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1、 毕 业 论 文 题 目：几种求平面图形面积的方法学生姓名 指导教师 系（部）师范教育系 专 业 数学教育班级 数教094 学号 提交日期 20 年 月 日 答辩日期 20 年 月 日20 年 月 日几种求平面图形面积的方法摘 要 本文研究的主要问题是平面内图形面积的几种解法，解题方法是指解答数学问题时，总体上所采取的方针、原则和方案。不同题目通过分析条件与结论之间的差异，并不断缩小目标差来完成的。 关键词：平面图形 面积 目 录现介绍几种常用的方法（1）（一）转化法 （1）（二）和差法 （1）（三）重叠法 （2）（四）补形法 （2）（五）拼接法 （2）（六）特殊位置法 （3）（七）代数法 （
2、3）（八）直角坐标系-积分法 （4） 1、巧选积分变量 （4） 2、巧用对称性 （5）参考文献 （6）（一）转化法此法就是通过等积变换、平移、旋转、割补等方法将不规则的图形转化成面积相等的规则图形，再利用规则图形的面积公式，计算出所求的不规则图形的面积。例1. 如图1，点C、D是以AB为直径的半圆O上的三等分点，AB=12，则图中由弦AC、AD和围成的阴影部分图形的面积为_。分析：连结CD、OC、OD，如图2。易证AB/CD，则的面积相等，所以图中阴影部分的面积就等于扇形OCD的面积。易得，故。（二） 和差法有一些图形结构复杂，通过观察，分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组合而成的，再利用
3、这些规则图形的面积的和或差来求，从而达到化繁为简的目的。例2. 如图3是一个商标的设计图案，AB=2BC=8，为圆，求阴影部分面积。分析：经观察图3可以分解出以下规则图形：矩形ABCD、扇形ADE、。所以，。 （三）重叠法就是把所求阴影部分的面积问题转化为可求面积的规则图形的重叠部分的方法。这类题阴影一般是由几个图形叠加而成。要准确认清其结构，理顺图形间的大小关系。例3. 如图4，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内作半圆，求所围成阴影部分图形的面积。解：因为4个半圆覆盖了正方形，而且阴影部分重叠了两次，所以阴影部分的面积等于4个半圆的面积和与正方形面积的差。故。（四）补形法将不规则图形补
4、成特殊图形，利用特殊图形的面积求出原不规则图形的面积。例4. 如图5，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，A=60，B=D=90，求四边形ABCD所在阴影部分的面积。 解：延长BC、AD，交于点E，因为，所以角E等于30，又，易求得，所以（五）拼接法例5. 如图6，在一块长为a、宽为b的矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽都是c个单位），求阴影部分草地的面积。 解：（1）将“小路”沿着左右两个边界“剪去”；（2）将左侧的草地向右平移c个单位；（3）得到一个新的矩形（如图7）。由于新矩形的纵向宽仍然为b，水平方向的长变成了，所以草地的面积为。（六）特殊位置法例6. 如图8，
5、已知两个半圆中长为4的弦AB与直径CD平行，且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于_。分析：在大半圆中，任意移动小半圆的位置，阴影部分面积都保持不变，所以可将小半圆移动至两个半圆同圆心位置（如图9）。解：移动小半圆至两半圆同圆心位置，如图9。设切点为H，连结OH、OB，由垂径定理，知。又AB切小半圆于点H，故，故 （七）代数法将图形按形状、大小分类，并设其面积为未知数，通过建立方程或方程组来解出阴影部分面积的方法。例7. 如图10，正方形的边长为a，分别以两个对角顶点为圆心、以a为半径画弧，求图中阴影部分的面积。解：设阴影部分的面积为x，剩下的两块形状、大小相同的每块面积为y，则图中正方形
