以每小时12千米的速度，2小时可以到达。车行了15分后，发现忘带入场劵，以原速返回家，这时，它以每小时多少千米的速度才能按时到达？4、一辆汽车从甲地开往乙地，每分行525米，预计40分钟到达，但行到一半路程时，汽车发生故障，用5分钟修理完毕。如果仍需在预定时间到达，行驶余下的路程每分需比原来快多少？
29、5、甲、乙两人同时从A、B两地相对而行，甲每小时行12千米，乙每小时行10千米，两人在距中点3千米处相遇。A、B两地相距多少千米？6、一辆轿车和一辆时速比它慢20千米的卡车，分别从甲、乙两地同时相对开出，行驶2小时后，两车还相距全程的，轿车这时已到中点，求两地距离。7、两列火车，甲车长60米，每秒行10米，乙车长40米，每秒行15米，两车从相遇到离开需要几秒？8、甲、乙两辆汽车同时从东站开往西站，甲车每小时比乙车多行12千米，甲车行驶四个半小时到达西站后，没有停留，立即从原路返回，在距西站31.5千米的地方与乙车相遇，甲车每小时行多少千米？第三讲 工 程 问 题实际生活中，经常遇到这样一类问题
30、：“某一件工作中，甲单独完成需要若干天，乙单独完成需要若干天，问甲、乙合做这件工作，需要多少天完成。”这一类问题，我们称之为工程问题。工程问题中有三个基本量，一个是工作量，另外两个分别是工作效率和工作时间。工作量=工作效率时间。这一关系式是工程问题的基本关系式。例题1：有一项工作，单独做甲需要6天完成，乙需要30天完成。（1）甲、乙合做需要几天完成？（2）如果甲先做了3天，乙才参加，乙参加进来后几天完成这项工作？（3）如果甲、乙合做这项工作，但是中途甲休息了一天，完成这项工作用了几天时间？解：（1）因甲单独做6天完成这项工作，所以甲的工作效率为，同样乙的工作效率为甲、 乙两人合做的工作效率就应
31、为+=。所以甲、乙合做需要的天数为1=5（天）（2）甲先做3天，完成的工作量为3，剩余工作量为1-3。甲、乙合做完成剩余工作所用的时间应为（1-3）（+）=2（天）（3）甲、乙共同工作，但甲中途休息了一天。可以这样考虑：假设甲不休息，那么甲、乙两人完成的总的工作量为1+=，因此完成这件工作所花费的时间应为（1+）（+）=5（天）。例题2：甲、乙两台不同的拖拉机合耕一块地共需要10小时。在共同工作了4小时后，甲拖拉机发生故障，由乙单独又耕了18小时才完成。甲、乙两台拖拉机单独耕这块地各需要多少小时？分析：题目要求甲、乙两台拖拉机单独耕这块地所需要的时间，实际上是要求甲、乙两台拖拉机工作效率。由已
32、知条件知甲、乙两台拖拉机工作效率和为，因此只需先求出乙的工作效率。为此，我们将工作时间分为两阶段考虑，第一阶段为甲、乙合耕，第二阶段为乙单独耕，设法利用已知条件求出乙的工作效率。解：因甲、乙合耕10小时可完成，所以甲、乙两台拖拉机工作效率的和为110=。甲、乙合耕了4小时，完成的工作量为4=，剩下工作量为1-=。剩下工作由乙18小时完成，所以乙的工作效率为8=。甲的工作效率为-=。因此乙单独耕这块地需要1=30（天）甲单独耕这块地需要1=15（天）练习：1、有一桶水，小明一人可饮14天，若和小丽同饮可饮用10天。若小丽独自一人可饮用几天？2、甲、乙两队挖河，甲队单独挖8天可完成，乙队单独挖12
33、天可完成。现在两队同时挖几天后乙队调走，余下的甲队3天完成。乙队挖了多少天？3、有一条公路，甲队修10天可完成，乙队修12天可完成，丙队修15天可完成。现在三队合修，但中途甲队调到另外的工地，结果共花了6天才把公路修完。甲队调走后，乙、丙两队又合修了多少天？4、某工程由甲单独做40天，再由乙单独接着做15天可以完成。如果甲、乙两人合做需要30天完成。现在甲先单独做20天，然后再由乙单独接着做，还需要多少天才能完成？5、一项工程，甲队单独做要20天完成，乙队单独做要12天完成。已知这项工程先由甲队做了若干天，然后由乙队继续完成，从开始到完成共用了14天。那么甲队先做了几天？6、有甲、乙两件工作，
