小学数学校本教材《数学思维训练》.doc

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1、前 言亲爱的同学们：你们好！ 我们学校正在开始小学数学思维训练专题的系统学习， 高年级学生有了一定的计算能力和理解能力，是进行数学思维训练的最好阶段，这个阶段学生接受能力很强，正是养成良好学习习惯和学习先进方法的阶段，因此要有针对性地进行一些较复杂的数学思维能力训练，使你们能快速的形成数学思维方法。镇学校小学数学思维训练这本书根据你们的知识结构、年龄特征、兴趣爱好选择了读一读，算一算，想一想，做一做四个板块。你们作为数学学科爱好者，做到 “法”而有“向”，“研”而有“力”，这样才能真正提高学习的效益，才能提高自己的数学素养 ，彰显数学文化的美丽和其独具的魅力。 同时编写数学思维训练的过程中我们

2、注意了几点：1、激发你们对数学学习的兴趣，遵循你们身心发展的特征，以及教育教学规律，要根据不你们的实际情况，努力让你们体验到学习数学的意义和快乐，而不仅仅是解答难题。 2、训练你们良好的数学思维习惯和思维品质。学习数学，是要发展学生的思维水平，在学习过程中培养学生会观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括等能力。通过数学的学习，让你们会用归纳、演绎和类比进行推理，会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点。3、锻炼你们优良的意志品质。数学思维训练有一定深度和难度，你们在学习过程中可能会遇到一些困难，要经常鼓励和帮助你们拥有一个良好的心态，要培养自己持之以恒的耐心和克服困难的信心，以及战胜难

3、题的勇气，培养你们坚韧不拔的毅力。 4、培养你们扎实的数学基本功，给予你们发挥创新精神和创造力的最大空间。数学教学提倡结合你们日常课内教学的实际，不提倡超前进度，要注重理解，举一反三和灵活运用。5、使你们获得心理上的优势，培养自信，数学是理科的基础，学习数学对于你们进入初中后的学习物理化学都非常有好处。 镇小学小学高年级数学思维训练对学生有着长远的实用价值，能够从根本上培养学生可持续发展的学习能力，一方面紧扣数学课程标准的要求，适应学生升学的需要，针对提高性的数学课外活动的需要，着重从解题方法、解题技巧等方面训练学生的应试能力；另一方面，注重培养学生对数学学习的兴趣、养成良好的数学学习习惯、掌

4、握优秀的学习方法，让学生受益终生。 镇小学小学高年级数学思维训练数学思维的无穷魅力在于：总结出规律，化繁为简、化难为易，再用规律去解决问题。 相信通过对这本书的认真学习，你会收获很多的快乐。第1讲 杰出数学家 华罗庚 在中国现代数学洪荒之地，有一位抱定“战士死在沙场幸甚”的开拓者，他就是华罗庚。华罗庚是中国解析数论、典型论、矩阵几何学、自守函数论与多个复变函数论等很多方面研究的创始人与奠基者，也是我国进入世界著名数学行列最杰出的代表者。他的研究成果被国际数学界命名为“华氏定理”、“布劳威尔加当华定理”、“华王方法”、“华氏算子”、“华氏不等式”等。他一生为我们留下了两百多篇学术论文，10部专著

5、，其中8部被国外翻译出版，有些已列入本世纪经典著作之列。他把数学方法创造性地应用于国民经济领域，筛选出了以改进工艺问题的数学方法为内容的“优选法”和处理生产和组织与管理问题为内容的“统筹法”。他是美国科学院历史上第一个当选为外籍院士的中国学者。他还当选为联邦德国巴伐利亚科学院院士；法国南锡大学、美国伊利诺斯大学与香港中文大学授予他荣誉博士学位。他的名字进入美国华盛顿斯密司宋尼博物馆，被列为芝加哥科学技术博物馆中当今88个数学伟人之一。 第2讲 1、韩信点兵韩信是我国汉代著名的大将，曾经统率过千军万马，他对手下士兵的数目了如指掌。他统计士兵数目有个独特的方法，后人称为“韩信点兵”。他的 方法是这