6、的面积是，而是以半径为a的圆面积的。故有，。解得。即阴影部分的面积是。（八）直角坐标系-积分法求平面图形的面积是定积分在几何中的重要应用.把求平面图形的面积问题转化为求定积分问题，充分体现了数形结合的数学思想.求解此类题常常用到以下技巧.1、巧选积分变量求平面图形面积时，要注意选择积分变量，以使计算简便. 例8 求抛物线与直线围成的平面图形的面积解析：如图1，解方程组得两曲线的变点为方法一：选取横坐标为积分变量，则图中阴影部分的面积应该是两部分之和，即方法二：选取纵坐标为积分变量，则图中阴影部分的面积可据公式求得，即点评：从上述两种解法可以看出，对y积分比对x积分计算简捷.因此，应用定积分求平
7、面图形面积时，积分变量的选取是至关重要的.但同时也要注意对y积分时，积分函数应是，本题须将条件中的曲线方程、直线方程化为的形式，然后求得积分另外还要注意的是对面积而言，不管选用哪种积分变量去积分，面积是不会变的，即定积分的值不会改变.2、巧用对称性在求平面图形面积时，注意利用函数的奇偶性等所对应曲线的对称性解题，也是简化计算过程的常用手段. 例9 求由三条曲线所围图形的面积.解析：如图2，因为是偶函数，根据对称性，只算出轴右边的图形的面积再两倍即可解方程组和得交点坐标 方法一：选择为积分变量，则方法二：可以选择y为积分变量，求解过程请同学们自己完成.点评：对称性的应用和积分变量的选取都影响着计
8、算过程的繁简程度.平面图形面积的传统教学过程中，教师们常重结果而非过程，教师恨不得把所有的数学知识都灌输到学生的脑子里，这种教法实际上是孤立地传授知识的细节部分，缺乏对数学知识的整体联系。新课程主张，“重结果更重过程，过程比结果更重要”，让学生经历知识的形成与应用过程，在知识的发生发展过程中渗透数学思想方法。特别对于平面图形的面积的求解中应让学生体验数学思想方法和空间的想象能力。在教学中，一方面要讲清数学概念，另一方面要引导学生挖掘其中的解题过程。有的时候再解题时可能会发生题中所给的信息中产生信息，从同一来源产生各种各样为数众多的信息。即从问题的多种可能方向扩散出去，探索问题的多种解法。可使思
9、维广阔，对一个问题能根据客观情况的变化而变化。在学生的脑海中形成解题的三步曲：观察联想转化，通过对题目的观察，由概念、原理、法则的接近而产生的联想，由命题的已知条件和结论的外表形态与结构特征，想到相关的、相似的定义、定理、公式和图形等，通过变化使面临的问题转化为自己会解决的问题。上面例题解答方法中就是通过这样的模式在学生思维中转化，从而在学生思维中形成独立的、连动的、多向的、跨越的、综合的网络模式，从三个层次进行解答，即一般性解决、功能性解决和特殊性解决。如上的例题中都是从这三个层次分析解答的。不管是平面图形还是其他问题，解题的目的有三个方面：知识基础性、方法技能性、观念意识性，分别对应着认识
10、论、方法论、世界观。分四点来论述:一、加深理解概念，巩固拓展知识；二、掌握数学方法，培养数学技能；三、领会数学思想，训练思维品质；四、发展个性心理，形成科学精神。建议在平时教学中从学生的实际出发，在充分发挥教师的主导作用的前提下，善于激发学生对数学的求知欲和学习的兴趣，引导学生积极开展思维活动，主动获得知识的意识，有利于注重调动学生的学习主动性,引导他们独立思考,积极探索,生动活泼地学习,自觉地掌握科学知识，提高分析问题、解决问题的能力，充分体现了学生的主体特性。学生只有主动参与其中,亲身感受、体会、思索、提炼才能逐步领悟、形成、掌握数学思想方法。致谢： 参考文献1郑毓信，肖柏荣，熊萍著.数学思维和数学方法论四川：四川教育出版社，2001.2史久一，朱梧槚著.划归与归纳类比联想.大连：大连理工大学出版社，2008.4.3章士藻著.数学方法论简明教程.南京：南京大学出版社，2006.5.4刘玉琏等编.数学分析讲义.上册.5版.北京：高等教育出版社，2008.5.
