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1、教学设计 项目导向式数学教学设计 “余弦定理”教学设计方案 宁波行知中等职业学校 陈建忠课题余弦定理（高等教育出版社数学基础版第一册第五章 第13节）教育思想与教学设计理念项目导向式数学教学设计以主体教育思想与人文教育思想为核心，突出中等职业学校文化课教育的本质和目标的教学设计模式在教育过程中，项目导向式教学始终体现：学生不仅是教育的对象，更重要的是学习和发展的主体，而且是发现、激发、培养、提高学生主体性的过程；关注以人为本，尊重个性，突出道德，挖掘具有内在的人文教育 数学学习过程强调，有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生数学学习的重要方式，与之相对应
2、，关于数学教学活动则强调，教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能余弦定理教学设计以项目导向（曲柄连杆机构）为主线，学生的认知能力和心理特征为切入口，循序渐进地推进数学教学活动教学内容的纵横探析余弦定理是“纵横”知识网络上的一个重要结点，纵向发展的知识：勾股定理余弦定理秦九韶公式海伦公式；横向联结的知识：和角公式、正弦定理及三角形面积公式余弦定理承前的基础知识有勾股定理、向量基础知识、三角函数定义、诱导公式、和角公式、正弦定理及三角形面积公式，这些都是建立余弦定理的知识储备，后续的知识有正余弦定理的应用
3、及其拓展内容秦九韶公式与海伦公式同时，余弦定理可推导证明和角公式、正弦定理等，使三角内容紧密联结成一个完整的知识体系余弦定理是三角函数模块和平面向量模块在三角形中的具体运用，是解决生产、生活实际问题及可转化为三角形计算问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值本节课是“解斜三角形”教学的第二课时，其主要任务是引入并证明余弦定理，在课型上属于“定理教学课”学情分析与课堂实施策略中等职业学校学生在数学学习过程突出表现为：理解能力差，对数学概念理解肤浅，解题反应迟钝，思维呆板；学习没有兴趣，动机不强，意志不坚，情绪不稳定，课堂上注意力不集中，成绩忽高忽低；义务教育阶段的知识断链较多，持续学习困难；与此同
4、时，学生的认知能力和心理抗挫能力也较薄弱在数学教学过程中，创设符合学生实际的项目情境显得尤为重要，而且不断地通过评价激励、问题激励、竞争激励来激发学生参与课堂、获取自信余弦定理教学设计针对中等职校工科类学生，在教学过程中，以曲柄连杆机构的剖析为项目导向，切入学生的盲点学生在学习专业课程的时候，对基本构件往往是只知其“表”而不知其“内”，不能对构件部分的合理性做出分析思考，抑或产生改进的想法深究其原因，一方面，学生对专业理论课的重要性认识肤浅，认为只要会操作就是学到了本领；另一方面，在于学生的数学功底浅薄，主观上认为学习数学就是做题目罢了，无法深入到专业课程的核心部分因此，尽管学生对专业课程和技
5、能操作十分重视，但是学生专业水平的提高却十分缓慢，这也就不足为奇了选择数学知识与专业课知识为结合点的案例，作为数学课堂教学的项目导向，螺旋阶梯式地发展，让学生在学习过程中获取成功，积蓄自信在数学课堂教学中，以专业课程中基本构件曲柄连杆机构作为数学教学设计的项目导向，努力把数学知识与专业课程知识进行合理的整合在学习余弦定理时，让学生通过学习活动，体验如何用数学的知识和方法去分析专业理论知识；同时，激发学生对数学学习的兴趣，提高学生应用数学的意识，发展学生用数学的眼光来看专业课程的有关内容，从而提高学生分析问题解决问题的能力引导学生在学习数学知识的过程中，提高专业水平教学目标的设定与预测余弦定理的
6、课堂教学目标根据教材的分析和学生实际情况，确立了如下课堂教学目标：（1）通过曲柄连杆的图片展示、实践操作，感受余弦定理来自于现实世界、从实际生活中提炼出数学的过程，以此培养学生的数学应用意识；（2）通过对三角形边角关系的探索，能证明余弦定理，了解可以从向量、解析几何和三角方法等多种途径证明余弦定理；（3）理解余弦定理的两种表示形式，初步了解余弦定理的两种形式之间的关系；（4）通过学生动手操作、提出问题、解决问题的过程，提高学生运用余弦定理解决问题的能力；（5）体验数学活动的过程以及数学在现实生活中的应用，让学生获得发现的成就感，在质疑、交流、合作中形成良好的数学思维品质对余弦定理课堂教学目标预
7、测设置的问题有：问题3、问题4、问题5、问题6、问题7（见教学环节设计）重点难点确定的依据与突破对于三角形边角关系的探索过程，是学生在项目导向下，尝试问题解决，提升自信的心理历程，本节课的终结点是余弦定理纳入学生的知识结构之中，培养学生的数学应用意识，因此课堂教学的重点确立为：余弦定理的发现与证明要获取余弦定理的关键是引入向量或建立适当的直角坐标系，这从学生的认知能力来讲，是一个较难的问题，因而，本堂课的难点确立为：余弦定理的建立在突破难点上，采用层进式提问策略，在项目情境中，通过解直角三角形、向量及建立直角坐标系的基础知识（注：建立直角坐标系的方法根据学生的接受能力而定），使难点在学生递进式
