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1、 食堂排队分析的数学模型吴佳平（数学学院 信息与计算科学 31090519）在学校里，我们常常可以看到这样的情景：下课后，许多同学争相跑向食堂去买饭，小小的卖饭窗口前没过几分钟便排成了长长的队伍，本来空荡荡的食堂也立即变得拥挤不堪。饥肠漉漉的同学们见到这种长蛇阵，怎能不怨声载道。增加窗口数量，减少排队等待时间，是学生们十分关心的问题。然而就食堂的角度来说，虽说增加窗口数量可以减少排队等待时间，提高学生对该食堂的满意度，从而赢得更多的学生到该食堂就餐，但是同时也会增加食堂的运营成本，因此如何在这两者之间进行权衡，找到最佳的窗口数量，对学生和食堂双方来说都是很重要的。摘要 1、首先，我们分析调查到
2、的数据，发现学生流符合泊松分布，服务时间符合指数分布，由此我们的模型就变成了排队论中典型的MMn模型，根据MMn模型中的各效率指标的公式，我们可得到学一食堂拥挤情况的各方面数据。 2、根据模型求解得到的数据，我们对模型进行了更精确的量化分析。我们发现，解决本模型的关键就在于分析顾客平均排队时间，我们对其与窗口数之间的关系进行了拟合，并就两者之间关系进行了灵敏度分析。 3、针对窗口数与顾客平均排队时间之间的关系，我们从经济学的角度进行了分析，即比较增加窗口后成本的增加量与减少排队等待时间所带来的收益之间的大小关系，最后得出学一食堂设置7个窗口最为合理。进一步，我们结合经济学中的寡头竞争原理，分析
3、了现在6个窗口设置的原因。 关键词 排队论 MMn模型 灵敏度 等待损失 模型的建立与分析 由于周六周日学校没课，故学生去食堂的时间较为分散，很少发生排长队的现象，我们在此就不做分析了。我们仅就周一至周五的食堂拥挤情况进行分析。观察发现，一般打到饭的同学都能找到座位吃饭，故我们可认为，食堂里的座位数是足够的，无需添加新的桌椅。所以解决食堂拥挤状况，主要是解决排长队的问题。我们将就此问题建立模型，进行分析。 调查数据 我们统计了从6月6日到6月10日（周一到周五）12：05至12：25高峰期学莘子园的学生流分布情况：共统计了3059人次的数据，见下表： 表一 每10秒到达人数 1 2 3 4 5
4、 7 频数 257 441 894 956 350 161 由概率论的知识可知，若分布满足，则该分布为泊松分布。（其中为泊松分布的密度，为泊松分布的参数） 由上表可得=3.39。经检验，该分布近似于泊松分布。虽然我们仅仅调查了一周的数据，但考虑到学生到食堂就餐具有较大的稳定性，所以认为调查的数据还是较为可靠的。另外在非高峰时段很少发生排队现象，故在此我们也不做分析。 模型假设 1、由于学校学生多，而食堂少，在中午时段，学生又大都集中在12：05至12：25这一时间段赶去食堂吃饭，故我们可认为在该时间段中学生源是无限的，且学生单独到来且相互独立。 2、学生对菜色没有特别偏好，每个窗口对学生来说都
5、是一样的。 3、食堂实行先来先服务原则，且学生可自由在队列间进行转移，并总向较短的队进行转移，没有学生会因为队列过长而离去，故可认为排队方式是单一队列等待制。 4、食堂共有6个窗口，经我们观察可发现，每个窗口服务员的工作效率是随机的，很难对其进行精确的分析。所以我们由一般统计规律，认为其满足指数分布，平均每个学生的服务时间是15秒，且服务员之间无差异。 5、以10秒为一个时间单位。 模型建立 基于以上的假设，我们的模型符合排队论中的多通道等待模型（M/M/n）。该模型的特点是：服务系统中有n个服务员，顾客按泊松流来到服务系统，到达强度为；服务员的能力都是，服务时间服从指数分布。当顾客到达时，如
6、果所有服务员都忙着，顾客便参加排队，等待服务，一直等到有服务员为他服务为止。 这个系统的效率指标有： 顾客到达强度 每个顾客的平均服务时间 服务员能力系统服务强度，即平均每单位时间中系统可以为顾客服务的时间比例 空闲概率系统中排队顾客的平均数：顾客平均排队时间：顾客平均逗留时间：系统中顾客的平均数：模型求解 由我们调查的数据可知=3.39，=1.5，n=6，代入以上各式可得： 服务员能力=0.67，系统服务强度=5.09，因为,所以极限存在。 空闲概率：=0.031 系统中排队顾客的平均数：=27 顾客平均排队时间：=7.96 顾客平均逗留时间：=9.46 系统中顾客的平均数：=32.09 由
