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1、数学素养研究综述胡典顺【专题名称】高中数学教与学【专 题 号】G312【复印期号】2011年06期【原文出处】课程教材教法(京)2010年12期第5054页【作者简介】胡典顺(1965-)，男，湖北孝感人。华中师范大学数学与统计学学院副教授，硕士生导师，博士，主要从事数学课程和教学论研究（湖北武汉 430079）。【关 键 词】EEUU一、数学素养研究背景今天，数学已经成为社会生活的基本工具，对数学思维水平和解决问题能力的需求，正在急剧增加。作为一名现代公民在充分发挥社会作用时，必须具备解决问题的能力、进行推理的能力以及使用计算机的能力等，而这些都离不开数学。数学素养作为现代人的基本素质，已经
2、不是一种时髦，而是工作、学习和人际交往中的一种实际需要。培养有数学素养的社会成员是数学教育的一项根本任务，提高学生的数学素养一直是国际数学教育的共同目标，是当前数学教育研究的热点之一。无论是素质教育的实施，还是国际教育评价的关注，数学素养都是一个十分重要的指标。“在信息时代，关于数学教育研究的任何议程，都要关注当前和将来对数学素养的要求。”1学生的数学素养对于国家和个人的成就起着重要作用，许多国家和数学团体都非常重视学生数学素养的培养。全美数学教师理事会(NCTM)出版的学校数学课程与评价标准(1989)中认为，数学教育的目标应当是培养有数学素养的社会成员。美国数学督导委员会(NCSM)在面向
3、21世纪的基础数学报告中指出：数学素养是除性别、种族以外影响公民就业和收入的又一重要因素。美国国家研究委员会(NRC)在2001年报告加入进来，帮助儿童学习数学中把数学素养作为描述成功数学学习的关键用词。经济合作及发展组织(OECD)策划的学生能力国际评价(PISA)是继第三次国际数学与科学研究(TIMSS)之后，全球范围进行的关于学生学习质量、数学素养的比较的又一项大型研究。普通高中数学课程标准（实验稿）指出：高中数学课程应该在九年义务教育数学课程的基础上，为我国未来公民规划应具备的数学素养。这表明数学素养的研究在理论和实践上都有重要学术价值和现实意义。二、数学素养研究现状（一）数学素养内涵
4、的研究不同国家、不同学者用不同的词语表示数学素养，对数学素养有不同的认识。英文常用词语是：Mathematical Literacy, Numeracy, Mastery of Mathematics, Mathematical Competence, Mathematical Proficiency等，中文所用词语为：数学素养、数学素质、数学能力等。PISA对数学素养的定义是：“个体确定和理解数学在现实世界所起的作用，作出有充分根据的判断和从事数学，以此来满足一个在当前和未来生活中作为积极的、参与的和反思的公民之需要的能力。”2澳大利亚全球生活技能调查对数学素养定义为：“人们用来有效处理生活
5、与工作过程中出现的数量问题所需的技能、知识、信念、气质、思维习惯、交流能力、问题解决能力的聚合。”3这两个定义具有一定的代表性。从“素质”与“素养”的关系出发，王子兴认为，“数学素养”就是指“数学科学方面的素质”，它是数学科学所固有的内蕴特性，是在人的先天生理基础上通过后天严格的数学学习活动获得的、融于身心中的一种比较稳定的状态，只有通过数学教育的培养才能赋予人们的一种特殊的心理品质。4桂德怀、徐斌艳认为，数学素养是数学情感态度价值观、数学知识、数学能力的综合体现。3郑强把“数学素养”界定为：数学素养是指经过数学教育和实践发展起来的参加社会生活、经济活动、生产实践和个人决策所需的数学知识、技能
6、、方法和能力，包括理解数学与社会的关系，理解数学的本质以及形成数学的情感、态度和价值观等。其基本的含义是指学生能够合理地将所学到的数学知识运用到社会及个人生活中。5张奠宙认为，数学素质就是数学思维能力，亦即数学运算能力、逻辑思维能力和空间想象力，其核心则是逻辑思维能力。6显然，国内外学者对数学素养内涵的研究表现出了一些共同特点：通过数学学习活动解释数学素养，从素养或素质的概念演绎数学素养，从社会经济发展的角度解读数学素养等。（二）数学素养要素的研究NCSM在面向21世纪的基础数学报告中指出，现代数学素养包含数学知识、数学思维、数学方法、数学思想、数学技能、数学能力、个性品质七个方面的内容。NC
7、TM出版的学校数学课程与评价标准(1989)中对“有数学素养”提出五项条件：应学会认识数学的价值，建立有能力做数学的信心，成为数学问题的解决者，学会数学地交流，学会数学地推理。国外研究者关于数学素养要素构成有不同的分析视角。Steen基于价值取向的分析认为，作为一个现代人，不能缺少下列基本数学素养。7其一，实用数学素养。以个体利益为着眼点，将数学及统计技能应用于日常生活中。其二，公民数学素养。以社会利益为着眼点，考量公民是否有能力了解来自于重要公共议题的数学概念。其三，专业数学素养。基于工作中的需求，不同工作环境对数学能力有不同要求。其四，休闲数学素养。更多地考量休闲娱乐中所需要的数学知识。其
