分数的本质（分数概念）.doc

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1、数学与认知结构分数真分数假分数带分数分数数词的多重意义分数的教学策略分数问题范围的分类教学应注意事项具体物的使用最简分数国小学童学习分数概念时常见的迷思概念补充说明运思方式的发展测量运思对分数问题的影响等价分量学生的先备知识l 何谓分数分数概念起源于“分”，是用来解决不满一个单位量的量的数值的问题。透过将原单位量（例如：一个圆）加以等分割（例如：分成五等份），得到单位分量(五分之一)，再重复数个单位分量（例如：两个五分之一）加以合成，而得到被测量的量为五分之二公尺的圆。例如： 是“分得的量” 是“总单位量”同样地，分数的原始意义等分割及再合成其数份的活动是分数概念发展的基石。对于所有分数问题，

2、学童唯有能实际操作或在心理操作等分割及再合成其数份的活动，才能理解如何解决这些问题。简单的说：分数就是分开的意思。用来描写一个被分开的全体之各部份。也可用来表示将对象等分成若干份后，取其几份的结果。可归纳其原始意义为：把一个或多个基准单位量，透过实作或心理的等分割活动成为N等份，再合成其M份，命名为N分之M，记为M/N。 分数是透过等分割活动及合成活动的实施，来确定一个量（例如：4个糖果）与一个单位量（例如：12个糖果装一包）的数值关系的指标。由于确定同一个量与其单位量间的数值关系的等分割活动与合成活动并非唯一，以上述数据为例，12个糖果中的4个，可以透过将12个糖果等分割成12份，再合成其中

3、的4份而获得，也可以透过将12个糖果等分割成6份，再合成其中的2份而获得。因此，在单位量确定的情况下，把测量同一量的不同数值指标（如上例的4/12与2/6）视为相等，忽略不同数值指标的等分割份数与合成份数，而注重等分割份数与合成份数间的比值关系，并把比值当作数值指标的数，称之为有理数。学童的认知需达到测量运思，才能讨论不同的等分割与合成活动结果的等价关系，作为发展有理数概念的基础并以之作为发展。分数的初步概念是包涵单位分量真分数、假分数与带分数。教学的过程中是，由单位分量真分数概念带入假分数及带分数。l 何谓真分数将壹单位（例如一条绳子，或一块蛋糕）等分成数份（例如8份），来讨论单位分数的意义

4、（例如1单位8等分后，一份为1/8）；在逐次累加一个单位分量的情境中，建立同分母分数数词序列，讨论真分数数词的意义，进而能掌握用分数数词沟通分量的获得过程，例如八分之三个圆，是表示将一个圆等分成8份，形成八分之一个圆的单位分量，再将3个八分之一个圆合起来的结果。分子异于1，且其总量不超过1个的分量，我们称之真分量。真分量是由1个子分割成数分，但与单位分量不同，是取出其中数分合成的量，单位分量是祇取出其中的1分。因此，在真分量命名时，仍宜强调名字中应表现出（1）等分的活动；（2）分成几分；（3）取出几分合起来等要素。l 真分数的教学策略真分量的命名活动在进行真分量的命名时，我们仍先使用绳子的长度

5、性质，进行五或七等分的活动。使用五等分做为开始，五等分后，可以同时讨论数个真分量的命名（例如五分之二、五分之三、或五分之四）。我们刻意地避开四等分和六等分，原因是避免二分之一与四分之二的混淆。在命名的初期，我们希望建立命名活动的系统化，对于二分之一与四分之二为等价分量，可以有两个名字的问题，留待第六册，学童对分数数词有较多的认识后，再进一步地做讨论。依照活动重点，教师宜准备已等分好的材料，在等分处做上记号，以方便在视觉上同时掌握整体与部分。在要求命名时，宜用手势来指明要命名的部分。在命名过程中，宜先复习单位分量的命名，协助学童可以仿照单位分量的命名方式来对真分量命名。但教师宜注意，此时尚不宜用

