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1、浅谈应用题的教学摘要：本文根据新课标要求，针对在应用题教学中所面临的问题，以及学生的实际情况，提出了如何应用方程（组）的思想，根据具体问题，寻找其隐含的数量之间的等量关系，选择适当的设元，列出方程（组），建立数学模型求解，指出数学建模的基本思想，使学生对数学建模的基本思想有初步的了解，同时对华师大版七(下)第六、七章的教材给出了整合的思路与方案。关键词：设元 寻找等量关系 方程（组）的思想 数学建模。 新课标中，在谈到“应用意识”时指出：应用意识主要表现在“认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息，数学在现实世界中有着广泛的应用；面对实际问题，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题
2、的策略；面对新的数学知识，能主动地寻找其实际背景，并探索其应用价值”。而方程、方程组都是反映现实世界数量关系的有效的数学模型，因此，新课标中要求“能够根据具体问题，寻找其隐含的数量之间的等量关系，列出方程（组），建立数学模型”。同时，方程（组）思想是非常重要的数学思想，它始终贯穿于整个数学体系之中。因此，如何使学生在掌握方程（组）解法的基础上，能够应用于解决实际问题显得尤为重要；另外，应用题的学习也是学生学习的难点之一，如何突破这一难点是教师在实际教学中必须去面对的一个现实问题。为此，本人将结合七（下）第六章“一元一次方程” 、第七章“二元一次方程组”的教学谈谈自己的一些看法。 首先，我认为，
3、应用方程（组）解决实际问题的基本思想是：笫一、只要是求未知量的问题，都可以考虑用方程（组）来解决；等二、该设元的就设元，需要设几个元就设几个元，然后根据具体问题，寻找其隐含的数量之间的等量关系，列出方程（组），建立数学模型；第三、求解数学模型，也即求解所列的方程（组），再检验、作答。 其次，学生在学习中存在的最大困惑是：（1）无法找出问题中所存在的等量关系；（2）无法确定问题中究竟该设几个未知数。而这两点正是解决问题的关键所在，处理好这两个困惑也就突破了教学难点。我们应该承认一个事实，就是学生的阅读水平有限。因此，在审题时也就不易去理解题意，找出问题中隐含的数量之间的关系。这不仅需要我们数学老
4、师的努力，也需要语文老师的鼎力相助。但是在解决“是否需要设元，应该设几个元，是直接设元，抑或是间接设元”这一问题时，就需要我们数学老师来解决。我们希望，也要求学生形成这么一种数学思想：只要是求未知量的问题，都可以考虑用方程（组）来解决，不仅是现在懂得用方程（组）的思想来解决问题，在今后也要懂得用方程（组）思想来解决问题；不仅是在代数中懂得用方程（组）的思想来解决问题，在几何中也要懂得用方程（组）思想来解决问题。不仅是在数学中懂得用方程（组）的思想来解决问题，在其它学科中，比如物理或化学也要懂得用方程（组）思想来解决问题。综上所述，七（下）中的第六章与第七章的教学也就显得尤为重要。在华师大版七（
5、下）的第六章与第七章的教材中，有这样一个情况：第六章中的有些问题若用列方程组（即设二元）来处理，学生较容易理解；而第七章里的有些问题则列方程（即只设一元）来解决过程更为简洁；另外，把这两章的应用题部分分开学习，可能会使学生产生一种困惑：对所碰到的应用题，是否需要设元？应该设几元？是直接设元？抑或是间接设元？是列方程？还是列方程组？尤其今后在处理求未知数的问题时，这个困惑尤为突出。现列举其中的几例说明。例1（习题6.2.2第4题）、球的表面是由一些呈多边形的黑、白皮块缝合而成的，共计有32块，已知黑色块数比白色块数的一半多2，问两种皮块各有多少？分析：这里问题要求两个未知量，可设两个未知量，寻找