8、五，文化数学素养。表现为个体能体会数学的力量与美，而且是关于哲学、历史与认识论的层次。NRC基于构成要素的分析，认为数学素养要素有“五股”1：其一，概念理解。涉及学生对数学概念、运算和关系的理解。其二，过程流畅。流畅、精确、有效且合适地进行数学计算的技能。其三，决策能力。学生创造、表征及解决数学问题的能力。其四，合适推理。符合逻辑思考的能力及对数学论证的反应、解释、证明的能力。其五，价值倾向。学生有将数学看成是有用、值得学习的学科的行为倾向，具有自我努力和自我效能学习数学的信念。PISA基于能力要素的分析。利用八项能力指标对数学素养进行研究，它们分别是：思考与推理，论证，交流，建模，问题提出和
9、解决，表征，运用符号的、形式化的和专业性的语言和操作，运用辅助手段和工具。并且，以解决不同数学问题所需能力的认知特点将数学素养划分为三个能力群。(1)再现能力群：对已经习得知识的重现；(2)关联能力群：建立在再现能力群基础之上，解决的不是简单常规问题，但涉及的仍然是熟悉的或者半熟悉的情境；(3)反思能力群：与设计解决策略的能力有关，问题的设置包含比关联组更多不熟悉的元素。2国内学者关于数学素养构成要素的研究也不少。孔企平认为，数学素养是一个广泛的具有时代内涵的概念，包括逻辑思维、常规数学方法和数学应用三方面的基本内涵。8王子兴提出数学素养应涵盖创新意识、数学思维、数学意识、用数学的意识、理解和
10、欣赏数学的美学价值五个要素。4张奠宙认为，数学素质应包括数学意识、问题解决、逻辑推理和信息交流这样四个部分。6显然，国内外研究者都强调数学意识、解决问题、逻辑推理和信息交流等数学素养要素。（三）数学素养评价的研究PISA关于数学素养评价研究影响较大。PISA数学素养评价侧重于15岁青少年，评价的核心是真实世界的，超出了学校课堂中遇到的各种问题。PISA强调，实际问题与其在解决过程中所需数学原理间的距离是衡量一个问题情境设计的重要因素。如果一项任务只关注数学概念而全然不管数学世界以外的东西，这项任务属于“纯数学情境”。如果一项任务关注的是现实生活中的场景，这项任务属于“超数学情境”。PISA数学
11、素养评价中最接近的情境是学生的亲身生活经历，其次便是学生的学校生活、工作经历以及娱乐。在对学生提出的问题中，四种情境是常见的：个人体验，工作教育经历，公众生活，科学实践。2总体来说，PISA重视在现实生活的各种情境下容易遇到的问题以及那些能给数学运用提供真实情境的任务，认为具有“超数学情境”的问题能更有效地测试学生的数学素养，因为这类问题与我们在日常生活中所遇到的问题极其相似。PISA从学生应达到的数学能力出发，设计了六个能力水平来测试学生数学素养。9基于PISA的研究，Kaiser等人概括了数学素养的五种水平10。(1)无素养：完全不知道基本的数学概念和方法；(2)词语性素养：理解很少的数学
12、术语和数学问题，同时伴随着生涩的理论解释和模糊的概念；(3)功能性素养：能使用程序解决简单的问题，但是这些都限制在很特殊的背景中，而且缺乏深层次的理解；(4)概念和程序性素养：对重要的数学思想的结构和功能有一些理解；(5)多维素养：对包含有哲学、历史学和社会学维度的数学的语境性理解。然而，Kaiser认为，区分数学素养的五种水平中的每一种水平是很困难的，并且数学素养的最高水平被认为是学生能与其他知识相联系且对数学有更广泛的、更多样化的理解，很少有学生能达到这种水平。（四）教师数学素养的研究美国各种教师证书和标准是反映和测量教师数学素养的一个重要依据，其中包括全美数学教师理事会(NCTM)，19
13、91年出台的数学教学专业标准，美国州际新教师评价和支持联盟(1NTASC)、州立学校行政主管审议会(CCSSO)，1995年开发的数学学科初职教师的认证和发展示范标准，美国全国专业教学标准委员会(NBPTS)，2001年颁布的数学优秀教师标准。这三个在美国制定和实施都较有影响的与数学教师有关的标准要求教师多角度理解数学知识和重视数学知识的联系性和整体性。国内相关研究中，史宁中认为，中小学教师的基本素养包含三个方面：热爱教育事业；必须具有明确的教育理念；学会反思，学会研究。11这个论述较为宽泛。段志贵将数学教师应具备的基本数学素养分解为六个模块：充分地感知数学认识数学的本质；理解数学知识掌握数学
