数学与应用数学毕业设计.doc

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1、本科毕业论文(设计)题 目： 常数函数成立的条件 学 院： 师范学院 专 业： 数学与应用数学 姓 名： 王英迪 指导教师： 张培恒（副教授） 2012年04月20日常数函数成立的条件摘 要 常数函数是我们接触过的函数中最为简单的函数，但是证明满足某一个条件的函数是常数函数却并不简单.本课题主要通过陈述常用的几种常数函数成立的条件定理，以及这些定理的证明过程和应用方法，从而得出判定一个函数是常数函数的条件.在系统地给出了常数函数成立条件的几个命题之后，我们可以在判定一个函数是常数函数的时候迅速地找到切入点，从而很好地解决问题.同时本文将常数函数成立的条件进行总结，体现了理论知识对具体问题的指导

2、作用，对提高学生灵活多样的思维方式、提高解决问题的能力都有很大的作用.关键词 常数函数，中值定理，归结原则Conditions Set Up By The Constant FunctionABSTRACT The constant function is the most simple function that we have approached, but to prove that function satisfy a certain condition is a constant function is not simple. The main subject of the cond

3、itions set up by the statements of several commonly used constant function theorem and the theorem proving process and application methods to arrive at conditions determine a function is a constant function. The system gives several propositions of the conditions set up by the constant function. We

4、can determine a function is a constant function to quickly find the entry point to solve the problem. At the same time, the conditions established by the constant function to sum up the guiding role of theoretical knowledge on specific issues, and they have a significant role to improve the students

5、 a flexible way of thinking and improve problem-solving skills. KEYWORDS Constant Function, Mean Value Theorem, Attributed To The Principle 目录1. 引言2. 常数函数的概念3. 常数函数成立的条件4. 结束语5. 感谢语参考文献1引言函数概念是数学中最基本的概念之一, 同时也是中学数学中最重要和最难以理解的概念之一.函数渗透到了数学中的很多分支，可以说函数是数学研究的核心部分.很多自然科学中的问题也通过函数来解决.函数的出现加速了数学的发展过程，并逐渐成

6、为了数学的基石，在数学中占据着不可替代的位置.常数函数是函数中最简单的一类函数，也是函数中较为重要的一类函数.常数函数在函数中占据重要地位主要有两个原因.原因之一，正如恩格斯所说：“初等数学，即常数的数学，是在形式逻辑的范围内活动的” ，我们的思维发展水平可以通过对函数的研究显现出来.因此，加深常数函数的研究有利于培养我们的辩证逻辑思维.原因之二，函数经常被用来解决实际生活中遇到的问题.此外，在函数的应用过程中，数学中还产生了其他很多种概念，为数学注入了很多新鲜血液.鉴于函数的重要地位，我们必须加深对函数的理解.而通过对常数函数的研究，我们可以对函数概念有更深层次的了解.在教学中，教师一般会给

7、出常数函数的定义，来引导学生形成常数函数的概念.但教学实践表明，函数概念的抽象性较强，是学生较难掌握的概念之一.而且很多教师通常只给出常数函数的定义而不加深入讲解，这样学生只能根据函数的形式来判定一个函数是否为常数函数，而不能系统的掌握判定常数函数成立的条件，也不能较深入的理解常数函数.学生对常数函数概念理解不透彻，这样就使得运用函数思想分析问题和解决问题方面显得弱势.应该怎样引导学生来形成常数函数概念？怎样判定一个函数是常数函数？怎样在实际教学过程中将判定常数函数的条件进行总结？种种问题的提出都表明了我们研究常数函数概念及其成立条件的必要性.因此通过对常数函数及其成立条件的研究, 无疑有助于

