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1、面积问题【知识精讲】1、求不规则图形或难以同时求出底和高的三角形的面积，一般的思路是割补法：有一边“水平”或“竖直”的多边形，作垂线分割成直角三角形或直角梯形；“斜”的三角形一般不易找到它的底和高，通常过顶点作铅垂线和水平线“补”成矩形，再减去各角上的直角三角形面积2、对于“斜”三角形可用“铅垂法”求面积3、如果底边与坐标轴的夹角是特殊角，把过顶点的垂线段平移到端点在坐标轴上，则围成一个直角三角形，可求得顶点到该底边的距离，即求得高4、已知抛物线的一条弦，在抛物线的闭合部分上找一点使与该弦组成的三角形面积最大，即把弦所在直线平移至与抛物线只有一个交点的情况，解平移后直线与抛物线的解析式联立所得
2、的方程组，此时判别式等于05、底或高不明显，但已知边的关系，可用由面积比为相似比的平方，间接求得6、运动过程中所求图形要分情况讨论【典型例题】例题1：2009年芜湖市第24题 如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为，将此三角板绕原点顺时针旋转，得到（1）如图，一抛物线经过点，求该抛物线解析式；32112AOBxy（2）设点是在第一象限内抛物线上一动点，求使四边形的面积达到最大时点的坐标及面积的最大值例题2：2010年广州市第25题如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线交折线OAB于点E（
3、1）记ODE的面积为S，求S与的函数关系式；CDBAEO（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由变式练习2：2009年益阳市第25题阅读材料：如图1，过ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在ABC内部线段的长度叫ABC的“铅垂高”(h).我们可得出一种计算三角形面积的新方法：SABCah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.解答下列问题：如图2，抛物线顶点
4、坐标为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，交y轴于点B.（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）求CAB的铅垂高CD及SCAB ；xCOyABD11图2（3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使SPABSCAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.BC铅垂高水平宽ha图1A例题3：2009年大连市第24题DEBPACQ如图，矩形ABCD中，AB = 6，AD = 3，点E在边DC上，且DE = 4动点P从点A开始沿着ABCE的路线以2单位/s的速度移动，动点Q从点A开始沿着AE以1单位/s的速度移动，当点Q移动到点E时，点P停止移动若点P、Q从点A同时出
5、发，设点Q移动时间为t（s），P、Q两点运动路线与线段PQ围成的图形面积为S，求S与t的函数关系式例题4：2008年广州市第25题如图，在梯形中， AB = AD = DC =2，BC = 4在等腰中，底边QR = 6点、在同一条直线上，且、两点重合如果等腰以1单位长度 / 秒的速度沿直线按箭头所示方向匀速运动，秒时梯形与等腰重合部分的面积记为S（1）当时，求的值；（2）当时，求与的函数关系式，并求出的最大值【真题演练】12009年恩施自治州第24题ACBDEA如图，在ABC中，A90，BC10，ABC的面积为25，点D为AB边上的任意一点（D不与A、B重合），过点D作DEBC，交AC于点E设
6、DEx，以DE为折线将ADE翻折（使ADE落在四边形DBCE所在的平面内），所得的A DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y（1）用x表示ADE的面积；（2）求出0 x 5时y与x的函数关系式；（3）求出5 x 10时y与x的函数关系式；（4）当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？22008年丽水市第24题如图，在平面直角坐标系中，已知点坐标为（2，4），直线与轴相交于点，连结，抛物线从点沿方向平移，与直线交于点，顶点到点时停止移动（1）求线段所在直线的函数解析式；（2）设抛物线顶点的横坐标为，用的代数式表示点的坐标；当为何值时，线段最短？（3）当线段最短时，相应的抛物线上是否存在点，使的面
