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1、由一个有争议的三角形相似问题说起前几天我们在教学过程中碰到下面这个问题，几个同学争论不休，谁也说服不了谁.引起老师的思考.题目是：点P是RtABC中AB边上的一点，过点P 作直线（不与直线AB重合），截ABC，使截得三角形与原三角形相似，满足这样条件的直线最多有（ ）条. A2条 B.3条 C.4条 D.5条很多学生都认为正确答案是（C），其实这是一个有争议的问题,可能是3条，也可能是4条. 是3条? 或是4条? 因为这个题目没有配图形, 实在是无法确定. 到底是为什么呢?经过分析,原因在于点P 的位置不同,符合条件的直线的条数也不同.下面我们通过以下3个问题来探索解决这个问题.1. 如图1,
2、已知RtABC中，C=90, 点P是AB边上的一点，过点P 作直线（不与直线AB重合），截ABC，使截得三角形与原三角形相似，满足这样条件的直线最多有（ ）条.A2条 B.3条 C.4条 D.5条2. 如图2,已知RtABC中，C=90, 其中ACBC, 点P是BC边上的一点，过点P 作直线（不与直线AC重合），截ABC，使截得三角形与原三角形相似，满足这样条件的直线最多有（ ）条.A2条 B.3条 C.4条 D.5条3. 如图3,已知RtABC中，C=90, 其中ACBC, PBC=A，点P是AC边上的一点，过点P 作直线（不与直线BC重合），截ABC，使截得三角形与原三角形相似，满足这样条
3、件的直线最多有（ ）条.A2条 B.3条 C.4条 D.5条以上3 个题目中至少都有3 条直线,那么在什么情况下符合条件的直线才有4条呢?我们观察以下两个特例:如图4,已知RtABC中，C=90, 其中ACBC, 点P是AC边上的一点，若PBC=A , 过点P 作直线（不与直线AC重合），截ABC，使截得三角形与原三角形相似，满足这样条件的直线最多有4条. 符合条件的4条直线分别是: 过点P 与BC平行的直线, 交AB于E点, 此时APEACB, 如图5所示； 过点P 与AB平行的直线, 交BC于F点, 此时CPFCAB, 如图6所示； 过点P 与AB垂直的直线, 交AB于D点, 此时APDA
4、BC, 如图7所示； 直线PB, 此时CPBCBA. 如图8所示. 相似的原因很简单,这里不再细述.进一步研究发现，如图8，在RtABC中，若PCB=A，过线段PC上的任意一点（不包括端点C）都能找到4条符合条件的直线；但是过线段PA上的任意一点（不包括端点P、A）只能作3条符合条件的直线；过RtABC最短边BC上的任意一点P（不包括端点B、C）都能找到4条符合条件的直线；过ABC斜边AB上的任意一点P（不包括端点B、A）只能找到3条符合条件的直线；这究竟是一个特例, 还是隐含了某种规律在里边?经过老师和学生们的认真探索, 发现对于一个不等边的三角形ABC而言,如果ABACBC, 那么（1）过
5、ABC最短边BC上的任意一点P（不包括端点B、C）都能找到4条符合条件的直线；（2）当点P 在AC边上时，总存在一个点使得ABP=C，过点P总能找到4条符合条件的直线（分别是：过点P 与BC平行的直线PD直线PB过点P 与AB平行的直线PE直线PF交BC于F，当PFC=A时直线PF符合要求）；过线段PA上的任意一点R（不包括端点A）总能作一直线RT与PB平行交AB于T点；其他3条同上所述；过PC上的任意一点（不包括端点P、C）也只能作3条符合条件的直线；（3）点P在BC上时，过点P不可能作出4条符合条件的直线,只有3条.学生争议的焦点是点P在AC边上时符合条件的直线的条数，我们从动点的角度来理解这个问题更易让人接受，如图9,已知ABC中，BCACAB, 点P是AC边上的一动点，当点P在AC上运动时，总存在某个位置使得ABP=C，如图10所示 ；过点P 作直线（不与直线AC重合），截ABC，使截得三角形与原三角形相似，满足这样条件的直线有4条，如图11所示：直线PDBC时，APDABC；直线PEAB时CPECAB；直线PF，此时CPF=CBA且C=C，CPFCBA；直线PB，此时ABP=C且A=A，ABPACB.当点P运动AP两点之间时，如同直线PB在平移中交AC于R点，交AB于T点，ARTAPBACB.