8、的解答过程中，层层突破，并领悟数学知识的内在联系教学环节设计与意图阐释教学环节问 题设 计 意 图师 生 活 动教师展示曲柄连杆机构的模型，大屏幕展示横截面图示结合专业提出曲柄连杆机构的工作原理及组件AB和BC的名称问题1：请同学们说一说曲柄连杆在运动过程中的动点与定点，并作了哪几类运动？ 曲柄连杆机构在运动过程中，线段AB、BC、CA中，哪些线段的长度在变化？ 让学生巩固专业理论基础知识，提高学生对专业课程的深化，作适时的铺垫同时，为激发学生学习数学知识的主动性和积极性创设情境问题1的提出，在于让学生直观感知向观察发现迈进，同时从专业课程的内容，过渡到数学的教学内容教师（展示曲柄连杆机构模型
9、）：同学们，我手上的机械构件叫什么？学生（齐声回答）：曲柄连杆机构教师：同学们知道曲柄连杆机构的工作原理吗？学生：曲柄连杆机构是发动机将热能转换为机械能，并把动力传输出去教师：同学们既然知道它的工作原理，现在我们在大屏幕上来看曲柄连杆机构的横截面图示我们来辨别一下构件的组件名称学生：AC部分称连杆，BC部分称曲柄教师：观察屏幕上的图示，请同学们说一说曲柄连杆在运动过程中的动点与定点，并作了哪几类运动？学生：定点是C，动点是A、B；连杆作直线运动，曲柄作圆周运动教师：曲柄连杆机构在运动过程中，线段AB、BC、CA中，哪些线段的长度在变化？（追问：线段CA何时取得最大值，ABC的大小是多少？何时取
10、得最小值，此时ABC的大小？）项目导向背景导言项目导向问题生成问题2：如图所示，若在三角形ABC中，已知连杆AB长为340mm，曲柄CB长为85mm，曲柄CB与连杆AB互相垂直时，求AC的长对于问题2的设计，让学生从特殊入手，先让学生尝试解决简单的问题，以给学生进一步深入学习作心理上准备，为增强自信心打下坚实的基础因为中等职校学生的竞争好胜心理非常强，若对简单的问题已能解决，则他们对一般问题也有信心去尝试因为他们已经尝到了成功的喜悦这也为我们设置矛盾情境打下伏笔，为深入探究创设了良好的氛围教师：当曲柄连杆机构在运动的过程中，运动到如图所示的位置若在三角形ABC中，已知连杆AB长为340mm，曲
11、柄CB长为85mm，曲柄CB与连杆AB互相垂直时，求AC的长（计算结果精确到0.1mm） 教师：观察图，我们来分析问题：已知什么，求什么学生：我发现已知条件是成了二边一直角教师追问：如何解决？学生：因为三角形ABC是直角三角形，所以用勾股定理解，即（教师激励性评价）问题3：如图所示，若在三角形ABC中，已知连杆AB长为340mm，曲柄CB长为85mm，曲柄CB与连杆AB的夹角为时，求AC的长 如图所示，若在三角形ABC中，已知连杆AB长为340mm，曲柄CB长为85mm，曲柄CB与连杆AB的夹角为时，求AC的长该问题的抛出，是为了引发学生认识上的冲突，激发学生继续探究的强烈欲望，也是激活学生思
12、维的催化剂由于问题2的顺利解决，学生对问题3的思考深度及广度有一个新的发展同时，由于问题3与问题2之间存在着某种关联，学生的思考方向可能是化斜三角形为直角三角形的方法为了进一步发散学生的思考点，提出一般性的数学化问题教师：我们发现，上述问题只是把两边垂直改成了两边的夹角为，那么我们该如何求解？学生：老师，已知条件是三角形中的两边AB、CB的长及AB与CB的夹角B（教师指正ABC），求三角形中边AC的长，与刚才解决的那个问题是一样（教师追问：那么能用刚才方法解决吗？学生：那我还没有做过）教师：刚才同学对问题的分析很完整那么我们能否运用学过的知识来求三角形中边AC的长呢？学生：老师，我用正弦定理，
13、好象解不出来学生：老师，我根据刚才解决的问题，在三角形中作一条高线，即那么，AD=AB-BD，然后用勾股定理解出教师：太精彩了，我们同学运用已学过的知识解决了问题 教师：如果两边的夹角为的时候，我们又该如何求解呢？项项目导向提炼结论问题4：如图所示，在中，BC、CA、AB所对边分别为a、b、c，已知b、c及A，求边a.该问题是本堂课的核心问题，从实际问题抽象到数学化的一般问题，也是学习数学过程中学生最困难的地方 因为在前面已做了相应的铺垫，提出抽象问题也就水到渠成了通过这个过程，能让学生体会到如何把实际问题演变发展成数学问题的思想方法，领会数学知识应用的广泛性在问题的论证过程中，采用枚举论证的
14、方法，突出问题思考的完备性与严谨性教师：我们解决了曲柄连杆在运动过程中移动长度的变化现在我们把这个问题改变为一般问题，我们来试试看：如图所示，在中，BC、CA、AB所对边分别为a、b、c，已知b、c及A，求边a.（学生满怀信心地在尝试着） 一位调皮的学生站起来说：老师，不就是上面方法中，把那个边与角换一下就可以了也就是：教师：非常棒，我们学生能运用类比的方法，得出一般的情形现在同学们来思考：这个公式对任何三角形是否都适用，为什么？学生：对任何三角形都适用，因为我们从推导过程中可以发现，解决问题的过程具有一般性教师（乘胜追击）：那么直角三角形也适用吗？学生：那是，那公式就是勾股定理了教师：我们把公式叫余弦定理呈现余弦定理内容（用多媒体呈现余弦定理内容文字、图形、符号）引导问题：已知连杆AB长为340mm，曲柄BC长为85mm,AC长为290mm，求ABC的大小给出一个完整的余弦定理，让学生对余弦定理有一个初步的印象通过问题的导引，沟通两种形式的关系余弦定理文字叙述（略），表达形式式如下：；