7、此可见，当我们中午在12：05至12：25这个时间段去莘子园吃饭时，一进门就会发现里面已经人满为患，几乎不可能找到空闲的窗口。而且，已经有32个同学正在排队买饭。27个人正在排队等待，平均一个窗口5人。当我们开始排队时，要过80秒钟才轮到我们，要过95秒钟我们才能吃上可口的饭菜，来填饱我们的肚子。为了检验我们的数据与事实相符，我们特地亲身体验了一番，下表是我们的统计数据： 表二 时间 6月13日12：14 6月14日12：106月15日12：126月16日12：10排队等待人数 4 5 4 6 排队等待时间 80 85 70 75 模型分析 对于学生来说，中午的时间是很有限的（12点下课，1点
8、上课），能尽快吃上饭对我们来说是很重要的。同时，学生在食堂排队的平均逗留时间W0很大程度上可以决定学生对食堂的选择，所以食堂工作人员也希望能尽可能的满足学生的需求。研究学生平均逗留时间W0，将是解决本模型的关键所在。平均逗留时间W0是由平均排队时间W和平均服务时间组成。我们认为15秒的平均服务时间对于服务员来说已经是极限了，如果再加快速度反而可能手忙脚乱，增大出错的可能性，到时反而会降低效率，故我们认为平均服务时间t不可改变，是个常数。至于平均排队时间W，我们由公式可知它是由顾客到达强度，每个顾客的平均服务时间和窗口数n来决定的，由于学生对于食堂的选择都有一定的偏好，即一般都会去同一个食堂吃饭
9、，所以我们可以认为学生流是稳定的，即为常数，由上面的分析又可知t也是常数，因此能对平均排队时间构成影响的就只有窗口数n了，下面我们将就n的取值对W的影响进行分析： 由matlab我们可以得到它们两者之间的散点图：散点图： 注：在上图中我们把W的单位改成了秒。 从图中可看出我们各点之间的变化规律较为平稳，所以我们有可能用多次多项式将其拟合，所以我们又用matlab对其进行了三次多项式的拟合，从而得到了它们的拟合图： 拟合图： 它们之间的二次多项式关系式是： 从图中可以看出，随着窗口数的增加，平均排队等待时间急剧减少，当窗口数达到5以后时，变化趋于平缓。从拟合图中，我们只能看出窗口数与平均排队等待
10、时间的大致关系，为了得到更精确的分析，我们将用灵敏度的观点进行讨论。 由于窗口数n只能是整数，我们得到如下表的对应关系： 表三（单位：秒） 待添加的隐藏文字内容2窗口数n 6 7 8 9 10 平均排队时间W 27 5.23 1.64 0.58 0.21 下面我们分析平均排队时间对窗口数的灵敏度： 灵敏度=由此我们可得不同的窗口数n下的灵敏度： 表四 窗口数n 6 7 8 9 10 灵敏度 0 29.13 17.51 16.45 17.62 由此可见，平均排队时间W对窗口数十分敏感，均达到了16以上，其中以窗口数从6变成7时尤为明显，其平均排队时间由27秒变为5.23秒。而其他几种情况虽也很敏
11、感，但是平均排队时间变化的绝对值很小，大小不超过4秒钟。 窗口数的优化设计 从以上的灵敏度分析可知，当窗口数超过7时，即使增加再多的窗口，其平均排队时间变化的绝对值大小也只在5秒左右，而这么小的时间间隔我们认为对学生是不会造成什么影响的。但是增加窗口会给食堂带来巨大的成本压力，他们自然也不可能增加。至于小于6个 窗口时，从图中可看出，平均排队时间会大大增加，这会引起学生的极大不满，造成学生的大量流失，当然也是不合理的。至此，我们可看出，最佳的窗口设置是6个或7个。 对于学生方面来说，当然是排队等待时间越短越好，即7个窗口比6个好。对于食堂方面来说，窗口数的增加一方面会导致成本的增加，另一方面会
12、缩短排队时间，即意味着它能为更多学生服务，所以它是否会增加窗口数就取决于成本和收益的大小关系。 一般来说，每增加一个窗口，需要多配备三名服务人员以及一些配套的设施。所以增加窗口数所带来的成本等于新增服务人员的工资加上配套设施的维修与清洗费。新增窗口得到的收益是很难估量的。在此我们引入等待损失的概念，即由于排队等待食堂所减少的收益。如食堂每分钟可得收益a元，但是由于队列过长，顾客不得不排队等待服务，这意味着食堂无法及时为这些顾客服务，每等待1分钟，食堂就损失a元。所以我们得到等待损失等于食堂单位时间收益乘以平均等待时间乘以顾客数。 我们调查得知北京市餐饮行业服务人员的每月平均工资为700元，即每