6、样的，部队集合齐后，他让士兵1、2、31、2、3、4、51、2、3、4、5、6、7地报三次数，然后把每次的余数再报告给他，他便知道部队的实际人数和缺席人数。他的这种计算方法历史上还称为“鬼谷算”，“隔墙算”，“剪管术”， 外国人则叫“中国剩余定理”。有人用一首诗概括了这个问题的解法：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知。这意思就是，第一次余数乘以70，第二次余数乘以21，第三次余数乘以15，把这三次运算的结果加起来，再除以105，所得的除不尽的余数便是所求之数（即总数）。例如，如果3个3个地报数余1；5个5个地报数余2，7个7个地报数余3，则总数为52。算式如下：17

7、0221315157157105152下边给同学们出一道题，请用“韩信点兵法”算一算。小红暑假期间帮着张二婶放鸭子，她总也数不清一共有多少只鸭子。她先是3只3只地数，结果剩3只；她又5只5只地数，结果剩4只；她又7个7个地数了一遍，结果剩6只。她算来算去还是算不清一共有多少只鸭子。？ 2、爱因斯坦的数学游戏大科学家爱因斯坦小时候就特别聪明，有一次同学们在一起玩，他说：“我们做一个数学游戏怎么样？”同学们说：“怎么做法呢？爱因斯坦说：“你们随便想一个数，然后做一些运算，我就能知道你们一开始想的那个数是多少？”汤姆说：“我不信，但是我可以试一试。”爱因斯坦说：“那么好吧，现在开始。你心里随便想一个

8、数吧。”“我想好了。”汤姆说。“在这个数上加上18。”“再加上136。”“减去27。”“减去你所想的数。”汤姆按照爱因斯坦的要求做了运算。他还没有说出答案，爱因斯坦就说：“最后得数是254。”汤姆惊呆了，爱因斯坦说的一点也不错，可是他是怎么算出来的呢？ 第3讲 速算与巧算（一）专题简析：速算与巧算是计算中的一个重要组成部分，掌握一些速算与巧算的方法，有助于提高我们的计算能力和思维能力。这一周我们学习加、减法的巧算方法，这些方法主要根据加、减法的运算定律和运算性质，通过对算式适当变形从而使计算简便。在巧算方法里，蕴含着一种重要的解决问题的策略。转化问题法即把所给的算式，根据运算定律和运算性质，或

9、改变它的运算顺序，或减整从而变成一个易于算出结果的算式。例1：计算9+99+999+9999分析与解答：这四个加数分别接近10、100、1000、10000。在计算这类题目时，常使用减整法，例如将99转化为1001。这是小学数学计算中常用的一种技巧。9+99+999+9999=（101）+（1001）+（10001）+（100001）=10+100+1000+100004=11106 人生应该像线段，有始有终；不应象射线，有始无终。名人名言言练 习 一1，计算99999+9999+999+99+92，计算9+98+996+99973，计算1999+2998+396+4974，计算198+297

10、+396+4955，计算1998+2997+4995+59946，计算19998+39996+49995+69996例2：计算489+487+483+485+484+486+488分析与解答：认真观察每个加数，发现它们都和整数490接近，所以选490为基准数。489+487+483+485+484+486+488=49071375642=343028=3402想一想：如果选480为基准数，可以怎样计算？练 习 二1，50+52+53+54+512，262+266+270+268+2643，89+94+92+95+93+94+88+96+874，381+378+382+383+3795，1032

11、+1028+1033+1029+1031+10306，2451+2452+2446+2453例3：计算下面各题。（1）632156232 （2）128+186+7286名人名言言 历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细。培根 分析与解答：在一个没有括号的算式中，如果只有第一级运算，计算时可以根据运算定律和性质调换加数或减数的位置。（1）632156232 =632232156 =400156 =244 （2）128+186+7286 =128+72+18686=（128+72）+（18686）=200+100名人名言最聪明的人是最不愿浪费时间的人。 但丁=300练 习 三计算下面各题1，12