7、积与的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由BOAPM图132112AOxyBP专题七参考答案例题1：（1） （2）解法一：如图1，为第一象限内抛物线上一动点，设则点坐标满足连接=当时，最大此时，即当动点的坐标为时，最大，最大面积为图2G32112AOPEFlxyB解法二：如图2，连接，P为第一象限内抛物线上一动点，且的面积为定值，最大时，必须最大而长度为定值，最大时点到的距离最大将直线向上平移到与抛物线有唯一交点时，到的距离最大设与直线平行的直线的解析式为联立，得令解得此时直线的解析式为： 代入解得，直线与抛物线唯一交点坐标为 设与轴交于则过作于 在中，过作于 则到的距离 此
8、时四边形的面积最大的最大值为：例题2：（1）由题意得B（3，1）图1若直线过A（3，0）时，b；过B（3，1）时，b；过C（0，1）时，b1若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1b，如图1，此时E（2b，0），图2SOECO2b1b若直线与折线OAB的交点在BA上时，即b，如图2此时E（3，），D（2b2，1），SS矩(SOCDSOAE SDBE ) 3(2b1)1(52b)()3()图3（2）如图3，设O1A1与CB交于M，OA与C1B1交于N，则矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积，即为四边形DNEM的面积由题意知，DMNE，DNME，四边形DNEM为平行四边形根据轴对称知，
9、MEDNED，又MDENED，MEDMDE，MDME，平行四边形DNEM为菱形过点D作DHOA，垂足为H，由题意知，tanDEN，DH1，HE2，设菱形DNEM 的边长为a，则在RtDHM中，由勾股定理知：，S四边形DNEMNEDH矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为变式练习2：（1）；直线AB：（2）C点坐标为（1，4），当x时，y14，y22，即CD4-22（平方单位）（3）假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，PAB的铅垂高为h，则由SPAB=SCAB，得：化简得：，解得，将代入中，解得P点坐标为例题3：RtADE中，当03时，过点Q作QMAB于M
10、，连接QPABCD，QAM=DEA，又AMQ=D=90，AQMEAD， 当3时，过点Q作QMAB于M， QNBC于N， 连接QB由知AQMEAD， ，QN=+（） 当5时连接QB、QC，过Q分别作QHDC于H，QMAB于M，QNBC于N 由题意得QHAD，EHQEDA， 例题4：（1）如图1、过点作于点，过点作于点， 则 四边形AGED为矩形，从而AD = GE 在梯形中， 在RtCDE中，在等腰中，过点作于点， 在中，即点P在直线AD上 ， 如图2，当时，点与点重合，点与点重合重合部分为BCD 图2 图1 （2）当时，如图3，则 设与交于点，与交于点在中，可求得， 过点作于点在中， 同理可得
11、， 当时，当时，如图4，则，设与交于点， 在中，为直角三角形 ， ，当时， 综上所述，当时，S有最大值图3图41（1）DEBC ，ADE=B，AED=CADEABC，即（2）BC=10，BC边所对的三角形的中位线长为5，当0 时，（3）当10时，点A落在三角形的外部，其重叠部分为梯形SADE=SADE=DE边上的高AH=AH=由已知求得AF=5，AF=AAAF=x5由AMNADE知，（4）在函数中，0x5，当x=5时，y的最大值为在函数中，当时，y的最大值为综上所述，当时，y的最大值为2（1）设所在直线的函数解析式为，（2，4），即所在直线的函数解析式为.（2）顶点M的横坐标为，且在线段上移动
12、，（02）.顶点的坐标为(,).抛物线函数解析式为.当时，（02）.点的坐标是（2，）.=， 又02，当时，PB最短.（3）当线段最短时，此时抛物线的解析式为.假设在抛物线上存在点，使.设点的坐标为（，）.当点落在直线的下方时，过作直线/，交轴于点，点的坐标是（0，）.点的坐标是（2，3），直线的函数解析式为.，点落在直线上.=.解得，即点（2，3）.点与点重合.DOABPMCE此时抛物线上不存在点，使与的面积相等. 当点落在直线的上方时，作点关于点的对称称点，过作直线/，交轴于点，、的坐标分别是（0，1），（2，5），直线函数解析式为.，点落在直线上.=.解得，.代入，得，.此时抛物线上存在点，使与的面积相等.