6、单位分量的合成来讨论真分量的命名，换言之，真分量的命名，注重其获得的方式，以五分之二为例，五分之二是将一个东西分成五分，取出来二分合起来的量，而并非两个五分之一的量合起来的量。学童此时可能尚不能将五分之一视为可被计数的单位，有关合成问题，留待三年级下学期再讨论。在命名活动中，我们先要求系统化，而在系统化中，可以先接受非格式化的名字，但要求此名字已能较清楚地表达（1）等分活动；（2）分成数分；（3）取出其中的几分合起来。在活动示例中，我们使用的符号来表示符合上述要求而非格式化的名字，因为学童是用口语来叙述名字，教师亦可用注音的方式，记录在黑板，以供讨论与选择。如果学童中有人自发地提出五分之二条绳

7、子的命名，教师宜先诉诸社会上的沟通的共识，讨论五分之二的名字是否已清楚地表达此分量形成的过程。在形成共识后，要求仿照同样的方式来进行五分之三、五分之四的命名。如果全班学童都无五分之二的命名，亦可先选出最符合表达要求的名字，例如，要求先仿照此种命名方式，对于五分之三及五分之四的分量进行命名，而产生及的名字。在此阶段，我们先要求学童能注意到各分量获得过程的异同，而系统化的展现在命名过程中，可以在命名活动之后，探讨社会上的沟通共识，讨论五分之二的名字，是否也可表达分量获得的过程，再形成共识，使用此种方式重新赋予约定成俗的命名。在此种讨论流程中，我们强调宜先注重活动意义的掌握，在沟通方面，培养学童勇于

8、自行命名的态度，教师亦宜先尊重学童的选择，再以社会的沟通共识做规范，要求使用正式的数学语言。进行使用离散量来讨论分量的命名。在离散量的情境中，我们是以总量为基准单位量，来进行等分割及命名活动，在此类问题中，我们建议先将问题限制在总量与等分分数相同的范围内，例如10个馒头装成 1包，把1包馒头分给10个人，1个人可得多少包。在命名的过程中，许多学童可能会混淆个和包的两阶单位，教师宜强调题目中的问题，提醒学童现在是问多少包，亦宜随时提醒等分绳子时的命名方式，以协助学童学习正式的名称。同样地，在离散量情况下进行真分量的命名时，我们只采用三、五或七等分，以避免命名时的混淆。l 何谓假分数单位分量的累积

9、与数词序列，其分数数词所描述的数量，几乎都是不超过1单位所描述的数量。而在此处，即以分数数词来描述不小于1单位的数量。例如当5个1/4个圆合起来时，称之五分之四个圆；此类分数数词，则通称为假分数。即分数数词所描述的数量大于1单位所描述的数量，通常分子会大于分母。5个1/4的圆5/4在合成或分解活动中，建议下列的流程：（1）先澄清单位分数数词的意义；（2）用真分数布合成问题，或用小于2的假分数与真分数布分解问题；（3）学童尝试解题；（4）要求学童以分数算式摘要记录解题活动与结果，而不要求学生记录解题过程。l 假分数的教学策略假分数的命名活动教师宜注意到，假分数数词是描述不小于1单位的数量，故而在

10、量的情境布置时，必须使用多个1单位。同时将它们做同份数的等分活动，例如，以绿色积木（其长度相当于6个白色积木）为1单位，将三条绿色积木同时进行6等分的活动，沟通其等分结果皆为六分之一条绿色积木，如此才能有18个单位分量（六分之一条）来布置命名活动的情境。当然，在累加单位分量时，实际上是使用白色积木，教师必须先与学童沟通，在此情境中，白色积木是代表六分之一条绿色积木。在假分数命名活动中，教师宜强调如何选择分数数词，使别人一听就知道是几个单位分量的合成结果。活动示例建议由真分数数词为起点（例如：5个六分之一条绿色积木合起来是多少条绿色积木？）。再逐次累加一个单位分量，先确定单位分量的个数（例如：再

