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1、第四节 倒格子,本节主要内容:,一、点阵傅里叶变换与倒格子,三、布里渊区、倒格子的实例和对应晶胞,二、正格子与倒格子的关系,四、倒格子的点群对称性,晶体结构的周期性,可以用坐标空间(r空间)的布拉维格子来描述,这是前几节我们所讨论的内容,也是我们易于理解的实物粒子的普遍描述.,然而,量子力学的学习使我们认识到,任何基本粒子都具有波粒二象性.亦即具有一定能量和动量的微观粒子,同时也是具有一定的波长和频率的波,波也是物质存在的一种基本形式.,波矢k可用来描述波的传播方向.那么晶体结构的周期性是否也可以用波矢k来描述呢？如果可以,在波矢k空间,k应满足什么条件呢？,一、点阵傅里叶变换与倒格子,布拉维
2、格子具有平移对称性,因而相应的只与位置有关的物理量,由于布拉维格点的等价性,均应是布拉维格矢R的周期函数,如：格点密度、质量密度、电子云密度、离子实产生的势场等都是如此。,不失一般性，上述函数可统一写为：,布拉维格矢,由于F(r)是布拉维格矢R的周期函数,所以可以将其展开成傅里叶级数：,1.周期函数的傅里叶展开,展开系数,因为：,所以：,令,则：,则,不合要求，应舍去,所以,由于 与 存在上述对应关系,可以描述布拉维格子,自然 也可以描述同样的布拉维格子,且 与第一章讨论自由电子的波函数中的波矢类似,因而,凡是波矢 和布拉维格矢满足 的波矢,一定也可以描述布拉维格子.这就是倒格子的由来.,成立
3、,也就是说,一定存在某些 使得当 成立时,由于波矢的单位是坐标空间中长度单位的倒数，所以，在固体物理学中，通常把坐标空间称为正空间，而把波矢空间称为倒易空间或倒空间。,从而对应上述矢量g描述的布拉维格子称为倒格子(reciprocal lattice)，而把Rn所描述的布拉维格子称为正格子(direct lattice)。,2.倒格子(reciprocal lattice)的定义,对布拉维格子中所有格矢，满足或(m为整数)的全部 端点的集合，也可以描述该布拉维格子。如果把 所描述的布拉维格子称为正格子，则 所描述的布拉维格子称为正格子的倒格子,也叫倒易点阵或简称为倒点阵.,称为倒格矢,从倒格子
4、的引入可知，对于坐标空间中与布拉维格子有相同平移对称性的某物理量的傅里叶展开中，只存在波矢为倒格矢的分量，其它分量的系数为零,利用倒格矢，满足 的傅里叶展开为:,意义：把上述满足坐标空间中的某物理量转变为倒格子空间,且只存在波矢为倒格矢的分量。,3.倒格子的基矢,欲使上式恒成立，且考虑到n1,n2,n3为任意整数，则要求：,h1,h2,h3为整数,对布拉维格子中所有格矢，满足或(m为整数)的全部 端点的集合，构成该布拉维格子，称为正格子的倒格子(reciprocal lattice).,称为倒格矢,或：,其中ij 称为克罗内克(Kronecker)函数,由于 为倒格矢，如果把倒格矢所在的空间称
5、为倒格子空间，或倒易空间(reciprocal space),则由于 不共面，自然可以成为倒易空间的基矢。,和 对比,表明 对应的是倒易空间中的布拉维格子，亦即倒格子是倒易空间的布拉维格子。,从而 且 也可作为以 为基的某一布拉维格子的倒格子的定义。,讨论：,所以可令：,其中 是正格基矢,是固体物理学原胞体积,同理可得,所以倒格子基矢与正格子基矢的关系为：,与 所联系的各点的列阵即为倒格子。,许多的固体书中把上述描述作为倒格子的定义,由正格子可以定义倒格子，反之亦可，因此，它们互为倒易格子。,二、倒格子与正格子的关系,1.体积关系,(其中和*分别为正、倒格子原胞的体积),除 因子外，正格子原胞
