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1、1.10.5数阵图1.10.5.1基础知识数阵是由幻方演化出来的另一种数字图。幻方一般均为正方形。图中纵、横、对角线数字和相等。数阵则不仅有正方形、长方形，还有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合。变幻多姿，奇趣迷人。一般按数字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。数阵的特点是：每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等。它的表达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定的图中，使其具备数阵的特点。解数阵问题的一般思路是：1.求出条件中若干已知数字的和。2.根据“和相等”，列出关系式，找出关键数重复使用的数。3.确定重复用数后，对照“和相
2、等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。有时，因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的。1.10.5.2辐射型数阵例1 将15五个数字，分别填入下图的五个中，使横、竖线上的三个数字和都是10。解：已给出的五个数字和是：1234515 题中要求横、竖每条线上数字和都是10，两条线合起来便是20了。20155，怎样才能增加5呢？因为中心的一个数是个重复使用数。只有5连加两次才能使五个数字的和增加5，关键找到了，中心数必须填5。确定中心数后，按余下的1、2、3、4，分别填在横、竖线的两端，使每条线上数的和是10便可。例2将17七个数字，分别填入图中的各个内，使每条线上的三个数和相等。 解：图中共
3、有3条线，若每条线数字和相等，三条线的数字总和必为3的倍数。设中心数为a，则a被重复使用了2次。即，12345672a282a，282a应能被3整除。（282a）32832a3其中2839余1，所以2a3应余2。由此，便可推得a只能是1、4、7三数。当a1时，282a30 30310，其他两数的和是1019，只要把余下的2、3、4、5、6、7，按和为9分成三组填入两端即可。同理可求得a4、a7两端应填入的数。例3将从1开始的连续自然数填入各中，使每条线上的数字和相等。 解：图中共有三条线，若每条线数字和相等，三条线的数字总和必为3的倍数。设中心数为a，a被重复使用了两次，即：123102a55
4、2a，552a应能被3整除。（552a）35532a3其中，55318余1，所以2a3应余2。由此，可推知a只能在1、4、7中挑选。在a1时，552a57，57319，即中心数若填1，各条线上的数字和应为19。但是除掉中心数1，在其余九个数字中，只有两组可满足这一条件，即：97218，86418，75315所以，a不能填1。经试验，a7时，余下的数组合为12（19712），也不能满足条件。因此，确定a只能填4。例4将19九个数字，填入下图各中，使纵、横两条线上的数字和相等。 解：19九个数字和是：12395945，把45平分成两份：45222余1。这就是说，若使每行数字和为23，则需把1重复加
5、一次，即中心数填1；若使数字和为24，中心数应填3。总之，因452余数是1，只能使1、3、5、7、9各个奇数重复使用，才有可能使横、竖行的数字和相等。因而，此题可有多种解法。但中心数必须是9以内的奇数。例5 将111十一个数字，填入下图各中，使每条线段上的数字和相等。 解：图中共有五条线段，全部数字的总和必须是5的倍数，每条线上的数字和才能相等。111十一个数字和为66，66513余1，必须再增加4，可使各线上数字和为14。共五条线，中心数重复使用4次，填1恰符合条件。此题的基本解法是：中心数重复使用次数与中心数的积，加上原余数1，所得的和必须是5的倍数。据此，中心数填6、11均可得解。1.1
6、0.5.3封闭型数阵例1把2、3、4、5、6、7六个数字，分别填入中，使三角形各边上的数字和都是12。 解：要使三角形每边上的数字和都是12，则三条边的数字和便是12336，而23456727，36与27相差9。三个角顶的数字都重复使用两次，只有这三个数字的和是9，才能符合条件。确定了角顶的数字，其他各数通过尝试便容易求得了！这题还可有许多解法，上图只是其中一种。例2把19九个数字，分别填入下图中，使每边上四个数的和都是21。 解：要使三角形每条边上的数字和是21，则三条边的数字和便是：21363。而19九个数字的和只有45。45比63少18，只有使三角形三个顶角的数字和为18，重复使用两次，