11、一个六分之一条，合起来是几个六分之一条？。再协商此数量如何命名（例如：6个六分之一条绿色积木，合起来是多少条绿色积木？。以真分数数词为起点，可以协助学童使用真分数数词的命名规律，来形成假分数数词。l 何谓带分数在强调混用1单位与单位分数两种被计数单位的情境下，形成使用带分数数词（字）描述数量的共识。例如一又六分之二条绳子，是描述一条绳子和2个六分之一条绳子的合成结果，记作12/6。依据课程标准，选择12/6做为带分数数字的书写形式，以强调带分数是自然数与真分数合成的结果。待学童掌握其合成的意义后，再考虑1的省略记法。由于在此阶段，多数学童尚无法尚掌握乘除互逆的概念，不能用倍的活动来抵消等分活动

12、，故而延伸活动经验，在量的情境中，继续进行n/n与1的比较活动。例如：100/100张百格板和1张百格板，谁比谁大？，希望累积比较经验，进而察觉n/n与1间的等价关系，可以用一个n/n来交换一个1。以一个n/n可以交换一个1为基础，教师可以协助学童探讨假分数与带分数间的关系。假分数数词的选择，着重于别人一听就知道是几个单位分量的合成结果；相对地，带分数数词的选择，着重于别人一听就知道是几个基准单位量（1单位）和几个单位分量的合成结果。假分数数词的命名，是以数个单位分量的合成为活动背景；相对地，带分数数词的命名活动，是以数个基准单位量与数个单位分量的合成为活动背景。例如活动示例中，确定1/4张色

13、纸的意义后，询问3张色纸和一个1/4张色纸合起来要如何描述，在逐次累加一个1/4张色纸的情况下，询问3张色纸和数个1/4张色纸合起来要如何描述。l 带分数的教学策略带分数的命名活动学童在进行带分数的做数活动时，可能以口述、画图象或操作具体物等方式来表现其数量。如果学生无法完成做数活动，教师宜询问带分数数词（字）的意义，来协助学生解题。例如：提示学童 四又十分之六条橘色积木是告诉我们几条橘色积木和几个十分之一条橘色积木合起来？”在此阶段，教师在黑板上记录学童的说法时，宜采用文字符号（例如三又四分之一），在下个活动中，再讨论带分数数字的写法。命名活动可以分为两个阶段进行。在第一阶段时，先着重学童的

14、描述（命名）是否已沟通重要的元素：是数个基准单位量和数个单位分量的合成，着重形成命名方式的类型（规律）；在第二阶段再强调社会上约定成俗的说法。换言之，在命名活动开始时，班级中若无人提出约定成俗的说法（例如三又四分之一）时，教师可以协助选择一种已沟通重要元素的学童自创说法，做为暂时的班级的沟通格式，继续进行命名活动，以强调此时沟通的要素。而在下一阶段的命名活动中，再引入约定成俗的数词。当然，若学童在第一阶段中，已提出约定成俗的数词时，教师宜透过便于与社会大众沟通为理由，协助学童注意到数词如何沟通重要元素，再协助学童使用此种方式，来描述其它的数量。由于带分数数词是首次引入，为了将情境单纯化，活动示

15、例中，限制单位分数的内容为单一个物，而且分母不大于十二或等于一百。在命名活动中，若学童以等值分数描述数量时，例如用三又二分之一来描述3张和2个1/4张的合成结果，教师宜采淡化原则，请学童说明他（她）的观点，在接受此种说法的情况下，要求学童再选择一种方式，让别人一听就知道是描述3张和2个1/4张的合成结果。带分数的说、读、听、写、做活动依据课程标准，选择2的书写形式，来记录二又三分之一，以强调带分数是自然数与真分数合成的结果。当带分数的写法由2 改为2时，教学上应注意：（1）如果学生以传统方法来书写带分数符号，如2，教师宜接受；但是教师的教学都要以2的方式来书写；（2）如果学生将带分数的符号，如

16、2，读成二加三分之一，教师宜接受；但是教师的读法一定要是二又三分之一。（3）为了避免造成和与和数的混用，请教师不要出像2公尺的绳子和1/3公尺的绳子合起来是多少公尺，写出算式【2+1/3=2】这一类的问题。在带分数的合成、分解活动中，曾引导学童区分壹与单位分数两种被计数单位。并用 整数的合成、分解与以单位分数为被计数单位的合成、分解 等方式来解题。希望学童在复习旧有活动经验时延续上述解法来解决带分数的合成、分解问题。若学童碰到带分数的分解问题需要退位时，希望学童能利用1、是n个等经验进行解题。由于学童并式的经验还不够丰富，而带分数的书写符号又如2，而非2。l 分数数词的多重意义当分数数词（字）