6、两个等量关系，列两个方程组成方程组来求解。解：设黑、白两种皮块各有块、块，依题意得：（下略）.例2（第六章复习题B组第11题）、学校在植树活动中种了杨树和杉树两类树种，已知种植杨树的棵数比总数的一半多56棵，杉树的棵数比总数的三分之一少14棵两类树各种了多少棵？分析：这里问题同样要求两个未知量，可设两个未知量，寻找两个等量关系，列两个方程，组成方程组来求解。解：设杨树和杉树两类树种各种了棵、棵，依题意得：（下略）.例3（习题7.3第1题）、某市为更有效地利用水资源，制定了用水标准：如果一户三口之家每月用水量不超过Mm3，按每立方米水1.30元计算；如果超过Mm3，超过部分按每立方米水2.90元
7、收费，其余仍按每立方米水1.30元计算.小红一家三人，1月份共用水12m3，支付水费22元.问该市制定的用水标准M为多少？小红一家超标使用了多少立方米的水？解： 解得：这时，小红一家超标使用的水=12-8 = 4（立方米）.答：（略）.说明：此题尽管在第七章的“二元二次方程组” 中出现，但是依题意只需列一元一次方程即可求解.例4（第七章复习题A组第4题）、今年，小李的年龄是他爷爷的.小李发现，12年之后，他的年龄变成爷爷的.试求出今年小李的年龄.解：设今年小李岁，则他爷爷岁，依题意得：.（下略）.这里或许会有人提出，上述的例1若只设一元不就可以解决了吗？当然可以，可是在第七章中也有类似的问题，
8、课本给出“设二元，列方程组”的方法来解决。比如，在第七章的例6中，问题为：某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工后上市销售.该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或者粗加工16吨.现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天粗加工，几天精加工，才能按期完成任务？如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元，精加工后为2000元，那么该公司出售这些加工后的蔬菜共可获利多少元？解：设应安排x天精加工，y天粗加工.根据题意，有（下略）.在所配套的习题也出现了类似的情况，比如：第六章复习题C组第18题：小赵为班级购买笔记本作晚会上的奖品回来时向生活委员小陈交账说：“一共买了36本，有两种规格，单价分别为
9、1.80元和2.60元去时我领了100元，现在找回27.60元”小陈算了一下，说：“你肯定搞错了”小赵一想，发觉的确不对，因为他把自己口袋里原有的2元钱一起当作找回的钱款给了小陈请你算一算两种笔记本各买了多少？想一想有没有可能找回27.60元，试应用方程的知识给予解释 第七章7.2练习：1、22名工人按定额完成了1400件产品，其中三级工每人定额200件，二级工每人定额50件.若这22名工人中只有二级工与三级工，问二级工与三级工各有多少名？2、为改善富春河的周围环境，县政府决定，将该河上游A地的一部分牧场改为林场.改变后，预计林场和牧场共有162公顷，牧场面积是林场面积的20%.请你算一算，完
10、成后林场、牧场的面积各为多少公顷？3、某般的载重为260吨，容积为1000m3.现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为8m3，乙种货物每吨体积为2m3，若要充分利用这艘船的载重与容积，甲、乙两种货物应各装多少吨？（设装运货物时无任何空隙）. 显然，这几道问题既可设一元也可以设二元，但在两章都分别出现，如此一来，势必会使学生产生困惑：究竟何时设一元，何时设二元呢？以至无所适从，无法作出正确的选择. 针对教材中所存在的上述情况，我对两章的教材内容进行整合。首先使学生熟练地掌握一元一次方程、二元一次方程组的解法，在此基础上再进行应用题的学习。为此，在第一课时，先通过一组改造后的简单例题，给出
11、了数学建模的基本思想。问题1（课本6.1问题1的改造）我校初一年级共有328名师生，现在年段准备组织乘车外出春游活动。（1）若已有2辆可乘坐54人的汽车，还需租用44座的客车多少辆？（2）若考虑到带队的老师只有8人，每位老师跟一辆车，则需租用32座与44座的客车各多少辆，使得座位刚好坐满？思考：问题1（2）中需设几个未知数？列几个方程？未知数的个数与方程的个数一样吗？说明：这里借助了一元一次方程和二元一次方程组来解决问题。根据问题所求的未知量设未知数（设元）；根据问题所给的数量关系列出方程（组）；然后解方程（组），并把所求得的解进行检验，看是否符合题意；最后作答。而这解题过程实际上就是如下的过