12、085692082，283+69183 3，13285+684，2318+6251318+375例4：计算下面各题。1. 248+（152127） 2. 324（12497） 3. 283+（358183）减法数学课上，数学教师对一位学生说：“你怎么连减法都不会？例如，你家里有十个苹果，被你吃了四个，结果是多少呢？”这个学生沮丧地说道：“结果是挨了十下屁股！分析与解答：在计算有括号的加减混合运算时，有时为了使计算简便可以去括号，如果括号前面是“+”号，去括号时，括号内的符号不变；如果括号前面是“”号，去括号时，括号内的加号就要变成减号，减号就要变成加号。我们可以把上面的计算方法概括为：括号前面

13、是加号，去掉括号不变号；括号前面是减号，去掉括号要变号。1248+（152127） 324（12497） =248+152127 =324124+97 =400127 =200+97 把语言化为行动，比把行动化为语言困难得多。高尔基名人名言 =273 =297 283+（358183） =283+358183=283183+358=100+358=458练 习 四计算下面各题1，348+（252166） 2，629+（320129） 3. 462(262129)4. 662(315238)5，5623(623289)+452(352211)名人名言6，736+678+2386(336+278)

14、186合理安排时间，就等于节约时间。 培根 例5：计算下面各题。 （1）286+879679 （2）812593+193分析与解答：在计算没有括号的加减法混合运算式题时，有时可以根据题目的特点，采用添括号的方法使计算简便，与前面去括号的方法类似，我们可以把这种方法概括为：括号前面是加号，添上括号不变号；括号前面是减号，添上括号要变号。（1）286+879679 （2）812593+193=286+（879679） =812（593193）=286+200 =812400名人名言 学习数学的惟一方法是做数学哈尔莫斯=868 =412练 习 五计算下面各题。1，368+18598592，582+3

15、932933，632385+285 4，27562748+1748+2445，612375+275+（388+286）6，756+1478+346（256+278）246第4讲 巧妙求和知识要点与基本方法：若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。通项公式： 第n项=首项+（项数1）公差项数公式： 项数=（末项首项）公差1趣味数学: 1、一个农夫带着三只兔到集市上去卖，每只兔大

16、概三四千克，但农夫的秤只能称五斤以上，问他该如何称量。答：先称3只，再拿下一只，称量后算差。例题精讲例1：有一个数列：4，10，16，22，52，这个数列共有多少项？分析与解答：容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52，要求项数，可直接带入项数公式进行计算。项数=（524）61=9，即这个数列共有9项。练 习 一1，等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2，这个等差数列共有多少项？2，有一个等差数列：2，5，8，11，101，这个等差数列共有多少项？3，已知等差数列11，16，21，26，1001，这个等差数列共有多少项？例2：有一等差数列：3，7，11，15，这个等差数列的

17、第100项是多少？分析与解答：这个等差数列的首项是3，公差是4，项数是100。要求第100项，可根据“末项=首项+公差（项数1）”进行计算。第100项=3+4（1001）=399练 习 二1，一等差数列，首项=3，公差=2，项数=10，它的末项是多少？2，求1，4，7，10这个等差数列的第30项。3，求等差数列2，6，10，14的第100项。例3：有这样一个数列：1，2，3，4，99，100。请求出这个数列所有项的和。分析与解答：如果我们把1，2，3，4，99，100与列100，99，3，2，1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+（99+2）+（100+1），其中每个小括号

18、内的两个数的和都是101，一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2，就是所求数列的和。1+2+3+99+100=（1+100）1002=5050上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：等差数列总和=（首项+末项）项数2这个公式也叫做等差数列求和公式。名人名言 练 习 三计算下面各题。（1）1+2+3+49+50（2）6+7+8+74+75（3）100+99+98+61+60例4：求等差数列2，4，6，48，50的和。分析与解答：这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。要求这一数列的和，首先要求出项数是多少：项数=（末项首项）公差+1