13、周平均175元。至于配套设施的维修与清洗，我们可大致认为其每周不超过300元。由此可知每增加一个窗口，食堂的成本就得增加825元。 至于食堂从每个学生身上可获得多少利润，因为学生要的菜不同，而且菜的利润也不同，所以是很难确定的，故我们由一般规律假定其每十秒钟可得0.5元利润。所以，学生因等待而使食堂发生的损失，Q=0.33059W，当窗口数从6变为7时，食堂可少损失Q=0.13059W=0.53059(2.7-0.523)=3329.72元。由此可知最佳的窗口数为7。 然而事实是学一食堂的窗口数是6，在这么长的实践时间里，难道是食堂人员没有发觉当窗口数增加到7时，其利润会更多吗？还是有其它原因
14、呢？其实从理论上来讲，单从一个食堂来讲，7个窗口是最合适的。但是事实上由于整个学校的学生人数是一定的，故我们的假设中的第一条，学生源是无限的是不太合理的。当莘子园增加窗口时，必然会夺走其它食堂的学生，因此其它食堂也一定会同样增加窗口，使学生在各食堂间进行从新分配，最后达到新的平衡。可能到头来，虽说莘子园减少了平均排队等待时间，但学生并没有增加多少，利润也没多大变化，这是得不偿失的。所以学校食堂之间的竞争有些类似于经济学中寡头的竞争，他们为了攫取最大的利润，彼此之间达成了某种默契，把实际价格定得比理论价格要高。反映在我们食堂的窗口数设置上，就是莘子园选择了6个窗口，而不是7个窗口。我们认为学校食
15、堂应以为学生服务为宗旨，不应只看重经济利益，所以强烈建议莘子园增设一个窗口，以满足学生的需求。 附录 在计算系统中各效率指标和进行拟合时，我们用到了matlab，其程序如下： 计算空闲概率P0和系统中排队顾客的平均数L： 主程序： a=3.39; b=1.5; n=6 7 8 9 10; p=a*b; P0=f(n,p); L=f1(n,p,P0); M文件f.m function P0=f(n,p) for k=1:5 sum=1;a=1; for i=1:n(k) for j=1:i a=a*j; end sum=sum+pi/a; end P0(k)=(sum+p(n(k)+1)/(a*
16、(n(k)-p)(-1) end M文件f1.m function L=f1(n,p,P0) for k=1:5 a=1; for i=1:n(k) a=a*i; end L(k)=p(n(k)+1)*P0(k)/(n(k)*a*(1-p/n(k)2) end 进行二次多项式拟合： W=L/a; plot(n,10.*W,*r) k3=polyfit(n,10*W,3); y3=polyval(k3,n); x=4:0.1:10; y3=polyval(k3,x); plot(n,10*W,*r,x,y3,b) 课程感受1. 数学实验是利用计算机软件系统作为实验平台，以数学理论作为实验依据，以
17、数学问题和实际问题的数学模型作为实验对象，以计算机程序为实验手段，以数值计算、符号演算和图形演示等为实验内容，以实例分析、模拟仿真、归纳总结等为主要实验方法，以辅助学数学、辅助用数学和辅助做数学为实验目的。 在数学实验中，由于计算机的引入和数学实验包的应用，为数学的思想与方法注入了更多、更广泛的内容，使学生摆脱了繁重的乏味的数学演算和数值计算，促进了数学同其他学科之间的结合，从而使学生有时间去做更多的创造性工作，数学实验能很好地激励学生的求知欲与好奇心。2. 通过本课程的学习，加深了对数学知识的理解，具体的如学会了绘制一元及多元函数的图形、掌握了计算函数与数列极限的方法、学会了用Mathematica经行导数和微分、积分的基本运算、关于矩阵的基本运算等。使抽象的数学问题形象化、具体化、简单化，具备解决实际问题的本领。3. 适当改进： a.在课前将课件内容及时的发送到学生电脑上以代替拷贝时间，提高效率。 b.及时对软件经行更新和升级，让同学掌握最新的实验技能。
