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1、有限集上两极拓扑个数的探讨洪彩霞（福建信息职业技术学院，福建 福州 350003）摘要：通过对有限集上满足maxacT为平凡拓扑，minacT为离散拓扑的个数进行研究，从而解决了它的个数问题。关键词：有限集；单拓扑；自同余拓扑1、介绍云南师范大学学报1991第4期上发表郭志勇的文章“有限集上几种拓扑概念及性质”中曾提出“有限集Xn 上使maxacT为平凡拓扑，minacT为离散拓扑的拓扑T有多少”这样一个问题，本文对此进行了一番探讨，得到如下结论：有限集Xn 上使maxacT为平凡拓扑，minacT为离散拓扑的拓扑T（为了方便起见，本文中称此种拓扑为两极拓扑）至少有Cnm （2n -2m+1
2、-2n-m+1 +5）个。2、证明我们引入：1.几个定义 设Xn是n个元素的集合：定义1（单拓扑）：设T是Xn上的一个非平凡拓扑，若对任何AT;AXn,都有Xn-AT，称T是Xn上的一个单拓扑。注：易见，若Xn上有单拓扑存在，则n2 。定义2（余拓扑）：设T是Xn上的拓扑，则Tc= Xn-AAT是Xn上的一个拓扑，称为Xn上T的余拓扑。若Xn上的拓扑T满足T=Tc，则称T是Xn上的一个自同余拓扑。定义3（maxacT）：是指包含在有限集Xn上的拓扑T中的最大自同余拓扑。注：易见，maxacTTTc。定义4（minacT）：若T是Xn上的拓扑，则包含了T的Xn上的最小自同余拓扑称为minacT。
3、注：易见，TTc为minacT的一个基。2.几个引理引理1：设T是Xn上的拓扑，Xn=a1,a2,an，则 maxacT=, Xn T为单拓扑 minacT为离散拓扑aXn，aTTc maxacT=, Xn 且minacT为离散拓扑T为单拓扑且正整数m ，1mn，使得aikT (1km);而aijTc(m+1jn)，这里ai1，ai2，ain=Xn。证：，由定义易证，下证必要性：若maxacT=, Xn 且minacT为离散拓扑，则由，可知；T为单拓扑，且对aiXn (1in) ，有aiTTc，从而要么aiT, 要么aiTc，我们说T不可能含有所有的ai（i1，2，n）,否则,T为离散拓扑，不
4、是单拓扑;Tc也不可能含有所有的ai（i1，2，n）,否则, Tc为离散拓扑，从而T不是单拓扑。故，1m n使得aikT (1km)，而 aijTc（m1jn），这里ai1，ai2，ain=Xn。充分性：若T为单拓扑，且1mn，使得aikT (1km);而aijTc(m+1jn)，这里ai1，ai2，ain=Xn。则由可知maxacT=, Xn ，且显然有，ai（1in），ai TTc，由可知，minacT为离散拓扑。综上所述，成立。设Xn = a1,a2,an （n2），从Xn中任意取出m（1mn）个元素组成集合X，记x=Xn-X,令=AAX,A,= BBX且B，= Xn- AA = Xn-
5、 BB 则中元素的个数为2m-1, 中元素的个数为2n-m-1, 从而中元素的个数也为2n-m-1，令=ABA，B且AX，Bx，则中元素的个数为（2m-2）（2n-m-2）=2n-2m+1-2n-m+1+4。引理2：T=, Xn 构成Xn上使maxacT为平凡拓扑而minacT为离散拓扑的拓扑。证：、XnTA.BT若A、B中有一个为或Xn，则显然有ABT，ABT，若A、B ，显然AB , AB ,从而ABT, ABT； 若A、B，则A x, B x ，A、 B,使得A= Xn- A, B= Xn- B，所以AB（Xn- A）（Xn- B）= Xn-（A B）（因为A B x，且A B），AB=