19、 =（502）2+1=25首项=2，末项=50，项数=25等差数列的和=（2+50）252=650 练 习 四计算下面各题。（1）2+6+10+14+18+22（2）5+10+15+20+195+200（3）9+18+27+36+261+270例5：计算 （2+4+6+100）（1+3+5+99）分析与解答：容易发现，被减数与减数都是等差数列的和，因此，可以先分别求出它们各自的和，然后相减。进一步分析还可以发现，这两个数列其实是把1 100这100个数分成了奇数与偶数两个等差数列，每个数列都有50个项。因此，我们也可以把这两个数列中的每一项分别对应相减，可得到50个差，再求出所有差的和。（2+

20、4+6+100）（1+3+5+99）=（21）+（43）+（10099）=1+1+1+1=50 练 习 五用简便方法计算下面各题。（1）（2001+1999+1997）（2000+1998+1996）（2）（2+4+6+2000）（1+3+5+1999）名人名言（3）（1+3+5+1999）（2+4+6+1998） 一道好题的价值之一在于它能产生其他一些好题。 波利亚 第5讲 数数图形知识要点与基本方法：我们已经认识了线段、角、三角形、长方形等基本图形，当这些图形重重叠叠地交错在一起时就构成了复杂的几何图形。要想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形的个数，就需要仔细地观察，灵活地运用有关

21、的知识和思考方法，掌握数图形的规律，才能获得正确的结果。要准确、迅速地计数图形必须注意以下几点：1，弄清被数图形的特征和变化规律。2，要按一定的顺序数，做到不重复，不遗漏。例1：数出下面图中有多少条线段。 分析与解答：要正确解答这类问题，需要我们按照一定的顺序来数，做到不重复，不遗漏。从图中可以看出，从A点出发的不同线段有3条：AB、AC、AD；从B点出发的不同线段有2条：BC、BD；从C点出发的不同线段有1条：CD。因此，图中共有3+2+1=6条线段。练习一：数出下列图中有多少条线段。（1）（2）（3）例2：数一数下图中有多少个锐角。 分析与解答：数角的方法和数线段的方法类似，图中的五条射线

22、相当于线段上的五个点，因此，要求图中有多少个锐角，可根据公式1+2+3（总射线数1）求得：1+2+3+4=10（个）练习二：下列各图中各有多少个锐角？ 例3：数一数下图中共有多少个三角形。 分析与解答：图中AD边上的每一条线段与顶点O构成一个三角形，也就是说，AD边上有几条线段，就构成了几个三角形，因为AD上有4个点，共有1+2+3=6条线段，所以图中有6个三角形。练习三：数一数下面图中各有多少个三角形。 例4：数一数下图中共有多少个三角形。 分析与解答：与前一个例子相比，图中多了一条线段EF，因此三角形的个数应是AD和EF上面的线段与点O所围成的三角形个数的和。显然，以AD上的线段为底边的三

23、角形也是1+2+3=6个，所以图中共有62=12个三角形。练习四数一数下面各图中各有多少个三角形。 例5：数一数下图中有多少个长方形。 分析与解答：数长方形与数线段的方法类似。可以这样思考，图中的长方形的个数取决于AB或CD边上的线段，AB边上的线段条数是1+2+3=6条，所以图中有6个长方形。练习五数一数下面各图中分别有多少个长方形。 ( ) ( ) ( )逻辑学的用处：有个学生请教数学家逻辑学有什么用。数学家问他：“两个人从烟囱 里爬出去，一个满脸烟灰，一个干干净净，你认为哪一个该去洗澡？” “当然 是脏的那个。”学生说。 “不对。脏的那个看见对方干干净净，以为自己也不会脏， 哪里会去洗澡

