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1、第九讲 修正单纯形法（1）,大约在1954年，Dantzig和他的同事就发现了更有效的单纯形法。我们知道，在单纯(扩展)表格中，共有3组元素，分别与矢量组“a1，an”，“b”及“e1em”相对应，如果说前面讲的习惯用的一般单纯形表格法可只采用左边两组的话，那么，修正单纯形法在运算迭代中只应用右边两组，下面就具体阐述该种方法。仍假设：AX=b，X0，CTX=min(1)且A、b、C已知，属非退化情形，计算过程，将始终用到A，B，C这些原始数据，故需保存。每一个阶段仍用单纯形表格迭代，只用右边两组，即m+1列，每个表格与当前基础解集相对应（j1，jm）：,第九讲 修正单纯形法（2）,其中：ti0
2、给出当前基础解 uij给出当前基础阵之逆 z0给出当前基础解费用 yi给出当前基础阵之联立方程解YTM=(3),第九讲 修正单纯形法（3）,(5),其中 当前基础解的目标系数。,表格的起步可根据两阶段法的第1阶段之初始基础解表格开始，即：ti0=bi，uij=ij，z0=bi，yi=1(4)第1阶段结束后，第2阶段开始的表格需加以修改，唯一修改处是最末一行，这是由于目标函数发生了变化z0和yi计算公式为：,第九讲 修正单纯形法（4）,(6),如果zj cj，则令j=s，并作为支点列。如果zj cj，则去试探其它非基础列j，假若所有非基础列j的zj cj，则已达到最优解，其最优解值为：,下面来阐
3、述表格的迭代过程。在一般单纯形表格法中，每次检验元素zjcj全部算出，然后寻找支点列，而在修正单纯形表格中，不需一次计算全部检验元素，而是逐个计算。设j属非基础集，则：,第九讲 修正单纯形法（5）,(7),其最小费用为z0和最优对偶解为yT。否则，计算zj(按6式)，找出zj cj，并令j=s，然后处理如下：首先，计算单纯形表的支点列s：,(8),第九讲 修正单纯形法（6）,如果所有tis0，则最优解不存在，最优目标无限，即，,(9),费用,若存在tis0,可求出支点行：,(10),第九讲 修正单纯形法（7）,求出支点行后，就可进行修正单纯形表格的转换，其表格转换元素的计算只需计算后面m+1列
4、，即：新行r=(原行r)/trs(11)新行i(i r)=(原行i)i(原行r)(12)其中：,最后，用as取代旧表格Vr中表示的基矢量。,第九讲 修正单纯形法（8）,例1-23 已知线性规划为：,解 1）应用阶段1，求出初始基础可行解构成新规划：A X=b，X 0,CTX=min,第九讲 修正单纯形法（9）,令人工变量作为第1个基础可行解之基础变量，其对应的表格为：,第九讲 修正单纯形法（10）,检验非基础变量a1，a2，a3能否进基，可按任何次序检验。先检验a1：,第九讲 修正单纯形法（11）,min5/1，13/4=13/4 r=2。支点元素为t21，进行变换使(t1)列中：t21=1，
5、t11=0，z1 c1=0，得：,将(t1)临时放入表格中，以便求出支点行，,第九讲 修正单纯形法（12）,当前表格对应的基础矢量为e1和a1。再次校验非基础矢量，看是否可进入基础矢量，任意选择a3检验。,第九讲 修正单纯形法（13）,将(t3)加入修正单纯形表格中，并求出支点行r。,第九讲 修正单纯形法（14）,即e1离开基，a3进基，将表格变换得：,从表中看出，故阶段1结束，得出初始基础可行解为x3=7/6，x1=3/2，x2=0。,第九讲 修正单纯形法（15）,2）现进行阶段2，阶段2的第1个表格可借用阶段1的最后表格，仅仅将最后一行加以修改。此时：A，B，C恢复到原问题数值，这时CT=
6、(7，1，1)。其初始表格为：,其中，,第九讲 修正单纯形法（16）,现判断非基矢量a2是否应进入基础解集。,第九讲 修正单纯形法（17）,即支点行r=1，a3离开，支点元素t12=1/2。将a2加入表格并转换,将a2对应的t2列变为t12=1，t22=0，z2c2=0得出新表格为：,第九讲 修正单纯形法（18）,目前基础矢量为a2和a1。再检验非基矢量a3：,故已得最优解：x2=7/3，x1=1/3y1=-31/3，y2=13/3，且z=14/3,第九讲 修正单纯形法（19）,与此相应的有另一种方法对偶单纯型法，它的迭代原则是：在保证“优化”前提下，寻找原问题可行解，即在保证对偶可行解基础上，逐步找出原规划可行解。这些概念体现在表格上，即使每一步表格的检验行的元素(zjcj)都0，而表格的b列元素可能0。迭代的原则就是逐步将B列元素全变为0的值（求得最优解）或证明无可行解。对偶单纯形的迭代思路与前述单纯形法一样，此处不再赘述，感兴趣者，可参阅有关书籍。,