6、（Xn- A）（Xn- B）Xn- （A B），若A B，则A BXnT，若AB,则AB，AB,总之ABT， ABT； 若A,B分属， 不妨设A,B,则 B x, B,使得B= Xn- B= X( x- B)， 所以A（Xn- B）=AT,AB=A X( x- B)= X ( x- B)=BT总之A.BT,ABT, ABT由，以及Xn 为有限集可知T为Xn上的拓扑。T为单拓扑，因为AT，A, AXn 则A 或A若A 则A X所以 Xn-A= (X-A) x , Xn-A, 若A， 则B x,B,使得A= Xn-B ，所以Xn-A=B ，Xn-A , Xn-A,从而AT，A,AXn ，均有Xn-
7、AT,故T为单拓扑，从而maxacT为平凡拓扑。mimacT为离散拓扑，因为由T 的构造可知，X的所有单点集均属于 从而属于T ;而TC= Xn-A |AT=, Xn ，故x的所有单点集均属于，从而均属于TC ，又由于Xn= X x，所以Xn 的所有单点集均属于TTC ，故minacT为离散拓扑。综合知引理2成立。任取D 则 AD ，BD ，ADX，BD x，使得D= AD BD 令=（A AD ）B|A，B BD ，TD=T=, Xn 。引理3：TD 构成Xn 上的满足maxac TD 为平凡拓扑且mimacTD 为离散拓扑的拓扑。证： TD 为Xn 上的一个拓扑，因为 ，Xn TDA、B
8、TD若A、B中有一个为或Xn，则显然有 AB、AB TD若A、BT，显然有AB、AB T，从而AB、AB TD若A、B中有一个属于，不妨设B，则 ，BD ，使得B=（AD）所以当A时，有AB=A（ AD）=（A）AD TD, AB =A（AD ）T TD；当A，则 , 使得A=Xn= X（x），AB= X（x）（ AD）= X1（X2） TD，AB= X（x） （ AD）=（ AD） （x） TD；当A，则，B,使得A=（ AD），AB=（ AD）（ AD）=（）AD （） TD（因为），AB=（ AD） （ AD）=（）AD（） TD（因为）总之，A，B TD，均有AB、AB TD由，以及X
9、n为一个有限集可知TD为Xn上一个拓扑。 TD为单拓扑。由的构造可知， =， =，又因为A， B， 使得 A=（ AD），有XnA=X-(A1AD)(X-B1)，由于B1BD, BDX,AD,所以X- B1 且（X- B1） B1= ，X-（A1AD） X，故Xn-A, Xn-A2, Xn-A,即Xn-ATD，又因为AT，A，A Xn，均有Xn-AT，Xn-A即Xn-ATD，所以 TD为单拓扑，所以maxac TD为平凡拓扑。minac TD为离散拓扑，因为TTD，又因为T、TD均单拓扑，所以TCT，TTCTDT，由引理2的结论可知TDT含有Xn的所有单点集。故minac TD为离散拓扑。综合
10、可知引理3成立。引理4：对D、D,若DD则TDTD证： 因为 D、D,所以 AD、AD，BD、BD ，ADX,ADX, BDX, BD X，使得D= ADBD, D= AD BD,从而TD=T, TD= T,这里=(AAD)B|A,B BD ， =(A AD)B|A,B BD ，因为D D 所以 AD AD或BD BD。若AD AD,则分两种情况： AD- AD =,则由TD，TD的结构可知： D= ADBDTD但DTD，（因为DT，若DTD，则D，从而存在A，B BD ，使得AD BD=D=（A AD）B，从而AD=AAD，AD AD ，所以AD-AD 矛盾）。所以TDTD。 AD- AD，
11、同理可证DTD但D TD ，所以TDTD。若BBD则分两种情况： BD - B=，则由TD，TD的结构可知DTD，但D TD ，（因为DT，若D TD，则D， 所以存在A，B BD ，使得ADBD=D=(A AD)B，所以B=B BD ，BD - B矛盾），所以TD TD。BD-B，同理可知D TD但D TD所以TD TD综合以上所述，TD TD3.定理的证明定理：有限集Xn的两极拓扑至少有个。证：由集合X的取法、的结构以及引理2，3，4可知有限集Xn 的两极拓扑的个数至少有1+（+4）=（+5）个.参考文献：1 余玄冰.点集拓扑M.北京：北京师范大学出版，1983.2 郭志勇.有限集上几种拓扑概念及性质J.云南师范大学学报，1991 第11卷 (4).P42-45：