24、？” 第6讲 找 规 律（一）专题简介：观察是解决问题的根据。通过观察，得以揭示出事物的发展和变化规律，在一般情况下，我们可以从以下几个方面来找规律：1根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数；2根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数；3要善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律；4数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。趣味数学: 某人先向正北走32km，再向正南走36km，问以下哪些可能是正确的他离出发点4km他离出发点大于48km他离出发点68km他离出发点小于4km他离出发点大于4km小于68km答：1

25、，3，5例1：先找出下列数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。1，4，7，10，（ ），16，19分析：在这列数中，相邻的两个数的差都是3，即每一个数加上3都等于后面的数。根据这一规律，括号里应填的数为：10+3=13或163=13像上面按照一定的顺序排列的一串数叫做数列。练习一：先找出下列各列数的排列规律，然后在括号里填上适当的数。（1）2，6，10，14，（ ），22，26（2）3，6，9，12，（ ），18，21（3）33，28，23，（ ），13，（ ），3（4）55，49，43，（ ），31，（ ），19（5）3，6，12，（ ），48，（ ），192（6）2，6，18，（

26、），162，（ ）（7）128，64，32，（ ），8，（ ），2（8）19，3，17，3，15，3，（ ），（ ），11，3例2：先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。 1，2，4，7，（ ），16，22分析：在这列数中，前4个数每相邻的两个数的差依次是1，2，3。由此可以推算7比括号里的数少4，括号里应填：7+4=11。经验证，所填的数是正确的。应填的数为：7+4=11或16-5=11练习二：先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。（1）10，11，13，16，20，（ ），31（2）1，4，9，16，25，（ ），49，64（3）3，2，5，2，7，2，（ ），（

27、），11，2（4）53，44，36，29，（ ），18，（ ），11，9，8（5）81，64，49，36，（ ），16，（ ），4，1，0（6）28，1，26，1，24，1，（ ），（ ），20，1（7）30，2，26，2，22，2，（ ），（ ），14，2（8）1，6，4，8，7，10，（ ），（ ），13，14例3：先找出规律，然后在括号里填上适当的数。23，4，20，6，17，8，（ ），（ ），11，12分析：在这列数中，第一个数减去3的差是第三个数，第二个数加上2的和是第四个数，第三个数减去3的差是第五个数，第四个数加上2的和是第六个数依此规律，8后面的一个数为：17-3=14，11

28、前面的数为：8+2=10练习三先找出规律，然后在括号里填上适当的数。（1）1，6，5，10，9，14，13，（ ），（ ）（2）13，2，15，4，17，6，（ ），（ ）（3）3，29，4，28，6，26，9，23，（ ），（ ），18，14（4）21，2，19，5，17，8，（ ），（ ）（5）32，20，29，18，26，16，（ ），（ ），20，12（6）2，9，6，10，18，11，54，（ ），（ ），13，486（7）1，5，2，8，4，11，8，14，（ ），（ ）（8）320，1，160，3，80，9，40，27，（ ），（ ）例4：在数列1，1，2，3，5，8，13，（

29、），34，55中，括号里应填什么数？分析：经仔细观察、分析，不难发现：从第三个数开始，每一个数都等于它前面两个数的和。根据这一规律，括号里应填的数为：8+13=21或3413=21上面这个数列叫做斐波那切（意大利古代著名数学家）数列，也叫做“兔子数列”。练习四先找出规律，然后在括号里填上适当的数。（1）2，2，4，6，10，16，（ ），（ ）（2）34，21，13，8，5，（ ），2，（ ）（3）0，1，3，8，21，（ ），144（4）3，7，15，31，63，（ ），（ ）（5）33，17，9，5，3，（ ）（6）0，1，4，15，56，（ ）（7）1，3，6，8，16，18，（ ），（