17、用来描述有理数时，a/b为例，至少可以从下列六种角度，来讨论分数数词（字）的意义：1.部分与全体的比较：全体为b时，a是b的部分；例如：一块蛋糕的一半或三个苹果中的两个2.除法的活动：a除以b活动的另一种写法；例如：五除以三可以写作5/3。3.算子：对于对象1，进行一个运作，将1等分割成b份再取出a份；例如：将一个蛋糕切成五等份，取出其中的三等份。4.小数的另一种记法； 例如：0.63/55.比的意义：表示两数量的相对关系（a：b）；例如一根10公分的竿子和一根5公分的竿子的长度比例为1/2。6.测量：用来测量一个不满一个单位量的量的数值问题，或是对两量的对等关系进行数值化（比值）。分数的教学

18、策略l 分数问题范围的分类依据分数数词（字）所描述的量的性质，将分数问题情境分为三类：（一）连续量：例如条绳子；我们可选用具体物(如绳子)的长度性质，来讨论分的活动与单位分量的意义。例如使用白色积木代表十分之一条橘色积木，或红色积木代表五分之一条橘色积木，或分成五段后的一段绳子是五分之一条绳子。至于采用绳子的原因，是因为它的长度性质。例题1：这是一条绳子。4/7条绳子和2/7条绳子，合起来和多少条绳子一样长？（82年部编本活动编号：6-4-6）例题2：冰箱有一瓶鲜乳。淑敏喝了5/12瓶鲜乳，晓玉喝了3/8瓶鲜乳，两人共喝了多少瓶鲜？（82年部编本活动编号：11-3-3）（二）离散量：一打铅笔有

19、12枝的情境下，讨论打铅笔；可选择基准单位内元素（具体物）可被计数的性质，来讨论分的活动与单位分量的意义，例如以一打铅笔为基准单位，内有12枝铅笔，分成12分后，一分是十二分之一打铅笔。重点在于，将问题限制为等分的分数必须与元素的个数相同，如此一分中恰好有一个元素，以免学生对于分、枝二阶单位产生混淆。例题1：10个蛋糕装1盒。哥哥有5/10盒蛋糕，妈妈再给他2/10盒，合起来有多少盒？（82年部编本活动编号：6-6-1）例题2：一盒巧克力有35颗。3/7盒巧克力和盒2/5盒巧克力，合起来是多少盒？（82年部编本活动编号：11-3-2）（三）全部为单位量：在全部有12枝铅笔的情境下，或在全部有6

20、公斤汽油情境下，由解题者视12枝或6公斤为一高阶单位1，讨论全部的。例题1：家里冰箱有40个巧克力。妹妹自己拿了全部3/10的，妈妈再给妹妹全部的4/10，合起来妹妹的巧克力是全部的多少？例题2：家里冰箱有40个巧克力。妹妹自己拿了全部3/10的，妈妈再给妹妹全部的7/20，合起来妹妹的巧克力是全部的多少？ 由于测量运思阶段的学童，尚需要透过等分割活动，才能掌握分数的意义，如果要被等分割的量不确定时，则无法进行等分割活动，因此，在布置连续量分数问题时，或提供实际的对象（例如：一条绳子），或使用学童已熟悉的对象描述（例如：一个蛋糕，一公升的水），让学童在心像上能产生一个确定的量（其数值可以未定）

21、；在布置离散量与全部为单位量的问题时，亦必定清楚描述1单位中内容物的量。l 教学应注意事项具体物的使用进行分数教学活动时，常常需要使用具体物，此时应注意：(1)教师进行第四册分数启蒙教材的连续量等分割活动（例如：分割一条绳子）时，在等分割后，教师应刻意地不让学生将其切断，而只是在分割处做上记号。其用意是，累进性合成运思的学生，在将绳子切断后，原来的条绳子即不存在，但是在只做记号的情况下，学生能在感官知觉上，同时看到一条绳子，与分割后的一段绳子，能看到分量（一段）为单位量（一条）的一部分。在进行将单位量等分割成、等分时，教师宜先行制作教具，不必由学生执行分割活动，以免分割的技术问题干扰学生的学习

