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1、长方体模型在立体几何中的应用江苏省太仓高级中学 陆红力立体几何中学生最易掌握的简单几何体是长方体和正方体，其简单的几何性质和直观的几何构造已为广大高中生所熟悉,在长方体中适当添加辅助线，不仅可以构建各种线线关系、线面关系、面面关系，还可以割出像三棱锥、四棱锥、直三棱柱、长方体等，所以在遇到某些点、线、面及空间角和距离的问题时,若能联想并巧妙合理地构造出相关的长方体并加以解决,则能使很多复杂的问题变得更易理解,从而起到事半功倍的效果。一 构造长方体 判断位置关系例1 在空间，下列命题正确的是 （1）如果直线a,b分别与直线l平行，那么a/b.（2）如果直线a与平面内的一条直线b平行，那么a/.（
2、3）如果直线a与平面内的两条直线b，c都垂直，那么a.（4）如果平面内的一条直线a平面，那么.说明：如图1，以长方形为模型，使得平面为，就可否定（2）；再使就可否定（3）；所以正确为（1）、（4），因为（1）为平行线公理，（4）为面面垂直判定定理。例2 已知 m,l 是直线，是平面，给出下列命题：（1） 若l垂直内的两条相交直线，则.（2） 若，则l平行于内的所有直线.（3） 若且则.（4） 若且则.（5） 若且，则.其中正确的是 ，（请将正确命题的序号填上）说明：如图2，在长方体中，选，平面，但不平行，易否定（2）；选平面，平面，否定（3）；选平面，平面，否定（5）；因为（1）（4）分别为线
3、面垂直、面面垂直判定定理，所以选（1）（4）.此类问题是高考常见题型，主要考查线线、线面、面面位置关系。其解题方法是将假命题举一反例否定即可，而在长方体或正方体中这种反例很容易找到。二 构造长方体 求解角与距离空间角与距离的求解一直是令学生“谈虎变色”的，因为实现空间角与距离的转化是难点。借助长方体模型则有助于化解这一难点。例3 若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为，则= .说明：因为本题是填空题，所以不妨设正四棱柱为一个正方体，而在正方体中与各个面所成角都相等的直线是体对角线，如图，即是所求的角.若令正方体的棱长为1，则故，即特殊化思想是解决本题的捷径。例 4 某几何体的一条棱长为在该
4、几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图和俯视图中，这条棱的投影分别是长为的线段，则= .说明 将该几何体放到长方体中（如图），看作对角线正视图投影为侧视图投影为俯视图投影为因为所以故因此，的最大值为4. 三 构造长方体 计算面积或体积近年来的高考题中立体几何的填空题多以面积或体积的计算为主，对单纯考查记忆与计算的问题相对减少，取而代之的是灵活的试题。例5 在球面上有4个点若两两垂直，且求该球的表面积。说明 如图，因为两两互相垂直，所以可以相交的三条线段为棱构建一个长方体，该长方体是球的内接长方体，其体对角线的长等于球的直径，设球的半径为，易知，所以本题也可作一变式：将边
5、长为2的正三角形沿高折成直二面角，问三棱锥的外接球的体积是多少？当题目中含有“三个平面两两垂直且相交于同一点”或“从同一点出发的三条棱两两相互垂直”时，一般可以构建长方体，相应几何体的外接球直径就是长方体的体对角线长。四 构造长方体 突破建系难题 对于立体几何存在性命题的求解，传统教学的纯几何方法技巧性较大、随机性较强，需要多种转化技能，而通过建立空间直角坐标系，利用空间向量把立体几何和向量代数运算有机地结合起来，就为这些问题的解决提供了通法。然而某些几何体并不是正棱锥或正棱柱，这给建立空间直角坐标系带来了困难。注意到某些几何体是由长方体切割而成，若放回到原来的长方体中，则给建立空间直角坐标系
6、带来了便利。例6 如图，在三棱锥中，侧面是全等的直角三角形，是公共的斜边，且另一个侧面是正三角形。（1）求证：（2）在线段上是否存在一点，使与面成角？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由。说明：（1）作面于，连结则四边形是正方形，且 以为原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图，则故则（2）设是线段上一点，则平面的一个法向量为要使与平面成角，由图可知与的夹角为，所以则则故线段上存在点，且时，与平面成角。 有些数学问题从表面上看，似乎与长方体无关，但如果在解题时能仔细观察，注意到题目的条件或结论的结构特点，充分展开联想，发挥思维的独创性，构造长方体这个基本图形，可使解题思维简单，解法灵活巧妙。在立体几何中，构建长方体来解题是构造思想的重要体现。