30、 ），76，78（8）0，1，2，4，7，12，20，（ ）例5：下面每个括号里的两个数都是按一定的规律组合的，在里填上适当的数。（8，4） （5，7） （10，2） （，9）分析：经仔细观察、分析，不难发现：每个括号里的两个数相加的和都是12。根据这一规律，里所填的数应为：129=3练习五：下面括号里的两个数是按一定的规律组合的，在里填上适当的数。（1）（6，9） （7，8） （10，5） （，）（2）（1，24） （2，12） （3，8） （4，）（3）（18，17） （14，10） （10，1） （，5）（4）（2，3） （5，9） （7，13） （9，）（5）（2，3） （5，7） （

31、7，10） （10，）（6）（64，62） （48，46） （29，27） （15，）（7）（100，50） （86，43） （64，32） （，21）（8）（8，6） （16，3） （24，2） （12，） 第7讲 和倍问题专题简析：已知两个数的和与它们之间的倍数关系，求这两个数是多少的应用题，叫做和倍问题。解答和倍应用题的基本数量关系是：和（倍数1）=小数 小数倍数=大数（和小数=大数）例1：学校有科技书和故事书共480本，科技书的本数是故事书的3倍。两种书各有多少本？趣味数学: 红旗小学四(1)班42名学生去文化宫看文艺演出，每张票5元钱，文化宫规定，每买4张票就送l张。请你算一算，四(

32、1）学生买票一共需要（ ）元钱。 答：170元分析与解答：为了便于理解题意，我们画图来分析：由图可知，如果把故事书的本数看作一份，那么科技书的本数就是这样的3份，两种书的总本数就是这样的13=4份。把480本书平均分成4份，1份是故事书的本数，3份是科技书的本数。480（13）=120（本） 1203=360（本）练 习 一1，用锡和铝制成的合金是720千克，其中铝的重量是锡的5倍。铝和锡各用了多少千克？2，甲、乙两数的和是112，甲数除以乙数的商是6，甲、乙两数各是多少？3，一块长方形黑板的周长是96分米，长是宽的3倍。这块长方形黑板的长和宽各是多少分米？例2：果园里有梨树、桃树和苹果树共1

33、200棵，其中梨树的棵数是苹果树的3倍，桃树的棵数是苹果树的4倍。求梨树、桃树和苹果树各有多少棵？分析与解答：如果把苹果树的棵数看作1份，三种树的总棵数是这样的1+3+4=8份。所以，苹果树有12008=150（棵），梨树有1503=450（棵），桃树有1504=600（棵）练 习 二1，李大伯养鸡、鸭、鹅共960只，养鸡的只数是鹅的3倍，养鸭的只数是鹅的4倍。鸡、鸭、鹅各养了多少只？2，甲、乙、丙三数之和是360，已知甲是乙的3倍，丙是乙的2倍。求甲、乙、丙各是多少。3，商店有铅笔、钢笔、圆珠笔共560支，圆珠笔的支数是钢笔的3倍，铅笔的支数与圆珠笔的支数同样多。铅笔、钢笔和圆珠笔各有多少支

34、？查票数学教授搭乘火车旅行，列车长前来查票时，他竟找不到票。数学教授急得满头大汗，列车长说：找不到就算了，再补张票好了。数学教授：这怎么可以，找不到那张票，我就不知道我要去哪里啊！例3：有三个书橱共放了330本书，第二个书橱里的书是第一个的2倍，第三个书橱里的书是第二个的4倍。每个书橱里各放了多少本书？分析与解答：把第一个书橱里的本数看作1份，那么第二个书橱里的本数是这样的2份，第三个就是这样的24=8份，三个书橱里的总本数就是这样的1+2+8=11份。所以，第一个书橱里放了33011=30（本），第二个书橱里放了302=60（本），第三个书橱里放了604=240（本）。练 习 三1甲、乙、丙