34、小张单独完成甲工作需10天，单独完成乙工作要15天。小王单独完成甲工作要3天，单独完成乙工作要20天。如果两人合作完成这两项工作，最少需要多少天？7、加工一批零件，甲、乙两人合做1小时，完成了这批零件的，乙、丙两人接着加工1小时，又完成了，甲、丙又合做了2小时，完成了。剩下的任务，甲，乙，丙三人合做还要多少小时？8、一个水池有两根进水管和一根出水管。进水管甲12小时可将水池注满水，进水管乙20小时可将水池注满水，出水管15小时可将小池的水放完。三管同时打开，多少小时可以将水池注满水？第四讲 圆柱与圆锥例题1：有一个圆柱体的零件，高12厘米，底面直径是8厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔，如图所
35、示。圆孔的直径是6厘米，孔深7厘米。如果将这个零件按触空气的部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米？分析：这个零件接触空气部分，我们既要注意圆柱体的外表面积，又要注意圆孔内的表面，同时还要注意零件的底面是圆环。由于打孔的深度与柱体的长度不相同，所以在孔内还要有一个小圆的底面要涂上油漆，这一点不能忽略。但是，我们可以把小圆的底面与圆环拼成一个圆，这就成了原圆柱体的底面。解：涂漆面积为：3.14（）2+3.14812+3.1467=3.14（32+96+42）=3.14170=533.8（平方厘米）答：涂油漆面积是533.8平方厘米。例题2：在一只底面直径是40厘米的圆柱形水缸里，有一个直径是10厘
36、米的圆锥形铸件完全浸于水中，取出铸件后，缸里的水下降0.5厘米。求铸件的高。分析：这道题关键是要理解下降部分水的体积，就是铸件的体积。解：（1）下降部分水的体积：3.14（）20.5=628（立方厘米）（2）铸件的高：62833.14（）2=24（厘米）答：铸件的高是24厘米。练习：1、如图所示的一个零件，上端是一个高为8厘米，底面半径为2厘米的圆柱体；下端是一个高为3厘米的圆锥体。求这个零件的体积。2、如图所示是一个棱长为40厘米的正方体形零件，它的上、下两个面各有一个直径为4厘米的圆孔，孔深为10厘米。求这个零件的表面积。3、有两个圆柱形的油桶，形体相似（即底面半径与高的比值相同），尺寸如
37、图所示。两个油桶都装满了油，如果小的一个装了3千克油，问大的一个装了几千克油？4、一个圆柱体的侧面积是8平方厘米，底面半径是2厘米。它的体积是多少立方厘米？5、一个底面直径为20厘米的圆柱形容器中装着水，水中放置一个底面半径是9厘米、高为20厘米的铁质圆锥体。当圆锥从桶中取出后，桶内的水将下降多少厘米？6、一个圆柱形钢材，沿底面直径割开成两个相等的半圆柱体，如图所示。已知一个剖面的面积是100平方厘米，半圆柱的体积为301.44立方厘米。求原来钢材的侧面积。7、用直径为20厘米的圆钢，锻造长300厘米、宽100厘米、厚5厘米的长方体钢板，应截取圆钢多长？（精确到0.1厘米）8、如图所示，求这一
38、物体的体积。（单位：厘米）第五讲 比例的应用例题1：飞机4小时共飞行1760千米，用同样的速度从甲城飞往乙城，共飞行7小时，甲、乙两地相距多少千米？分析解答：因为=速度，已知飞机飞行的速度一定，所以路程和时间成正比例。解：设甲、乙两城相距x千米。=4x=17607x=3080答：甲、乙两城相距3080千米。例题2：一列火车从甲城开往乙城每小时行50千米，4.8小时可以到达。如果速度加快20%，可以提前几小时到达？分析解答：因为“速度时间=路程（一定）”，所以火车行驶的速度和时间成反比例。解：设可以提前x小时到达50（1+20%）（4.8-x）=504.8501.2(4.8-x)=504.84.