12、程：实际问题分析建立数学模型求解数学模型解的分析与检验解 答注意：这里的数学模型就是我们所列出的方程或方程组，这也是解题的关键。而一但模型建立，剩下的求解就是数学问题了。问题2（课本7.1问题1的改造）在学校“艺术节”活动期间，年段举行了足球比赛，规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。我们班比赛了9场，共得17分。已知负了2场，问：胜了几场？平了几场？问题3（课本6.2例7的改造）学校团委组织65名新团员为学校建花坛搬砖女同学每人搬6块，男同学每人搬8块，每人搬了4次，共搬了1800块问这些新团员中各有多少名男女同学？通过对课本问题的改造，把应用方程、方程组解决实际问题的基本思想有机
13、地结合起来，使学生从整体上来认识、理解并初步了解应用方程、方程组来解决实际问题中求未知量的基本思想及基本步骤：（1）只要是求未知量的问题，都可以考虑用列方程（组）来解决；（2）该设元的就设元，需要设几元就设几元，然后根据具体问题，寻找其隐含的数量之间的等量关系，列出方程、方程组建立数学模型；（3）求解数学模型，也即求解所列的方程、方程组，再检验、作答。 而后，对两章中的例题、练习、习题进行适当的归类、调整（因篇幅所限，不再赘述），在教学过程中，逐步地渗透数学建模的思想，但不强调应该设几个未知数，而是要求视具体情况而定。从而使学生在整体上来逐步地理解和掌握应用方程、方程组来解决实际问题中求未知量
14、的基本思想及基本方法。下面是学生们对课本中的一道问题给出的几种不同的解法，非常有创意，思路不拘一格。6.3 “实践与探索”问题1用一根长60厘米的铁丝围成一个长方形 （1） 使长方形的宽是长的，求这个长方形的长和宽 （2） 使长方形的宽比长少4厘米，求这个长方形的面积 （3） 比较（1）、（2）所得两个长方形面积的大小还能围出面积更大的长方形吗？注：这里只给出第（1）题的解答.解一：所以，长 =宽答：（略）.解二、设长方形的长为，则宽为，依题意得： .（下略）.解三、设长方形的长和宽分别为，依题意得： .（下略）.解四、设长方形的长为，宽为，依题意得： （下略）. 从上述的几种解法不难看出，学
15、生在处理问题时，思路不再禁锢于设元或不设元，该设几元；该列算式或方程或方程组，体现了整体教学对学生开拓思维的教学效果。最后，再列举两例说明应用方程、方程组来解决实际问题中求未知量的基本思想及基本方法。例5（华师大版七下同步训练P314（2）班委组织部分学生骑车到郊外春游，上午9时出发，到达目的地后午餐和举办活动，逗留了3个小时后沿原路返回，下午3时回到学校.若途中在平路的平均速度是15千米/时，上坡的平均速度是10千米/时，下坡的平均速度是30千米/时，且在往返途中各休息了20分钟.问：共骑了多少路程？解：设平路的路程为千米，上坡的路程为千米，下坡的路程为千米，依题意得： ，解得： 答：共骑了
16、35千米.说明：这里涉及到平路、上坡、下坡的路程共三个未知量，但直接的等量关系只有来回所耗的总时间，设三元而只能列一个方程。可是最终的求解结果并非要求出平路、上坡、下坡的路程，此题体现了“该设元的就设元，需要设几元就设几元，然后根据具体问题，寻找其隐含的数量之间的等量关系，列出方程、方程组建立数学模型，再求解数学模型”这一基本思想。 例6（华师大版七下同步训练P8010）在中，E和D两点在AB上，AD = AC，BE = BC。请画出满足条件的图形，并求的度数.解：如图所示，设则： BE = BC， AD = AC，则在中，在中， 有 ， 解得 即.说明：这里借助设元，列出方程来求解，使得解题过程变得较为简洁，并且只是设而不求的一个未知数，体现了方程（组）的思想在几何中的应用。参考文献：1全日制义务教育数学课程标准，北京师范大学出版社.2华东师范大学版数学（七年级）（下），华东师范大学出版社.3华东师范大学版同步训练（七年级）（下），华东师范大学出版社.