22、，只要学生能认可教师教具上的记号已完成了要求的等分割活动即可。(2)在建立分数数词序列或进行分数的合成、分解等活动前，教师应与学生建立具体物意义的共识。例如：使用白色积木代表十分之一条橘色积木，或用一枝铅笔来代表十二之一打铅笔。 (3)教师与学生可能操作不同的具体物，例如：教师在黑板上使用数学方瓦，而学生使用数学积木，教师宜解决沟通的问题，例如：先说明教师是用方瓦来代替积木，而维持称方瓦为积木的沟通方式。 (4)在不同的活动中，我们使用白色积木的不同性质来进行活动。例如：在第六册第二单元中，我们使用积木的长度性质来进行教学活动，因此，会出现像一个白色积木和多少条橘色积木一样长？的问话。在第八册

23、第二单元中，我们使用积木的面积性质来进行活动，因此，会出现像一个白色积木和多少张百格板一样大？的问话。 (5)在进行分子等于分母的分数与之间的等价关系的比较活动时，我们并不希望学生实际地进行直接比较活动，故建议在和的比较活动中，将代表的具体物（例如：条橘色积木），与代表十分之十的具体物（例如：10个白色积木），分开呈现，而不宜作长度的直接比较；在和的比较活动中，将代表的具体物（例如：张百格板），与代表一百分之一的具体物（例如：个白色积木），分开呈现，而不宜作面积的直接比较，希望透过如此情境的限制，促使学生能利用基准单位量与单位分量的关系来预测比较的结果，注意到等分出来的分量都已再合并，而判断等

24、价的关系。(6)在单位分数所指示的内容为多个独立个物的情境下，为了让学生在无法解题时，能方便透过操作具体物或图示来协助解题。因此，我们的教学活动限制分母不大于十二，而且单位分数所指示的内容以不多于4个为原则。最简分数在习惯上，如果问题最后的答案为分数时，常要求用最简分数做解答。此阶段的学童，尚须依赖等分割活动来掌握分数的意义，当分割数（或分母）不同时，则具有不同的意义。学童需要透过两分数所指示的量的比较，才能确定两异分母分数是否等值。当学童尚须透过比较活动来判断分数的等值问题，在概念上，亦不易了解分子、分母同除以一数来进行约分的程序。此时要求将获得的分数，化为最简分数，是较困难的活动。因此，在

25、分数的问题中，尽可能不要求用最简分数来呈现解答，等待六年级时，累积较多经验后，再开始讨论最简分数的问题。在不要求用最简分数作答时，同一问题可能出现不同的答案形式(如1/2、2/4)，建议教师随时进行不同答案的比较活动，一方面讨论各种答案都可合理可以接受的，另一方面累积等值分数的经验。教材中并没有系统地介绍各种质因子的识别法，虽有介绍短除的纪录格式，但碍于学童发展的限制，并未强调使用短除法来求取最大公因子的策略。因此，学童在此时尚无较简便的工具来计算最大公因子（例如：短除法，辗转相除法），在化为最简分数的问题中，会遭遇计算上的困难（尝试错误过程的繁杂）。因应这个问题，教材中建议可选择分母较小的分

26、数进行布题，这个选择并不妨碍概念的形成；教师宜运用上课从严，考试从宽的原则，在师生的互动中，可以进一步地询问：可不可以用最简分数来回答？或还能不能平分成更少的份数？，但考试时缺乏互动机会，则不做严格的要求。l 国小学童学习分数概念时常见的迷思概念吳相儒 國小學童學習分數概念時常見的迷思，翰林文教雜誌網路版第24期。根据相关文献的分析可以归纳出，国小学童学习分数概念时常见的迷思概念有忽略单位量、依赖部分-整体模式及受到整数基模的影响等三大类，兹分述如下：（一）忽略单位量： 处理分数问题最重要的一个概念是单位量的指认，但是学生在处理部分全部，子集集合或数线的分数问题时，会有指认单位量的困难。其常见