39、8-x=4x=0.8答：可以提前0.8小时到达。练习：1、一个施工队安装一条长660米的水管，前6天安装了264米，照这样计算，装好这条水管还要多少天？2、某车间用电锯把一根长4米的圆钢锯成80厘米一段，需要40分种，如果改锯成50厘米一段，需要多长时间？3、某食堂买来一批煤，原计划每天用4.5吨，可以用24天，实际每天比原计划节约0.9吨，实际可以用多少天？4、某橡胶厂要生产10800双胶鞋，原计划25天完成，革新技术后，每天的工作效率提高了25%，这样可比原计划提前多少天完成？5、一间教室，如果用边长是0.3米的方砖铺地，需要800块，如果改用边长0.4米的方砖铺，可以少用多少块？6、装订
40、一批作业本，每本20页，可以装订300本。如每本30页，可以装订多少本？7、一列火车从甲地到乙地需要8小时，当速度提高25%时，从甲地到乙地要几小时？8、用同样的砖铺地，铺18平方米要用砖618块。如果铺24平方米，要用砖多少块？第六讲 牛 顿 问 题1.什么是牛顿问题？17世纪英国伟大的科学家牛顿写过一本普通算术的书，书中有这样一个“牛吃草”的问题：有三片牧场，场上的草长得一样密，而且长得一样快。它们的面积是3亩，10亩，24亩。12头牛4星期吃完第一片场原有的和4星期内新长出的草；21头牛9星期吃完第三片牧场原有的和9星期内新长出来的草。问多少头牛18星期才能吃完第三片牧场原来的和18星期
41、新长出来的草？像这样涉及到三种数量：原有的草、新长出来的草、牛吃掉的草的应用题，称为牛顿问题。牛顿问题不仅可以用“牛吃草”的形式来反映，还可以用其他形式来反映（如“漏水”、“检票进站”等）。2.牛顿问题的计算公式吃草的总量包括两部分：（1）原有草量，（2）在吃草时间内新长出来的草量。吃草的总量=牛头数星期数一头牛每星期吃草量例题1：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快，这片青草供10头牛吃，可以吃20天；供给15头牛吃，可以吃10天。供给25头牛吃，可以吃多少天？分析：牛吃草问题中的总量包括两个部分：（1）原有草量（不变），（2）在牛吃草的时间内新长出的草量（随时间变化）。解题的关键要求原有草
42、量和一天新长出的草量。10头牛20天吃的草量=原有草量+20天新长草量15头牛10天吃的草量=原有草量+10天新长草量比较这两组数量关系式，就很容易求出每天新长出的草量和原有草量。解：设一头牛一天吃的草量为“1”。10头牛20天吃的草量：11020=20015头牛10天吃的草量：11510=150（20-10）天内新长出的草量：200-150=50每天新长出的草量：50（20-10）=5原有草量：200-520=100 100（125-5）=5（天）答：这片草给25头牛吃，可以吃5天。例题2：某火车站的检票口，在检票开始前已有一些人排队，检票开始后每分钟有10人前来排队检票，一个检票口每分钟能
43、让25人检票进站。如果只有一个检票口，检票开始8分钟后就没有人排队；如果有两个检票口，那么检票后多少分钟就没有人排队？分析：题目中“已有排队的人”，相当于“原有的草”，“每分钟来10人”相当于“新长出的草”。用“牛吃草”问题的思路就很容易解决问题解：258-108=120（人）120（252-10）=3（分钟）答：只要3分钟就没有人排队。练习：1、有一片牧场，24头牛6天可以将草吃完，21头牛8天可以将草吃完。若放16头牛，几天可以吃完？2、牧场上的一片牧草，可供27头牛吃6周，也可供23头牛吃9周。如果牧草每天匀速生长，且每头牛每天的吃草量相同，那么这片牧草可供21头牛吃几周？3、一只船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内。发现漏洞时已进入了一些水，如果用12个人淘水，3小时可以淘完；如果只有5个人淘