8、人们更深刻、更全面地理解常数函数的本质,有助于人们系统掌握常数函数成立的条件，以至于在遇到常数函数问题时能够轻易地找到切入问题，从而使问题很好的被解决。此外，人们可以从中得到有益的方法论启示，提高自己灵活多样的思维方式，提高解决问题的能力.2 常数函数的概念在数学中，常数函数（也称常量函数、常值函数）是指值不发生改变（即是常数）的函数。形如，为常数.例如，我们有函数，因为对于中任意一值都到，因此是一个常数.更一般地，对一个函数,如果对内所有的和，都有，那么，是一个常数函数.请注意，每一个空函数（定义域为空集的函数）无意义地满足上述定义，因为中没有和使和不同.然而有些人认为，如果包括空函数的话，

9、那么常数函数将更容易定义3 常数函数成立的条件定理1 设在区间I上有定义，则为常数函数的充分必要条件是对任意的，都有.证明 任取两点，（设），在区间上应用拉格朗日定理，存在，使得.这就证得在区间上任何两点之间值相等.则函数为常数函数.该定理是证明一个函数是常数函数的重要定理，经常用于常数函数的证明.并且该定理为常数函数成立的充要条件.若一个函数满足上述定理条件，则该函数是常数函数.同时，若一个函数为常数函数，则可以得出结论.该定理虽然经常用于常数函数的证明，但是证明一个函数是常数函数却并不只限于这一个定理，下面我们给出几个证明函数是常数函数的命题：命题1 设对定义域内一切均有成立， 且在和处连

10、续则函数在定义域上为常数函数.证法1 （1）设，由条件得，因此， （2）当时，.（3）当时，.所以，（常数）.即函数为常数函数.证法2 （1）证明对于任意都有成立.事实上，对于任意的并且，由已知条件可得：对于任意的正整数有：，又因为在处连续，则：.由以上可得出：对任意有.（2）证明对于任意都有成立.事实上，对于，反向利用已知条件可得：对于任意的正整数有：.又因为.由以上可得出：对任意有.(3) 证明对于任意都有成立.事实上，若，则，从而.综合（1）（2）（3）可得，对任意有.故为常数函数.由此可见，命题1可以作为常数函数的成立的条件来判定一个函数为常数函数.即对于定义在上的函数满足且函数在，处

11、连续，则该函数为常数函数.命题2 假设函数在定义域上满足有等式成立，且，则，即函数为常数函数.证明 假设函数在上部恒为，则必存在一点，使得：，又因为在上满足，于是：则可得到数列(1) 若，则，且由做法知，. 又因为，由归结原则可得，. 由可得，.(2) 若，则，且有做法知，. 又因为，由归结原则可得，. 由可得，.由(1)(2)得，不论还是，都有，这与矛盾，故。即函数为常数函数.由此可见，对于在定义域上满足等式，并且有成立的函数，可以证明其为常数函数. 命题3 设在上满足，并且，则在上为常数函数，并且.证明 假设存在，使,由已知条件，得对于任意的正整数有：,另一方面由已知条件可得：，存在正数,

12、使得当时有：，取n足够大，使,则有：,即矛盾.所以，在上为常数函数，并且.由此可见，对于在上满足，并且的函数，可以证明其为常数函数.命题4 设函数在区间上连续，若对于任何有理数有，则在上.即该函数为常数函数.证明 ，若为有理数，则，若为无理数，则存在有理数列，使，且，由在上连续，知，由归结原则知，而因此由此可得，对于，有，即在上.即该函数为常数函数.由此可见，如果函数在区间上连续，对于任何有理数有，则在上.即可以证明该函数为常数函数.命题5 设为区间上连续实矩阵，且为方程的解，那么对于方程的任意一解，必有常数.证明 因为是方程的解，所以 又因为是方程的任一解，所以 所以，=常数.命题6 设在上