27、的迷思概念又可以细分为：l 忽略给定的单位量：学生在回答诸如一袋苹果有四个，其中的一个是几袋的问题时，会回答一个或是四分之一个。这样的反应显示他们对于所给定的单位袋和单位分量个之间的关系，并不在意。l 受分子的控制，解题时只考虑到分子的因素。如果要此类学生在以十二个组成一堆的花片中取出其中的六分之五，他们的反应是只取其中的五个。l 受分母的控制，只考虑到问题中的分母，解题过程深受分母的影响。跟上述受分子控制解题的情形类似，其中的差别只有在于，这类的学生是根据分母的大小来取花片。而不论是受分子控制或是受分母控制解题的学生，他们都忽视所给定的单位量。（二）部分整体模式：由于儿童过于依赖连续的部分-

28、整体模式，反而抑制了他们将分数视为一个数，并抑制了其它分数解释的发展（Pitkethly et al.,1996）。引用台中县益民国小吕相儒老师在翰林文教杂志网络版第廿四期所发表了一篇名为国小学童学习分数概念时常见的迷思的文章中，曾经就相似情境分别设计连续量与离散量的试题，其一为：小明的妈妈买了一个大披萨，她把披萨平分成八小块。小明吃了三块、妈妈吃了四块。以分数来说，小明吃了几个披萨？妈妈吃了几个披萨？其二则是：小英在庆生会的时候，带来一桶装有86颗软糖的乖乖桶，她分给自己和每个同学各两颗软糖，桶内还剩下14颗软糖。以分数来说，班上每位同学各分得几桶乖乖桶？小英还剩下几桶乖乖桶？并利用上述问题

29、对123位国小四年级学生施测，结果第一题答错的学生数为9人，答错率为7.3，第二题答错的学生数则高达21人，答错率为17.1，相同学生在两题上的表现显然不同，对于连续量的分数理解优于离散量。推论其原因跟教材及教师教学时常常举连续量的例子，使得学生对于此类问题较为熟悉有关。此外，Kerslake(1986)也指出儿童将分数视为一个整体形状的部分，这个整体通常是一个圆或方形，使得儿童难以发展出将三个圆分成四个相等部分的概念。（三）整数基模： 一些研究指出，学生对分数符号表征的迷思概念与全数有关(Behr, Lesh, Post & Silver,1983；Behr, Wachsmuth & Pos

30、t,1984；Mack,1995)。分数的符号为，儿童普遍的将该符号视为是由两个整数组成的，并将之应用至分数的问题上。他们视分数是两个不相关的整数并分开个别处理（Hart,1989）。因此在进行与分数相关问题的解题活动，如分数大小比较、合成或分解时，便出现下列的情形： l 以分母的大小来做比较：如，因为85。(Behr et al.,1984; Hunting,1986)。又如笔者在进行研究访谈中的经验显示，学生知道一个大饼平均分成两块，其中的一块就叫做二分之一（）个。若把一个大饼分成相等的四块，其中的一块则可说成四分之一（）个。因此，是切两块比较大，是切四块比较小。但是若要他们在（ ）此类问

31、题的括号中填入大于、等于或小于的符号时，他们却回答小于，问其源由，则答因为2比4小。l 以分子的大小来比较：例如。因为4 9。(Behr et al,1984)。此一原则在同分母分数的情境下尚可适用，但是对于分母不同或是等值分数的状态下，就会导致错误的结果，例如学生认为 ，因为是涂两块，只有涂一块，所以 比较大（吕玉琴，民80）。l 将分子、分母同加一数来比较：例如：3/47/8。因为3+4=7,4+4=8(Behr et al.,1984)。l 分别比较两个分数的分母与分子例如：3/56/10。因为36，而且510(Behr et al.,1984;Hunting,1986)。l Mack(