35、三个数之和是400，已知甲是乙的3倍，丙是甲的4倍。求甲、乙、丙各是多少。2三块钢板共重621千克，第一块的重量是第二块的3倍，第二块的重量是第三块的2倍。三块钢板各重多少千克？3甲、乙、丙三个修路队共修路1200米，甲队修的米数是乙队的2倍，乙队修的数数是丙队的3倍。三个队各修了多少米？例4：少先队员种柳树和杨树共216棵，杨树的棵数比柳树的3倍多20棵，两种树各种了多少棵？分析与解答：如果杨树少种20棵，那么柳树和杨树的总棵数是21620=196（棵），这里杨树的棵数恰好是柳树的3倍。所以，柳树的棵数是196（13）=49（棵），杨树的棵数是21649=167（棵）。练 习 四1，粮站有大

36、米和面粉共6300千克，大米的重量比面粉的4倍还多300千克，大米和面粉各有多少千克？2，小华和小明两人参加数学竞赛，两人共得168分，小华的得分比小明的2倍少42分。两人各得多少分？趣味数学: 小华参加摩托车比赛，参加的选手与比赛场次一样多，任何两个选手只在一次比赛中相遇，每次比赛出场四人，问共有多少人参加。答：133，学校购买了720本图书分给高、中、低三个年级，高年级分得的比低年级的3倍多8本，中年级分得的比低年级的2倍多4本。高、中、低年级各分得图书多少本？例5：三个筑路队共筑路1360米，甲队筑的米数是乙队的2倍，乙队比丙队多240米。三个队各筑多少米？分析与解答：把乙队的米数看作1

37、份，甲队筑的米数是这样的2份。假设丙队多筑240米，那么三个队共筑了1360240=1600米，正好是乙队的211=4倍。所以，乙队筑了16004=400米，甲队筑了4002=800米，丙队筑了400240=160米。练 习 五1，三个植树队共植树1900棵，甲队植树的棵数是乙队的2倍，乙队比丙队少植300棵。三个队各植树多少棵？2，三个数的和是1540，甲数是丙数的7倍，乙数比甲数多40。三个数各是多少？ 我解决过的每一个问题都成为日后用以解决其他问题的法则。笛卡尔3，城东小学共有篮球、足球和排球共95个，其中足球比排球少5个，排球的个数是篮球个数的2倍。篮球、足球、排球各有多少个？名人名言

38、第8讲 最优化问题知识要点与基本方法：在日常生活和生产中，我们经常会遇到下面的问题：完成一件事情，怎样合理安排才能做到用的时间最少，效果最佳。这类问题在数学中称为统筹问题。我们还会遇到“费用最省”、“面积最大”、“损耗最小”等等问题，这些问题往往可以从极端情况去探讨它的最大（小）值，这类问题在数学中称为极值问题。以上的问题实际上都是“最优化问题”。例1：用一只平底锅煎饼，每次只能放两个，剪一个饼需要2分钟（规定正反面各需要1分钟）。问煎3个饼至少需要多少分钟？分析与解答：先将两个饼同时放入锅中一起煎，一分钟后两个饼都熟了一面，这时可将一个取出，另一个翻过去，再放入第三个。又煎了一分钟，将两面都

39、熟的那个取出，把第三个翻过去，再将第一个放入煎，再煎一分钟就会全部煎好。所以，煎3个饼至少需要3分钟。自然这一巨著是用数学符号写成的。伽里略名人名言练 习 一1，烤面包时，第一面需要2分钟，第二面只要烤1分钟，即烤一片面包需要3分钟。小丽用来烤面包的架子，一次只能放两片面包，她每天早上吃3片面包，至少要烤多少分钟？2，用一只平底锅烙大饼，锅里只能同时放两个。烙熟大饼的一面需要3分钟，现在要烙3个大饼，最少要用几分钟？3，小华用平底锅烙饼，这只锅同时能放4个大饼，烙一个要用4分钟（每面各需要2分钟）。可小华烙6个大饼只用了6分钟，他是怎样烙的？例2：妈妈让小明给客人烧水沏茶。洗水壶需要1分钟，烧