7、才能使总和增加18。所以应确定顶点的三个数。下面是填法中的一种。确定了顶角的数后，其他各数便容易了。例3下图是四个互相联系的三角形。把19九个数字，填入中，使每个三角形中数字的和都是15。 解：每个三角形数字和都是15，四个三角形的数字和便是：15460，而19九个数字和只有45。45比60少15。怎样才能使它增加15呢？靠数字重复使用才能解决。中间的一个三角形，每个顶角都联着其他三角形，每个数字都被重复使用两次。因此，只要使中间的一个三角形数字和为15，便可以符合条件。因此，它的三个顶角数字，可以分别为：1、9、5 2、8、5 2、7、6 4、6、5及2、9、4 3、8、4 3、7、5 8、
8、6、1。把中间的三角形各顶角数字先填出，其他各个三角形便容易解决了。前页下图是其中的一种。例4 把210九个数字，分别填入下图中，使每条直线上的三个数和为15。 解：210九个数字的和为：234106954若排成每个三角形每边的数字和都是15，图中含有每边都三个数字的三角形有两个，共六条边，数字总和应是15690。54比90少36。在外围的六个数都被重复使用了两次，它们又分属于两个三角形。所以，每个三角形三个顶角的数和应为：36218。这样，便可以先填外三角形三个顶角的数。三个数和为18的有很多组，可以通过试验筛选出适宜的一组。填好了外围三角形各个数后，里面的三角形，因为顶角的数已知，其他各数
9、便容易填写了。上面是填法中的一种。例5 把110十个数字，分别填入下图中，使每个三角形三个顶角的三个数字和相等。 解：图中有三个三角形，顶角数字互不联系，中心的一个数独立于各个三角形之外。因此，要使各三角形顶角的数字和相等。去掉中心数后，数字总和应是3的倍数，而且三角形顶角的数字三组中不能出现重复。如：以10为中心数，可填为如上图样。例6 将112分别填入下图中，使图中每个三角形周边上的六个数的和都相等。 解：图中共有四个三角形，共有六个边。112的数字和是78。每条边上的数字和应为：78613。这样，我们可以推想：因为内部的三条边都被重复计算两次，只要每个数增加1，十二个数的总和便增加6，它
10、们同样可以填出来，因而，本题的解法是很多的。7、把九个数分别填入下图中，使每条直线上的三个数的和都相等。 解：九个分数排成方阵，使纵、横、对角线的三个数和相等，这已经符合幻方的要求了，因此，可以按幻方的制作方法求解。这十二个分数，按从小到大的顺序排列是：把它们按序排列为斜方形：将上、下两数，左、右两数对调，再把中间四数向外拉出，这样重新组成的数阵，便是求得的解了。例8 将18八个数字，分别填入下图中，使每个小三角形顶点上三数之和为12。 解：图中共有四个小三角形，每个三角形顶点数字的和若都是12，数字总和便是12448，可是18八个数字总和只有36。36比48少12。只有靠共用顶角上数的重复使
11、用，才能解决。因此，必须把四个公用顶角的数字和填成12。把18八个数四个一组，和为12的有：63215421上述两组中，经验证，只有6321可以作公用顶点的数字。例9 在下图五个内，各填入一个自然数，使图中八个三角形中顶点的数字和各不相同。求能满足这个条件的自然数中最小的五个数。 解：能满足使八个三角形顶点数字和各不相同的任意自然数有很多组，但自然数中能满足这个条件的最小自然数却只有一组。最小的一组自然数中的五个数，若有两个相同的，其中三个数的和可以多到有7个不同值，因此，五个数互不相同。如果这五个数是1，2，3，4，5，则其中三个数的和有如下组合方式：1236 2349 345121247
12、1348 2351024511这样，总共只有七种不同的和，而图中共八个三角形，可知1，2，3，4，5五个自然数不能满足条件。例10 在下列图中三个正方形中，每个正方形的四个顶点上，只填入1，2，3，4四数，使图中八个三角形顶点数字和互不相同。 解：图中，顶角在大正方形边上的四个三角形，顶角都分别为两个三角形共用，只有正方形的四个角分别只属于一个三角形，所以，四个三角形顶点数字的和应等于：（1234）33030不是4的倍数，因而，外面的四个三角形顶点数字和不可能相等。同理，里面的四个三角形顶点数字和也不可能相等。题中要求，每个三角形顶点数字和不相同，14四个数之和最小值是1124，最大值是44311，这样共可组成八组数，将八组数分别填入各个三角形顶点，便可符合条件。例11 将18八个数字，分别填入下图中，使每个面的四个数和相等。 解：数字图是个正立方体，共有六个面。每个面四个顶点上的数都是三个面重复使用的。18八个数的数字总和是：123836因为每个顶点的数都被重复使用三次，所以六个面的数字总和是：363108每个面的数字和便是：108618这样，便可填为下图或其他形式。
