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1、有关三幂等矩阵秩等式的进一步探讨李巧欣（莆田学院数学系 指导老师：杨忠鹏）摘要：本文首先得到K个幂等矩阵和的秩的等式,并且以它为工具探索了一个幂等矩阵和一个三幂等矩阵和的秩的等式.作为应用,本文的主要结论概括推广了George P.H.和Yongge Tian的相关结论.在这篇文章中，主要使用了两种经典的方法：把三幂等矩阵转化为幂等矩阵和分块矩阵的高斯消元法.关键词: 三幂等矩阵 幂等矩阵 对合矩阵 矩阵的秩 Abstract: This paper firstly studys the rank equalities of the sum of k idempotent matrix. Us
2、ing the rank equalities of the sum of k idempotent matrix, it also explores the rank equalities of the sum of one idempo-tent matrix and one tripotent matrices. As the application,the main conclucion of this paper generalies the related conclusion of George P.H.and Yongge Tian ,respectively, by two
3、classical tools: transforming an tripotent matrix into an idempotent matrix and applying block Gaussian elimination.Keywords: Tripotent matrices Idempotent matrix Involutory matrix Rank equality 0 符号说明及引言三幂等矩阵性质一直是矩阵理论中令人关注的课题， 在许多内容和各种学科中都非常有用.为了后面的写作方便，首先进行符号说明.用表示复数域上的所有矩阵组成的集合; 表示复数域上所有维列向量组成的集合
4、，表示阶单位矩阵，表示矩阵的秩.若，称A为幂等矩阵.设复矩阵为的共轭矩阵，其中为的共轭复数.即对进行转置.表示的共轭转置矩阵. 在本文中用表示A的共轭转置矩阵;若，称为三次幂等矩阵.若，称为m次幂等矩阵；若，称为对合矩阵.若，称为幂么矩阵；分块矩阵，.，.若称为与的换位子.表示的值域.对分块矩阵的初等变换的符号说明:表示矩阵的第i行加上或减去第j行，表示矩阵的第i 列加上或减去第j列，表示第i行加上或减去第j行的倍；表示第i列加上或减去第j列的倍. 文献1研究了幂等矩阵与三幂等矩阵线性组合的幂等性.文献4讨论了三个两两可交换的三幂等矩阵的线性组合的可逆性.而文献5首先给出了一个矩阵的两个多项式
5、秩的和的恒等式，然后应用这个结果给出了三幂等矩阵相关的秩等式，指出有些等式可以作为刻划三幂等矩阵的秩特征恒等式，有些不能作为判定三幂等矩阵的充分且必要条件.Yongge Tian，George P.H.Styan在文献2中得到了两个幂等矩阵的差，和秩等式，同时也得到了两个对合矩阵的秩等式. 而文献5给出了两个可交换的三幂等矩阵的线性组合是三幂等矩阵的充要条件，至此基本上很少人涉及过两个三幂等矩阵，Q的和，差以及三幂等矩阵P与对合矩阵A的换位子秩的等式与不等式，及其可逆性等一些相关性质.本文就从这里开始研究.本文利用两条研究思路：“求同存异”，即把不同的两类矩阵化成同一类矩阵，从而便于研究讨论，
6、在此利用基本工具是把三幂等矩阵转化为幂等矩阵；直接利用分块矩阵的高斯消元法直接进行研究讨论.1 预备定理我们首先引入本论文用到的基本定理：引理1(见4，引理1.1)设已知,则他们满足下面秩的等式: 特别地,若且都为幂等矩阵，则的一个广义逆为其本身,所以有 引理2 (见4，定理2.4) 若且都为幂等矩阵，则和有下列秩等式： ， ， ， ， ， 引理3（见4，定理2.1） 设，是复数域上的两个阶幂等矩阵，则有下列秩等式 引理4(见4，推论2.3)若且都为幂等矩阵，则有下列秩等式: 引理5 如果，则当且仅当 证明 必要性 当且仅当成立.充分性 由,得,由根据,得到引理6 设为n阶矩阵，则为三幂等矩阵
7、的充要条件是存在可逆矩阵，使证明 必要性 由于,则为的化零多项式,由无重根知相似于对角阵且存在可逆矩阵，使,其中为的正惯性指数, 为的负惯性指数.充分性 由,所以 因此, 为三幂等矩阵.引理7设为n阶矩阵，则下面三个命题是等价的：1）；2）存在可逆矩阵T ，使得；3） 证明 由于,则为的化零多项式,由无重根知相似于对角阵且存在可逆矩阵，使,其中为的正惯性指数. 因为,所以 因为,所以,即引理8 若是幂等矩阵，则也是幂等矩阵.证明 因为是幂等矩阵， 所以为幂等矩阵.因为，所以为幂等矩阵.引理9 若是对合矩阵时，则也是对合矩阵.证明 因为是对合矩阵，所以也是对合矩阵. 引理10 设,如果则当且仅当