40、开水需要15分钟，洗茶壶需要1分钟，洗茶杯需要1分钟。要让客人喝上茶，最少需要多少分钟？难题 我的一位数学老师，有一次，我的一个同学问他一道数学题，他一看，挺简单，于是大怒，说道：你这个笨蛋，这道题不就这么这么这么作. 又换了一次，该同学找了一道据难的问题问他，他一看，然后似乎进入了思考状态，然后开始踱步思考，然后开始向教室外踱去，然后就消失了。分析：经验表明，能同时做的事，尽量同时做，这样可以节省时间。水壶不洗，不能烧开水，因此，洗水壶和烧开水不能同时进行。而洗茶壶、洗茶杯和拿茶叶与烧开水可以同时进行。根据以上的分析，可以这样安排：先洗水壶用1分钟，接着烧开水用15分钟，同时洗茶壶、洗茶杯、

41、拿茶叶，水开了就沏茶，共需要16分钟。练 习 二1，小虎早晨要完成这样几件事：烧一壶开水需要10分钟，把开水灌进热水瓶需要2分钟，取奶需要5分钟，整理书包需要4分钟。他完成这几件事最少需要多少分钟？2，小强给客人沏茶，烧开水需要12分钟，洗茶杯要2分钟，买茶叶要8分钟，放茶叶泡茶要1分钟。为了让客人早点喝上茶，你认为最合理的安排，多少分钟就可以了？3，在早晨起床后的1小时内，小欣要完成以下事情：叠被3分钟，洗脸刷牙8分钟，读外语30分钟，吃早餐10分钟，收碗擦桌5分钟，收听广播30分钟。最少需要多少分钟？例3：五（1）班赵明、孙勇、李佳三位同学同时到达学校卫生室，等候校医治病。赵明打针需要5分

42、钟，孙勇包纱布需要3分钟，李佳点眼药水需要1分钟。卫生室只有一位校医，校医如何安排三位同学的治病次序，才能使三位同学留在卫生室的时间总和最短？分析：校医应该给治疗时间最短的先治病，治疗时间长的最后治疗，才能使三位同学在卫生室的时间总和最短。这样，三位同学留在卫生室的时间分别是：李佳1分钟，赵1+3=4分钟，赵明1+3+5=9分钟。时间总和是1+4+9=14分钟。 练 习 三1甲、乙、丙三人分别拿着2个、3个、1个热水瓶同时到达开水供应点打热水。热水龙头只有一个，怎样安排他们打水的次序，可以使他们打热水所花的总时间最少？名人名言2甲、乙、丙三人到商场批发部洽谈业务，甲、乙、丙三人需要的时间分别是

43、10分钟、16分钟和8分钟。怎样安排，使3人所花的时间最少？最少时间是多少？ 纯粹数学，就其本质而言，是逻辑思想的诗篇。 爱因斯坦3甲、乙、丙、丁四人同时到一水龙头处用水，甲洗托把需要3分钟，乙洗抹布需要2分钟，丙洗衣服需要10分钟，丁用桶注水需要1分钟。怎样安排四人用水的次序，使他们所花的总时间最少？最少时间是多少？例4：用18厘米长的铁丝围成各种长方形，要求长和宽的长度都是整厘米数。围成的长方形的面积最大是多少？分析与解答：根据题意，围成的长方形的一条长与一条宽的和是182=9厘米。显然，当长与宽的差越小，围成的长方形的面积越大。又已知长和宽的长度都是整厘米数，因此，当长是5厘米，宽是4厘米时，围成的长方形的面积最大：54=20平方厘米。练 习 四1，用长26厘米的铁丝围成各种长方形，要求长和宽的长度都是整厘米数，围成的长方形的面积最大是多少？2，一个长方形的周长是20分米，它的面积最大是多少？3，一个长方形的面积是36平方厘米，并且长和宽的长度都是整厘米