14、思想方法；梳理数学内容明了数学史实；提炼和分析数学知识强化对数学的意识；寻求数学知识的呈现注重数学语言的合理运用；延伸对数学学习的体会、数学美的感悟。12张建良、王名扬认为，数学课程标准对中学数学教师提出了前所未有的挑战。目前教师的数学素养欠缺，主要还是欠缺在数学本身，即数学的现代修养上。13张德勤认为，小学数学教师文化素养大致包含如下内容：数学素养、哲学素养、逻辑素养、心理素养以及美学素养等。14胡力等人指出，小学数学教师的数学素养包括数学的基础知识与基本技能、基本数学思想方法、数学文化、数学哲学等方面，这些要素组成了一个金字塔式的结构。15可以看出，在新课程改革的背景下，教师数学素养研究是
15、一个热点问题，其研究具有重要的现实意义。（五）数学素养的多元研究国外许多研究者从多视角对数学素养进行了探讨。其一，数学素养与数学教材。研究教学素材在数学课堂中的使用，重点在于学生的数学活动和教师的教学活动。它的出发点是建立数学素养与数学教材以及使用方式之间的重要关系。16其二，数学素养与数学交流和表征。在帮助学生发展数学素养的过程中，学校数学中的交流与表征是至关重要的工具。17其三，数学素养与问题情境。对一个数学问题处理的方法的不同，既与学生的数学论据有关，也与学生的数学素养的认知水平有关。问题情境会影响学生使用的方法，也影响学生所给出的论据，进而影响对学生数学素养水平的判断。然而，关于不同的
16、问题情境怎样影响数学素养的判断的研究是比较少的。10其四，数学素养与标准化数学评估。数学素养作为一种重要技能引起了数学教育者的关注，学生越来越受到标准化评估的挑战，其中阅读、创造、应用以及理解是体现数学素养的几种表现形式。18其五，数学素养与计算机技术。Shaw等人认为，在课堂上使用计算机技术能够增强学生对于数学概念的理解以及问题解决的能力。Kaput指出，数学素养可以通过思考各种不同的系统表征并理解其中的联系来提升，而计算机的图形功能非常适合用来说明和呈现其中的联系。Forster等人分析了互动计算机技术在增强学生问题解决的元认知和认知策略能力中的作用。19其六，交叉课程项目与数学素养。提高
17、数学素养需要一个能激发学生认知，通过联系现实世界获取实际经验的学习环境。为了实现这一目标，必须让学生面对现实的方方面面，给予他们实验、辩论和建模的机会，由此产生了把科学融入数学教育中的理念。20可见，多视角认识和研究数学素养成为一种趋势。三、数学素养研究前瞻（一）厘清数学素养的内涵与构成要素尽管世界各国数学课程都强调数学素养的重要性，但对于“数学素养的内涵是什么，其构成要素又是什么”，学界还没有一个清晰的、统一的阐述，所以进一步明确“数学素养”的内涵与构成要素具有十分重要的意义。未来数学素养的研究应该结合数学哲学、数学教育哲学、数学文化学、数学教育学、数学心理学等多学科、跨学科的理论，这有助于
18、数学教育研究者和实践者更新对数学素养的认识。（二）调查我国中学生的数学素养现状及其影响因素“为什么要学（教）数学”这一问题始终贯穿我国数学教育改革的历程。学生的数学素养到底如何？这是当前数学教育界谁也说不清楚的问题。数学教学究竟是“传授数学知识”还是“培养数学素养”？这在数学教育界时常引发一些论争。从而，通过调查了解我国学生数学素养的现状以及数学素养生成的影响因素必将推动数学素养和数学教育理论的进一步研究。（三）编制符合我国的数学素养测试题PISA的数学评价测试题在立意、题型和考查方式上都具有较高的参考价值，但多数题目的内容并不符合我国的教学实际。因此，编制符合我国数学课程标准的数学素养测试题
19、对我国的数学教学和考试改革都具有现实的意义。尽管在我国的课堂教学和各级考试中出现了应用题、开放题、探究性问题等题型，但是，这些题型有助于测试和培养学生哪些方面的数学素养则缺乏系统的实证研究。（四）分析数学素养的生成机制在数学教学中，无论是概念的理解还是技能的训练都相对比较具体，在教学中也容易操作。但是数学素养是潜在的而不是外显的，是多维度的而不是单一的。数学素养的培养不是一个立竿见影的工作。目前，对于数学素养是怎样生成的并没有系统的研究，所以系统地分析数学素养的生成机制，有助于认识数学素养生成的特点以及相应的教学策略。（五）探索数学素养生成的教学策略国外对数学素养研究聚焦的层面并不完全相同。作
20、为一种评价研究，PISA没有涉及数学素养培养的对策研究，对我国数学教育的指导具有一定的局限性。目前，对于影响数学素养的教学因素并没有深入分析，构建数学素养生成的教学策略是一项复杂的系统工程，探索数学素养生成的教学策略将有助于促进数学教学方式的变革。【参考文献】1Jeremy Kilpatrick. Understanding Mathematical Literacy: The Contribution of Research J. Educational Studies in Mathematics,2001, (47):101116.2OECD. Mathematical Literacy
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