13、有定义，如果对于任意恒有成立（其中：，均为常数），则在上为常数函数.证明 设.任取,根据已知条件得：，所以，.令，则得：,由的任意性知对任意均有,所以，在上为常数函数.由此可见，对于定义在上的函数，如果对于任意恒有不等式成立（其中：，均为常数），则可以证明该函数为常数函数.命题7 设在上连续，并且对上任一满足的连续函数均有，那么为上的常数函数.证明 构造函数：.显然在上连续，并且,因而有 （1）显然有 （2）由得： ,由连续知，从而有,即为上的常数函数.由此可见，如果函数在上连续，并且对上任一满的连续函数均有，则可以证明该函数为常数函数.命题8 (1)设在上连续，并且对上任一连续函数均有则.(

14、2)设在上连续，且对于所有那些在上满足附加条件的连续函数，有则.证明 (1)假设，使，由已知取，则,因为在上连续，所以也在上连续.0，有，所以，,与已知矛盾,所以 .(3) 假设，使不妨设，由连续性，0，有，取显然，在上连续，由已知令一方面，与已知矛盾.同理得0，取，0，产生矛盾.所以，.由此可见，如果函数在上连续，并且对上任一连续函数均有则可证明该函数是常数函数.另外，如果函数在上连续，且对于所有那些在上满足附加条件的连续函数，有则也可以证明该函数为常数函数.命题9 设、分别在有限区间上有定义，并且满足条件：(1)对上任意两点有.(2)对中的任意两点有.其中，,为定数，则当时，是上的常数函数

15、.证明 因为，则中至少有一个数大于1,若1由命题三知常数，若1由命题三知常数,从而常数.由此可见，命题7也可作为证明常数函数成立的条件.命题10 设是上的周期函数，且,则，即函数为常数函数.证明 假设,则存在，使,又因为是周期函数，不妨设为，记,则，由做法知： （1）又因为，由归结原则有 （2）由（1）和（2）矛盾知，即函数为常数函数。由此可见，如果函数是上的周期函数，且,则可以证明该函数为常数函数.命题11 已知函数在区间内有二阶导数，且，试证：，使得在内，即函数为常数函数.证明 将，在处按Taylor公式展开，又因为 介于之间 介于之间从而令，则在上连续，使得：只要证明即可事实上 即 所以

16、，在上，即函数为常数函数.由此可见，如果函数在区间内有二阶导数，且，并且有不等式成立则可以证明该函数为常数函数.命题12 设在上可微，且，.证明：在上.即该函数为常数函数.证明 由得且,即，由，得，即从而有且,因此，即证明该函数为常数函数.由此可见，当在上可微，并且有条件，成立时，该函数为常数函数.命题13 设满足，其中为任一函数，证明：若，,则在上恒等于0，即该函数为常数函数.证明 由于在上连续，故在内取得最大值和最小值.设若，则，.由费马定理知.由题设，可得：.这与为极大值，即相矛盾，故有.同理可证：若，则.由此对，而，得.即该函数为常数函数. 由此可见，如果函数满足，且,则为定义域上的常

17、数函数.命题14 设在上可微，且并有实数使得，在上成立，试证明：在上，.即函数为常数函数.证法 I 因为在上可微，且，所以由Lagrange中值定理知， 当限制时，则得,，重复使用此式可得,，其中，由的连续性，对，有，故从而用数学归纳法，可证在一切上，恒有所以，即该函数是常数函数。证法II 因为在上连续，所以，使得：于是 所以，当限制时，则得，重复使用此式可得，其中，由的连续性，对，有故，从而，用数学归纳法，可证在一切上，恒有所以，即该函数是常数函数注将改为，将改为可得同样结论 由此可见，当函数满足在上可微，并有实数使得，在上成立，则可证明函数为常数函数命题15 设，在上连续，在内可微，且若有

18、实数，使得，成立试证：,即该函数为常数函数证明 因为在上连续，所以，使得，若，则，由命题11知，若，有三角不等式，由命题11知，即该函数为常数函数 由此可见，如果，在上连续，在内可微，且若有实数，使得，成立则可以证明函数为常数函数命题16 设函数在内有连续的二阶偏导数，且而 的一阶偏导数对任意固定的，是以为周期的函数则函数（常数）证明 ，及在内连续 ，可积分号下求导 ,则可得 故（常数）由此可见，如果函数在内有连续的二阶偏导数，且而 的一阶偏导数对任意固定的，是以为周期的函数则该函数可证明为常数函数命题17 设为中的两个线性无关的单位向量，函数在中可微，方向导数试证：常数证明 记，因为，线性无