8、.证明 必要性 由,且,则当且仅当 时才成立.充分性 由得,则,则当且仅当时才可以.2 主要结果由于本文主要研究的是三幂等矩阵秩等式及不等式，利用基本工具是把三幂等矩阵转化为幂等矩阵所以首先详细介绍一下三幂等矩阵转化为幂等矩阵的定理以及本文章所用到的有关三个幂等矩阵和的秩的等式. 2.1 三幂等矩阵转化为幂等矩阵定理2.1 设为三幂等矩阵，即，则可表为两个幂等矩阵的差，即，其中都是幂等矩阵，且证明 因为，则存在可逆矩阵T，使得，所以都是幂等矩阵.且.2.2 个幂等矩阵和的秩的等式定理2.2 设是复数域上的个阶幂等矩阵，则有下列秩等式 证明 因为因为分块矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，所以有利用分
9、块矩阵的高斯消元法和幂等矩阵的性质，有同样根据分块矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，有即又由于所以推论1 设，是复数域上的三个阶幂等矩阵，则有下列秩等式 推论2 设，是复数域上的三个阶幂等矩阵，且，则.证明 因为，所以,所以 所以 ,即，,所以从而,即2.3 一个幂等矩阵与一个三幂等矩阵的和的秩根据定理2.1，并引用定理2.2及其推论1中的证明方法我们有:定理2.3 设为幂等矩阵，即.为三幂等矩阵，即，则 证明 因为为三幂等矩阵，由定理2.1知存在幂等矩阵，使得.所以.又因为因为分块矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，所以有 利用分块矩阵的高斯消元法和幂等矩阵的性质，有 根据分块矩阵的初等变换不改变矩阵
10、的秩，所以有 又因为， 根据分块矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，所以有 结合，得，.推论1 若是复数域上的阶幂等矩阵,为三幂等矩阵，即，则 证明 若是幂等矩阵，则也是幂等矩阵，用代替式中的，就可以得到式的秩等式. 推论2 若是复数域上的阶对合矩阵,为三幂等矩阵，即，则 证明 若是复数域上的阶对合矩阵，有引理9知，为幂等矩阵，用代替式中的，就可以得到式的秩等式. 2.4 一个三幂等矩阵与一个对合矩阵换位子的秩定理2.4 若，且，则换位子可以转化为两对幂等矩阵与对合矩阵的换位子的代数差.证明 因为，则存在可逆矩阵T，使得 通过简单的计算可以知道矩阵都是幂等矩阵.则有: .定理2.5 设是复数域上的任
11、意阶矩阵，且P是幂等矩阵，Q是对合矩阵，即，则 证明 因为 根据分块矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，所以有 又利用分块矩阵的高斯消元法和幂等矩阵与对合矩阵的性质， 根据分块矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，所以有.推论 若 是复数域上的n阶幂等矩阵， 是复数域上的n阶对合矩阵，则有 证明 若是幂等矩阵，则分别也是幂等矩阵，是对合矩阵时，则也是对合矩阵.用代替式中的，代替式中的，就可以得到以上所有秩等式. 结束语:本论文是在认真研究阅读George P.H. Styan和Yongge Tian 的文章（文献2）和有关三幂等矩阵的文章（文献1，4，5）之后，查阅大量相关资料的基础上，提出了新的研究方向，
12、即研究一个幂等矩阵与一个三幂等矩阵的和的秩等式，可逆性相关性质，以及研究三幂等矩阵于对合矩阵的换为子的秩.研究三幂等矩阵秩等式有很强的概括性，在引言中已经简单说明过.本文不仅是在原来研究内容上的拓宽，研究程度上的深入，在研究方法上，所得结果都有创新之处.最重要的是此研究课题是几乎没有人涉及到的新问题，同时得到了很多好的结论，本文还可以延伸到个三幂等矩阵的和的秩，三幂等矩阵与幂等矩阵和对合矩阵交叉项的换位子形式.还可以更深入地研究阶幂等矩阵与阶幂么矩阵的和以及换位子的相应性质.这里有很大的研究空间.致谢:本论文是在导师杨忠鹏的悉心指导下完成的.导师严谨的治学态度，精益求精的工作作风，严以律己、宽
13、以待人的崇高风范，对我影响深远，使我掌握了基本的研究方法.本论文从选题到完成，每一步都是在导师的指导下完成的，倾注了导师大量的心血.在此，谨向杨忠鹏教授表示崇高的敬意和衷心的感谢！还要感谢同组同学的支持与帮助；同时还要感谢其它学科老师的教育、和帮助，在此表示深深的感谢.参考文献:1 Jerjy K Baksalary，Oskar Maria Backsalary and George Styan P H. Idemotency of linear combinations of an idempotent matrix and tripotent matrixJ. Linear Algebra
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