32、1995)发现学生受到全数观念的影响过度类推至分数的概念上：例如：学生认为3/8即是三大块的南瓜派，每块切成八小块。l 在分数加法的问题中，采用分子相加以及分母相加的方式来求得答案：待添加的隐藏文字内容3 例如：1/42/43/8，1/42/63/10。l 在异分母分数相减的问题中，采用分子相减以及分母相减的方式来求得答案： 例如：5/92/73/2或是认为5/62/7无法运算，因为6比7小不能减。补充说明l 运思方式的发展我们将国小学童运思方式，依序分为五个发展阶段：（一）合成运思：此运思将数个1合而为一，形成一个集聚单位（例如：10）；（二）累进性合成运思：此运思可以使用一个集聚单位（例如

33、：10）为基础，继续合成新的1，而形成新的集聚单位，例如以10为起点，继续合成3个1，而形成13；（三）部分全体运思：此运思掌握1单位与以1为单位量所合成的集聚单位（例如：10）间的部分全体关系，明显地区分两者的意义，故在混合使用两种以上的被计数单位时，不混淆其计数的意义，可以将数个集聚单位和数个1单位合而为一，形成新的集聚单位，例如，区辨3 个拾与3个壹这两个3具有不同的意义，而将33视为3个拾与3个壹的合成结果，发展由多单位的观点，来解读数字（词）的意义；（四）测量运思：此运思以掌握1与集聚单位（例如：10）间的部分全体关系为基础，进而能掌握集聚单位（例如：拾）与以其为单位量所合成的另一集

34、聚单位（例如：10个拾）间的部分全体关系，故而是同时掌握两个层级的部分全体关系。换言之，在运思上，可以把任何整数（例如：10）当作单位量，而此整数成为测量单位；（五）比例运思：以掌握两集聚单位的关系为运思的起点，形成新的单位来描述此关系，亦即掌握比值或有理数的概念，以关系为运思的对象，蕴涵着对共变性质的掌握，被此关系联络的两集聚单位，如果产生等比例的变化，并不改变此关系。预计部分全体运思的发展在三年级，测量运思发展在五年级，而比例运思的发展是国中的任务。l 测量运思对分数问题的影响在测量运思下，可以同时掌握三阶单位间的两层部分全体关系，因此不论1份的内容物是几（整数）个，都使得份成为基准单位（

35、盒）与内容物的自然单位（离散个物情况下，自然地有一个一个的个物）的中间单位，由内容物的观点是1颗、3颗、9颗三者间相互的部分全体关系，由等分割的份数观点是1份与3份的部分全体关系，进而由基准单位（盒）的观点是盒与1盒的部分全体关系，在测量运思下，由部分看全体，单位分数是生成1的单位量，由全体看部分，1透过等分割生成单位分数。在测量运思下，可以掌握1与间的部分全体关系，亦可以掌握1与间的部分全体关系，但尚不能掌握与间的部分全体关系，但是下降一阶，在同样的情境下，由份数的观点，可以掌握6份、2份与1份三者间的部分全体关系，因此，在五年级以后，开始进行分数的等分割活动、比的活动、或寻找两单位分数的共

36、测单位活动，希望累积活动经验，以作为比例运思发展的基础。l 等价分量1与10/10的等价关系学童常容易混淆整体以及整体经过分割再合成的概念。两者到底是什么样的关系呢？是强调一个对象的整体。而十分之十是强调这个整体已经过分割再合成的结果，表示一个整体分成十分，再将十分合起来的结果，在分量十分之十形成的过程中，已留下分割与合成的活动痕迹。故而十分之十并不与相同，而是等价的关系。学童在面对十分之十与时，无法在心理上否定分割再合成活动的历程，而视十分之十与为等价，故而在活动中，我们在数量比较的情境下，来确认十分之十与的等价关系，以建立将来统整分数与整数数词序列的基础。譬如说：一块大饼切割成10份再与一块没有切割的饼，两者的差别在哪?= ?10110举出生活中的例子可以让学童较容易联想以及比较，所以分割再合成虽然与未分割的整体是相同等价关系，但是整个饼已经经过分割而非完整的未分割的整体了。l 学生的先备知识国小分数教材的范围年级教 材 范 围二分数概念的初步认识分数的读法转换成记法三分母为20以内的真分数的认识分母为10的真分数四分数的种类 真分数的概念认识假分数 同分母分数的加减五等值分数 把分数视为整数除法的结果分数的数线 分数乘以整数的乘法六约分、扩分、通分分数除以整数的除法