19、关，上述方程组只有零解：记，由微分中值定理 故常数由此可见，如果已知为中的两个线性无关的单位向量，函数在中可微，方向导数则可以证明函数为常数函数.4 结束语在现代社会，传统的教学理念、教学方式和学习方式已不能很好的适应时代发展对人才培养的要求，因此我们对于常数函数的研究应该大胆创新，积极探索通过对常数函数成立条件的系统研究，使学生能够深入了解常数函数概念，从而加深对函数概念的理解，以便更好的应用函数来解决实际问题同时，作为教师，我们应该将常数函数成立条件系统地研究思想贯穿于整个教学体系中，在教学过程中充分调动学生的主观积极性，使学生掌握研究问题的方法，从而可以利用函数来解决实际问题或是研究其他

20、方面的问题 5 致谢语本论文是在导师张培恒教授的亲切关怀和悉心指导下完成的张老师从论文的选题、开题、写作布局到修改定稿都倾注了大量心血张老师知识渊博，视野开阔、高屋建瓴、治学严谨，对我们严格要求、细致至极他的认真指导使我专业知识上受益匪浅，在做人做事方面我从他身上学到了很多东西感谢同学们的大力支持，组内同学细心交流，诚恳指出论文中的许多错误之处，为我完成这篇论文提供了诸多便利，他们的帮助使我顺利完成本论文还要感谢图书馆的各位老师，他们为我查阅图书资料提供了大力支持，感谢他们的辛苦工作与热情服务通过此次的论文，我学到了很多知识，在论文的写作过程中也学到了做任何事情所要有的态度和心态，首先做学问要

21、一丝不苟，对于发展过程中出现的任何问题和偏差都不要轻视，要通过正确的途径去解决，在做事情的过程中要有耐心和毅力，不要一遇到困难就打退堂鼓，只要坚持下去就可以找到思路去解决问题的而且要学会与人合作，这样就可以事半功倍 最后，感谢各位评委在百忙中抽出宝贵的时间评阅本人的论文 参考文献1孙兰敏.论常量函数的充分必要条件J.河北：衡水学院学报.2011年8月.2尹建华.证明函数为常量函数J.河北：承德民族师专学报.2007年5月. 3孙兰敏.函数为常量函数的条件J.河北：忻州师范专科学校学报.1999.4王淑云. 归结原则在证明函数为常量函数上的应用J.河北：山西大同大学学报. 2008年八月.5 华

22、东师范大学数学系.数学分析上册M.北京：高等教育出版社.2001.6 华东师范大学数学系.数学分析同步辅导及习题全解上册M.北京.高等教育出版社.2001.7 华东师范大学数学系.数学分析下册M.北京：高等教育出版社.2001.8 华东师范大学数学系.数学分析同步辅导及习题全解下册M.北京.高等教育出版社.2001.9 复旦大学陈传璋.数学分析上册M.北京：高等教育出版社.1983.10 同济大学数学系编.高等数学M.北京：高等教育出版社.2006.11 浙江大学李胜宏.数学分析M.浙江：浙江大学出版社.2009.12 复旦大学吕冠国.邵南等.数学分析M.上海：复旦大学出版社.2006.13 傅延欣.韩伟.王德.高等数学M.北京：电子工业出版社.2009.14 谭杰锋.高温.高等数学M.北京：清华大学出版社.2010.15严忠.高等数学M.北京：中国科学技术大学出版社.2010.16 林益.高等数学M.北京：北京大学出版社.2007.17 刘铁夫.高等数学（上册）M.北京科学出版社.2005.18 刘铁夫.高等数学（下册）M.北京科学出版社.2005.