6、体积 和倒格子原胞体积 互为倒数,利用,2.倒格矢与晶面,倒格矢 和正格子中晶面族(h1h2h3)正交且其倒格矢长度为：,其中 是正格子晶面族(h1h2h3)的面间距,首先我们证明,倒格矢 和正格子中晶面族(h1h2h3)正交,设平面ABC为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面,ABC在基矢 上的截距分别为。,由图可知：,所以倒格矢 和正格子中晶面族(h1h2h3)正交,接着我们再证明倒格矢长度为,由于倒格矢 与晶面族(h1h2h3)正交.,因而，晶面族(h1h2h3)的法线方向为,则法线方向的单位矢量为：,因而，面间距,这个关系很重要,后面分析XRD时要用,3.,倒格子基矢的方向和长度,
7、一个倒格子基矢是和正格子原胞中一组晶面相对应的，它的方向是该晶面的法线方向，它的大小则为该晶面族面间距倒数的2倍。,设：,利用体积=底面积*高，则有：,晶体结构,2.与晶体中原子位置相对应；,2.与晶体中一族晶面相对应；,3.是与真实空间相联系的倒格子空间中点的周期性排列；,3.是真实空间中点的周期性排列；,4.线度量纲为长度,4.线度量纲为长度-1,已知晶体结构如何求其倒格子呢？,晶体结构,正格子,正格子基矢,倒格子基矢,倒格子,三、布里渊区、倒格子的实例和对应晶胞,1.布里渊区、布拉格平面,在倒格子空间中以任意一个倒格点为原点，做原点和其它所有倒格点连线的中垂面(或中垂线)，这些中垂面(或
8、中垂线)将倒格子空间分割成许多区域，这些区域称为布里渊区(Brillouin zone)。,把连接两个倒格点连线之间的垂直平分面称为布拉格平面。,在倒格子空间中,以一个倒格点为原点,从原点出发,不经过任何布拉格平面所能到达的所有点的集合,称为第1布里渊区(first Brillouin zone),也叫简约布里渊区。显然,它是围绕原点的最小闭合区域。,容易看出，第1布里渊区和前面所讲的维格纳-塞茨(Wigner-Seitz)原胞的取法一样，所以通常人们把第1布里渊区定义为倒格子空间中的维格纳-塞茨原胞。,（1）第一布里渊区,除第1布里渊区外，还有第2，第3，等所谓高布里渊区。,从第n-1个布里
9、渊区出发，只经过一个布拉格平面所能到达的所有点的集合，称为第n布里渊区。或者说，从原点出发经过n-1个中垂面(或中垂线)才能到达的区域(n为正整数)称为第n布里渊区。,（2）高布里渊区,除第1布里渊区以外，高布里渊区均由一些小块组成；,每个布里渊区的总体积相等，均为倒格子空间中一个原胞的体积。,布里渊区尤其是简约布里渊区在能带论电子和晶格振动的讨论中非常重要,（1）下图是一个二维晶体结构图，试画出其倒格点的排列和布里渊区图。,2.常见倒格子、布里渊区的实例,倒格子是边长为的正方形格子。,布里渊区的面积,=倒格子原胞的面积,高序号布里渊区的各个分散的碎片平移一个或几个倒格矢进入简约布里渊区，形成
10、布里渊区的简约区图。,二维正方晶格的布里渊区的简约区图,倒格子仍为矩形。,（2）二维矩形格子的倒格子、第一和第二布里渊区的扩展区图和简约区图，设矩形边长分别为。,解:,（3）体心立方的倒格子和第一布里渊区,倒格矢：,同理得：,比较可知体心立方倒格子是边长为 4/a的面心立方。,已知面心立方正格子基矢：,所以，体心立方的倒格子有12个最近邻。这12个倒格点位置是：,符号说明,以一个倒格点为中心，做这个中心与12个最近邻倒格点连线的中垂面，它们恰好围成一个封闭的菱形十二面体，这就是体心立方结构的简约布里渊区,布里渊区体中心(原点)标记为：,立方体的面心记为H,有6个等价点,布里渊区体中心点和面心H
11、点的连线（沿方向）用表示；点和P点的连线(沿方向)记为；点和N点的连线(沿方向)记为。,利用b1、b2、b3，体心立方结构倒格子的任一倒格矢可以表示为,从而体心立方正格子中晶面指数为(h1h2h3)晶面族的面间距为,(4)面心立方的倒格子和第一布里渊区,面心立方正格基矢：,倒格基矢:,比较得面心立方的倒格子是边长为4/a体心立方,倒格子基矢：,已知体心立方正格子基矢:,所以，面心立方的倒格子有8个最近邻。这8个倒格点位置是：,还有6个次近邻倒格点：,从原点出发向这些近邻、次近邻作连线，这些连线的垂直平分面构成面心立方的简约布里渊区，它是一个截角八面体(十四面体).,其中一些对称要素的常用符号为
12、:,布里渊区体中心点和其它点间的连线：X用表示；L记为；K记为.,利用b1、b2、b3，面心立方结构倒格子的任一倒格矢可以表示为,从而面心立方正格子中晶面指数为(h1h2h3)晶面族的面间距为,(5)简立方的倒格子和第一布里渊区,简立方：,比较得简立方的倒格子是边长为2/a简立方,其简约布里渊区是边长为2/a的立方体,其中一些对称要素的常用符号如图所示.,(6)简单六角布拉维格子的倒格子和第一布里渊区,简单六角正格子的三个基矢可以取为:,所以相应的倒格子的三个基矢:,比较得简单六角布拉维格子的倒格子还是简单六角布拉维格子，其倒格子的晶格常数为 和,简单六角布拉维格子的简约布里渊区也是六角格子形
13、状.,相应的倒格矢:,从而简单六角正格子中晶面指数为(h1h2h3)晶面族的面间距为,3.倒格子的晶胞,前面的倒格子的讨论都是基于正格子原胞的三个基矢a1、a2、a3展开的，对应的由b1、b2、b3三个基矢描述的倒格子也可以称为倒格子的原胞。我们也可以由正格子晶胞的三个基矢a、b、c展开，此时对应的由三个基矢a*、b*、c*描述的倒格子称为倒格子的晶胞。,相应的倒格矢为：,引入倒格子的晶胞有时便于问题的讨论。比如同一晶面族中晶面指数(h1h2h3)和密勒指数(hkl)的互换问题.,对于同一晶面族而言，其法线方向不会因为坐标系的选择而改变，而法线方向对应着相应的倒格子矢量方向。所以，对于同一族晶
14、面来说，倒格子原胞的倒格矢和倒格子晶胞的倒格矢平行，从而两者应成比例.,对于立方晶系来说，sc、bcc、fcc其正格子晶胞的三个基矢a、b、c 相等，因此对应的倒格子晶胞的三个基矢a*、b*、c*也相等。,密勒指数为(hkl)的晶面族，可由相应的晶胞的倒格矢来描述,对于面心立方结构来说，倒格子的原胞的倒格矢为：,从而有：,如果晶面指数(h1h2h3)和密勒指数(hkl)对应同一晶面族，则有：,其中p为比例系数.,对于体心立方，如果晶面指数(h1h2h3)和密勒指数(hkl)对应同一晶面族，我们类似的可以得到：,其中比例系数 p的选择要使h1，h2，h3三个数互质,此外，利用倒格矢和晶面之间的关
15、系，很容易求两个晶面之间、或晶向与晶面之间的夹角。,比如密勒指数为(h1k1l1)和(h2k2l2)的两个晶面之间的夹角，实际上就是求两个倒格矢 之间的夹角,利用两个矢量的点乘，很容易得到,而正格子中的一个晶向R=ua+vb+wc与密勒指数为(hkl)的晶面之间的夹角，则等于/2角减去该晶向与倒格矢Ghkl间的夹角，即:,因为：,所以,四、倒格子的点群对称性,1.同一晶格的正格子和倒格子有相同的点群对称性,证明：,设 为正格子的一个点群的任取对称操作，亦即 为正格矢时，亦为正格矢(点群对称操作不会改变原有格点之间的距离)。,按照群的定义,当 为点群对称操作时,亦为同一点群的对称操作，则 亦为正格矢。,由点群对称操作不会改变原有格点之间的距离可知：,当 和 接受同一点群对称操作时，空间任意两点之间的距离不变。,所以，对点群中任一 而言，亦为倒格矢，亦即，对应正格子的群中的任一操作 相应的也是倒格子的对称操作。因而同一晶格的正格子和倒格子有相同的点群对称性。,2.倒格子空间中的WS原胞，亦即第一布里渊区，也就是所谓的简约布里渊区，具有晶格点群的全部对称性。,主要因为WS原胞本身就是对称化原胞之故。,所以，第一布里渊区具有特别重要的意义。,
